in die Augen; allein man begnügte sich, es durch die Näherung zur Wahrheit dahin zu bringen, daß der Fehler nicht zu merken war. Nun ist zwar ein geübtes Ohr im Stande, einen ungemein kleinen Unterschied zu bemerken; allein so scharf ist der geübteste Sinn nicht, daß er nicht sollte betrogen werden können. Man hat also leichtlich einen harmonischen Canon fin= den können, der dem feinsten Gehör gleichschwebend deuchtet. An die mathematische Construction hat man selten gedacht. Man wußte, daß sie möglich sei, und daß man durch diesel.e die verlangten Lången, ohne die mindeste Abweichung, finden könne; allein man hielt sie für unbequem, vermuthlich weil zu einer vollkommenen geometrischen Construction der verlangten Lången höhere krumme Linien vonnöthen sind, welche nun freilich in der Ausübung unsågliche Schwierigkeiten verursachen. Neidhardt, der sich um die Temperatur sehr verdient gemacht, spricht folgendergestalt davon. „Was die geometrische Construction betrifft, so wird eine geometrische Mittelproportionallinie insge

Obgleich eine auf solche Art berechnete gleichschwebende Temperatur dem Gehör alle mögliche Genugthuung giebt, so kann man doch, wegen der am Ende vorkommenden Brüche, nicht behaupten, daß eine einzige davon das Auge gänzlich befriedige; es müßte denn die von Nro. 7 seyn. Ich übergehe die Differenzen, die sich, wegen der verschiedenen Arten der Solution, in den leztern Ziffern finden, ob man selbige gleich wegwirft. Der Herr Kirnberger, einer unsrer besten Tonkünstler hieselbst, dem diese Unvollkommenheit unserer gleichschwebenden Temperatur bekannt war, und der gerne eine gleichschwebende Temperatur auf dem Monochord zu sehen wünschte, die zugleich das Ohr und das Auge vergnügte, bekam dasjenige zu lesen, was Neidhardt in seiner Sect. canon. harmon. von der geometrischen Construction in Absicht auf die Temperatur schreibt. Er nahm Gelegenheit, mit einem scharfsinnigen Mathematiker hieselbst, dessen Namen zu nennen ich nicht die Erlaubniß habe, hierüber zu spre= chen, und denselben zu fragen: ob dasjenige, was der Herr Neidhardt nur so obenhin berührt hatte, sich nicht näher untersuchen und vielleicht mit mehrerer Genugthuung, als die arithmetische Annäherung, auf einen Canon zur Ausübung bringen ließe. Der gelehrte Freund des Herrn Kirnberger übernahm diese Untersuchung, und hatte nach einer kurzen Bemühung das Vergnügen, das Räthsel aufzulösen und die von dem Herrn Neidhardt gelassene weite Lücke auszufüllen. Hier ist sein Aufsag über diesen Gegenstand, der seinen vortrefflichen Einsichten so viel Ehre macht, als er nicht nur allen Kennern der gleichschwebenden Temperatur, sondern auch den Mathematikern selbst gewiß angenehm seyn wird. (Anm. von Marpurg.)

mein durch die Lineam und den Circulum, zwo aber durch den Circulum und parabolam, durch den Circulum und die hyperbolam intra asymptotas, durch den Circulum und hyperbolas, oder auch Ellipses, infinitas, u. f. w. gefunden". Uns geht die ganze Sache nichts an“, seßt Neidhardt hinzu, weil die arithmetische Annäherung bei dem canone harmonico viel, viel bequemer kann angewendet werden; wiewohl sich zwar das Ohr, der Verstand aber ganz und gar nicht damit befriedigen läßt.“

