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Fig. 3.

PROPOSITION II.

THEOREME.

Le quarré du Sinus droit d'un arc, avec le quarrẻ du Sinus droit de fon complement, font égaux au quarré du rayon.

A

U quart de Cercle BC, dont le rayon eft AD, foit DF Sinus de l'arc DC, & DE Sinus de fon complement BD, je dis que les quarrez de ces deux Sinus DF, DE font égaux au quarré du rayon AD.

Car puifque BC eft un quart de Cercle, CA eft perpendiculaire à AB; mais DE eft auffi perpendiculaire à AB, par la definition du Sinus ; donc DE & CA font paralleles ; & par la même raison BA & DF font auffi paralleles; & partant FE eft un parallelograme, dont le côté DE eft égal à fon oppofé FA; mais le quarré de AD eft égal aux quarrez de DF & de FA, ou de fon égal DE; par confequent le quarré de DF, Sinus droit de l'arc DC, & le quarré de DE Sinus droit de fon complement DB, font égaux au quarré du rayon AD. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

Il s'enfuit de là que le Sinus droit d'un arc étant donné, l'on aura le Sinus droit de fon complement au quart de Cercle; car fi l'on ôte le quarré du Sinus donné, du quarré du rayon, il reftera le quarré du Sinus de fon complement, dont la racine quarrée fera le Sinus cherché.

58779. fi l'on ôte fon quarré qui eft 3454970841. du quarré du rayon qui eft ico00000000, il reAtera 6545029159. pour le quarré du Sinus de 54. deg. dont la racine quarrée eft 80901; quand ce qui refte excede soooo. on ajoûte une unité dans les Tables; c'eft pourquoi l'on y trouve 80901, pour le Sinus de 54. deg.

PROPOSITION III.

THEOREM E.

La difference des Sinus des deux arcs également éloignez de 60. degrez, eft égale au Sinns de la moitié de la difference de ces deux arcs.

J

E dis que fi l'arc BD eft de 60. degrez, & que Fig. 4 les deux deux arcs BC, BE en foient également cloignez, en forte que l'arc ED, ou CD foit égal, foitla moitié de leur difference CE;la difference des Sinus EG, CI, des deux arcs BC, BE, eft égale au Sinus EO, ou CO, de la moitié CD, ou DE de leur difference CE.

Si l'on tire du point C la ligne CH parallele au rayon AB, & au point F, où le rayon AD se trouve coupé par le Sinus EG, la droite CF, on connoîtra ailement que le triangle ECF eft équilateral, & quela ligne EH, ou le Sinus EO, ou CỌ, eft la difference des Sinus EG, CI. C. Q. F. D.

COROLLAIRE. I.

Il s'enfuit de là, premierement que fi les Sinus de deux arcs également diftans de la fixième partie du Cercle, font donnez, l'on trouvera le Sinus de la difference de l'un de ces arcs à la fixiéme

Par exemple, foit donné le Sinus de 40. deg. à fçavoir 64278. & celui de 80. degrez, à fçavoir 98480. qui font également diftans de 60. deg. qui eft la fixiéme partie du Cercle, l'on trouvera le Sinus de 20. deg. à fçavoir 34202. parce que la difference du Sinus de 40.deg. à celui de 80.étant égale au Sinus de 20. deg. il est évident que fi l'on fouftrait le plus petit du plus grand, ce qui restera fera le Sinus cherché.

COROLLAIRE II.

Il s'enfuit encore que fi le Sinus d'un arc moin dre que la fixiéme partie du Cercle eft donnée, avec le Sinus de la difference de cet arc à la fixiéme partie du Cercle, on trouvera le Sinus d'un arc qui furpaffera autant la fixième partie du Cercle, que l'autre en étoit surpaffé,

Ainfi le Sinus de so. deg. à fçavoir 76604. étant donné avec le Sinus de 10. deg. à fçavoir 17364. difference de so. deg. à la fixième partie du Cercle,on trouvera le Sinus de 70. d. