Pl. I. Fig. 15.

Pl. 5. Fig. 8+.

PROPOSITION XLIII.

THEOREM E.

Les complemens d'un parallelograme font égaux.

égaux.

ANs le parallelograme ABDC, les complemens AFEH, EGDI font

Démonftration.

Les Triangles ABC, BCD font égaux (par la 33.) Donc fi on en fouftrait les Triangles HBE, BIE; FEC, CGE qui font auffi égaux (par la même, ) les complemens AFEH, EGDI qui restent, seront égaux.

PROPOSITION XLIV.
PROBLEM E.

Décrire un parallelograme fur une ligne,
qui foit égal à un Triangle, & qui ait
un angle déterminé,

N propofe à faire un parallelograme, qui ait un de ses angles égal à

l'angle E, un de fes côtez égal à la ligne D, & qui foit égal au Triangle ABC. Faites (par la 42.) le parallelograme BFGH, qui ait l'angle HBF égal à l'angle E, & qui foit égal au Triangle ABC. Continuez les côtez GH, GF, de forte que HI foit égal à la ligne D : tirez la ligne IBN, & deux paralleles à GI & BH. Prolongez auffi le côté FB. Le parallelograme MK eft celui que vous défirez.

Démonftration.

Les angles HBF, ou l'angle E, KBM font égaux, (par la 15.) Pareillement les lignes KB, DM; KD, BM étant paralleles, les angles oppofez B & D, feront égaux (par la 34.) & par confequent l'angle D eft égal à l'angle E. Le côté KB eft égal à la ligne HI ou D: enfin le paral-lelograme MK eft égal (par la précedente,) au parallelograme GFBH; & celuici a été fait égal au Triangle ABC. Donc le parallelograme MK eft égal au Triangle ABC, & il a un angle D, égal à l'an-gle E.

USAGE.

Fig. 85.

Cette Propofition contient une espece de Pl. 5. divifion Geometrique : car dans la divifion Arithmetique, on propose un nombre, qui peut être imaginé comme un rectangle ; par exemple, le rectangle AB, de 12. pieds

Pl. S.

Fig. 86,

& 87.

quarrez, qu'il faut divifer par un autre nombre comme par 2. c'est-à-dire, qu'il faut faire un autre rectangle, égal au rectangle AB, qui ait BD de 2. pour un de fes côtez s &chercher de combien de pieds fera l'autre côté, c'est-à-dire, le quotient. On en vient à bout geometriquement avec la regle & le compas. Prenez BD de 2. pieds, & tirez la diagonale DEF: la ligne AF, eft celle que vous cherchez. Car ayant achevé le rectan gle DCFG, les complemens EG, EC, font égaux (par la 43.)&EG a pour un de fes côtez la ligne EHégale à BD de z. pieds,& Elégale à AF. Cette façon de divifer s'appelle Application, parce qu'on applique le rectangle AB à la ligne BD, ou EH ; & c'est la raison pour laquelle on appelle la divifion Application, car les anciens Geometres fe fervoient plûtôt de la regle & du compas, que de l'Arithmetique.

PROPOSITION XLV.
PROBLEM E.

Décrire un parallelograme, qui ait un an-
gle déterminé, & qui foit égal à un rec-
tiligne donné.

N propofe le rectiligne ABCD auquel il faut faire un parallelograme

égal, & qui ait un angle égal à l'angle E. Partagez le rectiligne en Triangle, tirant la ligne BD: & faites (par la 42.) un parallelograme FGHI, qui ait l'angle FGH égal à l'angle E, & qui foit égal au Triangle ABD. Faites auffi (par la 44.) un parallelograme IHKL, qui foit égal au Triangle BCD, & qui ait une ligne égale à IH, & l'angle IHK égal à l'angle E. Le parallelograme FGKL fera égal au rectiligne ABCD.

Démonftration.

Il refte à prouver, que les parallelogrames FGHI, HKLI n'en font qu'un, c'est-à-dire, que GH, HK font une ligne. droite. Les angles FGH, IHK font égaux à l'angle E, & par confequent égaux: l'angle G&GHI font égaux à deux droits, puifque nous avons fait un parallelograme GHIF. Donc les angles GHI KHI font égaux à deux droits, & ainsi (par la 14.) GH, HK font une ligne. droite.

USAGE.

Cette Propofition eft comme la pratique des précedentes, & fert pour mesurer la capacité de quelque figure que ce foit, la réduifant en Triangles, puis faifant un parallelograme rectangle égal à ces Triangles,qui fera égal à la figure. On peut même faire un

parallelograme rectangle sur un côté déterminé, & qui foit égal à plufieurs figures irregulieres. Pareillement, ayant plufieurs figures, on peut décrire un rectangle égal à leur difference.

Mais ce Problême fe peut réfoudre par une methode bien plus courte, fçavoir en réduifant le rectiligne donné en Triangle,par le Theor. 13. de la Planimetrie de Monfieur Ozanam, & en faisant un parallelograme égal à ce Triangle, (par la 42.)

PROPOSITION XLVI.

PROBLEM E.

Décrire un quarré fur une ligne donnée.

OUR décrire un quarré fur la ligne
AB,
tirez deux perpendiculaires
AC, BD égales à AB, & tirez la ligne
CD.

Démonftration.

Les angles A & B étant droits, les lignes AC,BD font paralleles (par la 28.) Elles font auffi égales (par la conftr.) Donc les lignes AB, CD font paralleles & égales (par la 33.) & les angles A & C, B & D égaux à deux droits. Et puisque