Wie aber? wenn man beides, Verstand und Ohr, befriedigen könnte, und zwar eben so leicht und bequem, wo nicht noch leichter, als man durch die arithmeti che Annäherung das Ohr allein befriedigt? Eine geometrische Construction der mittlern gleichverhaltenden Linien kann ohne Hülfe der höhern krummen Linien nicht vollzogen werden, und diese haben ihre Schwierigkeiten; allein es giebt eine Art von Construction, die man die mechanische nennt, welche leicht auszuführen, und eben so richtig ist, als die geometrische. Der Meßkünstler verwirft sie, nicht ihrer Unrichtigkeit halber, sondern aus geometrischem Eigensinn. Er will nicht blindlings suchen, kein Instrument blindlings anlegen, und dann zusehen, ob er es recht angelegt; sondern allezeit vorher wissen, wo er das Begehrte finden, und an welche Stelle er seine Instrumente anzubringen hat. Bei den fogenannten mechanischen Constructionen aber muß man öfter das Instrument auf's Gerathewohl hinlegen und so lange hinund herrücken, bis man den rechten Ort findet. Wer so eigensinnig nicht seyn will, kann sich der mechanischen Construction mit. Nußen bedienen; und ich glaube, der Musikus habe am wenigsten Ursache, es zu seyn. Wenigstens kann man den Ver= such machen, ob die verlangte, gleichschwebende Temperatur nicht durch die Construction weit leichter und richtiger zu finden sei, als durch die gemeine arithmetische Annäherung. Ich werde vorerst die mathematischen Gründe auseinanderseßen, welche die Richtigkeit der Construction beweisen, und sodann für den mechanischen Künstler die Regeln kurz und deutlich vorschreiben, nach welchen er diese Construction ins Werk zu richten hat.

Zu einer gleichschwebenden Temperatur gehören 13 gleich dicke und gleich gespannte Saiten, deren lehte die Octave der ersten ist, alle übrige aber, die gleich weit von einander abstehen, denselben Ton hervorbringen, d. h. das nämliche Verhältniß gegen einander haben. Man erlangt dieses, wenn man. 13 Lången

findet, die stetig proportionirt sind, und deren erste zur dreizehnten wie 2 zu 1. Denn in diesem Falle geben alle Saiten, die gleich weit von einander abstehen, den nåmlichen Ton, und die erste mit der dreizehnten stimmt die Octave an.

Man nenne die erste C, die dreizehnte c; so sucht man zwischen C und c 11 Mittelproportionallinien a, b, d, e u. f. m. dergestalt, daß C: a=a:b=b:d=d:e=e:f=f:g g: h u. f. w. = 1:m=m: c. Da sich die erste zur siebenten verhält, wie die siebente zur dreizehnten, ferner die erste zur vierten, wie die vierte zur siebenten, und die siebente zur zehnten, wie die zehnte zur dreizehnten; so findet man die siebente, wenn man zwischen der ersten und dreizehnten, die vierte, wenn man zwischen der ersten und siebenten, und endlich die zehnte, wenn man zwischen der siebenten und dreizehnten die Mittelproportionallinie sucht. Der Musikus nennt die erste C, die vierte dis, die siebente fis, die zehnte A und die dreizehnte c. Die Construction dieser Linien geschieht vermittelst der ge= raden Linie und des Zirkels, bisher noch vollkommen geometrisch. Denn es sei AB die Länge der Saite C (Fig. 1.). Beschreibt aus der Mitte c den Halbkreis ADEB und richtet in c die Linie CD senkrecht auf. Ziehet die Linie AD; so verhält sich AB: AD = AD : Ac. Traget AD in F und richtet die Linie FE senkrecht auf. Ziehet AE; so verhält sich abermals AB: AEAE: AF. über AF beschreibt aus der Mitte G den Halbkreis AHF, richtet in c die Linie cH senkrecht auf und ziehet AH; so ist FA: AH AH: Ac; welches alles aus geometrischen Gründen bewiesen und bekannt ist. Daher ist AB die Länge der Saite C, AE die Länge der Saite dis, AD oder AF die Länge der Saite fis, AH die Långe der Saite A, und Ac, oder cB, oder auch cD die Länge der Saite c; und diese gehen in einer stetigen Proportion fort, dergestalt, daß C: dis dis: fis fis: A A: c. Denn

Da nun aber auch überdem erwiesen, daß`

AB: AF AF: Ac (weil AF AD),

so ist AE2: AF2AH2: Ac2,

folglich AE: AF-AH: Ac.

Daher AB (C): AE (dis) = AE: AF (= fis) = AE: AH (A)= AH: AC (c). Welches erwiesen werden sollte.

