괴델 불완전성 정리전파과학사, 2017. 6. 19. - 247페이지 “수학이란 결국 사상(思想)이다” 인간이 추구하는 논리의 한계를 논리적으로 증명, 인간 인식에 한계가 있다 이 책은 20세기에 출현한 천재와 그 혁명적 이론 중에서도 두드러진 광채(光彩)를 내고 있는 괴델과 그 불완전성 정리를 주제로 채택했다. 「불완전성 정리」라는 이름은 수학을 좋아하는 사람은 말할 것도 없이 20세기의 사상에 조금이라도 흥미 있는 사람이면 이공계, 인문계를 불문하고 누구나가 한번은 언뜻 들었을 것으로 생각한다. 그러나 ‘그러면 그 내용은?’이 되다 보면 태반의 사람이 애매한 대답밖에는 할 수 없는 것이 아닐까? ‘어차피 초난해(超難解)한 이론일 것이니까 몰라도 당연하다’라고 처음부터 체념하고 있는 사람도 있을지는 모른다. 그러나 이 정리의 증명에 대한 아이디어 자체는 매우 단순하고 명쾌한 것이고 말끔히 설명하면 중학생도 이해할 수 있는 것이다. 이 책에서는 실제로 그러한 설명을 시도해 보았다. 괴델의 불완전성 정리의 참된 의의를 파악하기 위해서는 중명의 이해는 말할 것도 없지만 그것 이상으로 19세기 말부터 20세기 초엽에 이르는 수학사(數學{史)의 흐름을 파악해 두는 것이 중요하다고 생각한다. 이 흐름 속에 위치 부여를 함으로써 비로소 불완전성 정리가 출현한 필연성과 그 전모를 바르게 파악할 수 있는 것이다. 그래서 이 책의 I부에서는 칸토어(Cantor) 이후의 현대 수학의 발자취가 어떻게 해서 괴델이라고 하는 “특이점(特異써)”으로 수렴(收斂)해 가는가를 문제의식과 시대 상황과을 교착(交錯)시키면서 상세히 추적하고 있다. 이 부분은 정리된 책이 적은 만큼 이 책의 “새로움”으로 되어 있다고 믿는다.
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목차
I수학의 위기가 괴델을 요청하였다 | 29 |
1 무한이란 무엇인가? | 30 |
2 집합이란 무엇인가? | 61 |
3 진리란 무엇인가? | 81 |
4 수학이란 무엇인가? | 110 |
II불완전성 정리란 무엇인가? | 141 |
1 증명이란 무엇인가? | 142 |
2 이성이란 무엇인가? | 163 |
3 천재란 무엇인가? | 188 |
에필로그 이성의 한계로부터의 출발 | 209 |
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