괴델 불완전성 정리

앞표지
전파과학사, 2017. 6. 19.

“수학이란 결국 사상(思想)이다”

 인간이 추구하는 논리의 한계를 논리적으로 증명, 인간 인식에 한계가 있다


이 책은 20세기에 출현한 천재와 그 혁명적 이론 중에서도 두드러진 광채(光彩)를 내고 있는 괴델과 그 불완전성 정리를 주제로 채택했다. 「불완전성 정리」라는 이름은 수학을 좋아하는 사람은 말할 것도 없이 20세기의 사상에 조금이라도 흥미 있는 사람이면 이공계, 인문계를 불문하고 누구나가 한번은 언뜻 들었을 것으로 생각한다.

그러나 ‘그러면 그 내용은?’이 되다 보면 태반의 사람이 애매한 대답밖에는 할 수 없는 것이 아닐까? ‘어차피 초난해(超難解)한 이론일 것이니까 몰라도 당연하다’라고 처음부터 체념하고 있는 사람도 있을지는 모른다. 그러나 이 정리의 증명에 대한 아이디어 자체는 매우 단순하고 명쾌한 것이고 말끔히 설명하면 중학생도 이해할 수 있는 것이다. 이 책에서는 실제로 그러한 설명을 시도해 보았다.

괴델의 불완전성 정리의 참된 의의를 파악하기 위해서는 중명의 이해는 말할 것도 없지만 그것 이상으로 19세기 말부터 20세기 초엽에 이르는 수학사(數學{史)의 흐름을 파악해 두는 것이 중요하다고 생각한다. 이 흐름 속에 위치 부여를 함으로써 비로소 불완전성 정리가 출현한 필연성과 그 전모를 바르게 파악할 수 있는 것이다.

그래서 이 책의 I부에서는 칸토어(Cantor) 이후의 현대 수학의 발자취가 어떻게 해서 괴델이라고 하는 “특이점(特異써)”으로 수렴(收斂)해 가는가를 문제의식과 시대 상황과을 교착(交錯)시키면서 상세히 추적하고 있다. 이 부분은 정리된 책이 적은 만큼 이 책의 “새로움”으로 되어 있다고 믿는다.

  

 

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목차

프롤로그
9
I수학의 위기가 괴델을 요청하였다
29
1 무한이란 무엇인가?
30
2 집합이란 무엇인가?
61
3 진리란 무엇인가?
81
4 수학이란 무엇인가?
110
II불완전성 정리란 무엇인가?
141
1 증명이란 무엇인가?
142
2 이성이란 무엇인가?
163
3 천재란 무엇인가?
188
에필로그 이성의 한계로부터의 출발
209
참고도서
223

자주 나오는 단어 및 구문

저자 정보 (2017)

나가자키 출생.

교토대학 이학부(수학전공) 및 동 대학 문학부 철학과 졸업.

사이언스 작가. 예리한 문제의식으로 현대 여러 과학의 최첨단을 직시한 기사는 이미 정평이 있다.

저서로는『아직도 모르는 것이 있다』(BLUE BACKS),『바이러스가 ‘인간’을 지배한다』,『전자파가 위험하다』(고분샤),『수학센스』(다이아몬드사), 번역서로는『현대 수학이 보이기 시작한다』(길렌 지음. 하쿠요샤) 등이 있다.

  

도서 문헌정보