Wir haben also den ersten, aber auch den leichtesten Schritt gethan, nämlich zwischen C und c vorerst drei Mittelproportionallinien gefunden. Die Schwierigkeit ist nunmehr, in jede von diesen Intervallen wiederum zwei Mittelproportionallinien einzutheilen, und dadurch die gefundenen fünf stetig gleichverhaltenden Linien in dreizehn zu verwandeln. Denn wenn man zwischen alle Glieder einer stetigen Progression eine gleiche Anzahl Mittelproportionalglieder seht, so gehen auch diese in einem stetigen Verhältnisse fort, welches aus folgenden Gründen zu ersehen ist. Gefeßt a bbc, und man seht zwischen a und b sowohl, als zwischen b und c eine Anzahl Mittelproportionalglieder m; das lehte Glied vor b feie, und das erste nach bf, so ist a: b = = em+1: bm+1

b:c= bm+1: fm+1

ferner
Da nun a: b =

b:c, fo ift em+1: bm+1 = bm+1: fm+1 und folglich e: bb: f; und also rückt die Proportion ununterbrochen fort.

Wenn wir also in jede von den gefundenen vier Inters vallen zwei Mittelproportionallinien eintheilen könnten, so hätten wir die verlangten dreizehn Linien, und folglich die gleichschwes bende Temperatur gefunden.

Es kömmt also bloß auf das bekannte problema deliacum an, das in dem Alterthum so viel Aufsehen gemacht hat. Plato, Hero von Alexandrien, Philo, Apollonius, Diocles, Pappus, Sporus und Eratosthenes haben zu verschiedenen Zeiten Auflösungen davon geliefert, die man beim Eutokius und im Deutschen in Sturm's übersehung der Archimedischen Werke nachlefen kann. Diese großen Leute haben bloß mechanische Wege gefunden; denn eine geometrische Construction zweier Mittelproportionallinien möchte wohl, ohne Hülfe der höheren krummen Linien, unmöglich seyn. Nicomedes war der Erste, der zum Behuf dieser Aufgabe die Muschellinie erfand; und nach ihm hat man sich auch der andern krummen Linien dazu bedient. Da

wir aber hier mit den krummen Linien nichts zu thun haben, sondern alles vermittelst des Zirkels und der geraden Linien auss führen müssen, so möchte wohl der Weg des Hero von Alexandrien unter allen denen, die Eutokius anführt, der leichteste seyn; doch werde ich noch eine Construction hinzuthun, die man beim

Newton in seiner Arithmetica universali finden kann, und die mir zur Ausführung die bequemste scheint.

Nach Heron's Vorschrift verfährt man auf folgende Weise. Gefeht, wir wollten zwischen C und dis zwei Mittelproportionallinien finden. Sehe die beiden Linien AB (=C) und AE (dis) rechtwinklicht auf einander (Fig. 2.), und vollende das Rechteck ABFE. Ziehe AF und BE, welche einander in D halbtheilen werden. Lege eine Regel an den Punkt E, und be= wege fie um diesen Punkt so lange hin und her, bis DC so groß wird als DG. Sodann ziehe die Linie CEG; so find CF und GA die beiden verlangten Mittelproportionallinien, und folglich FC die Länge der Saite cis, GA aber die Långe der Saite D. Den Beweis hiervon kann man bei Sturm nachlesen.

Verfährt man nun mit dis und fis, fis und A, und A und c auf die nämliche Weise, wie vorhin mit C und dis geschehen, so bekömmt man E und F, G und gis, B und H, und folglich alle verlangte Lången. Man nennt diesen Weg mechanisch, weil man die Regel nicht für sicher anlegen kann, sondern erst die Stelle suchen muß, wo DC DG. Man sieht aber leicht, daß dieß die Richtigkeit der Operation nicht hindert.

Newton hat in seiner Arithmetica universali *) einige andere, gleichfalls mechanische Constructionen eben derselben Aufgabe, davon folgende zur Ausführung noch bequemer scheint, als die Heron's.

=

Er theilt die Linie AB, die erste von den beiden gegebenen Linien (in unserm Falle C), in zwei gleiche Theile in E (Fig. 3.). Aus dem Mittelpunkte A beschreibt er mit dem Halbmesser AE den Kreis EC, in welchen er die zweite ge= gebene Linie EC (in unserm Falle dis) als eine Sehne anpaßt; sodann zieht er die beiden Linien EC und BC, ohne bestimmte Gränzen, weiter hinaus. Un A legt er die Regel an, rückt sie zwischen den gezogenen beiden Linien so lange hin und her, bis GF so groß wird als AE oder EB, und zieht die Linie FGA. Wenn dieß geschehen, spricht er, so find CF und AG die beiden Mittelproportionallinien zwischen AB und EC,

*) Vid. Append. de Aequationum construct. lineari.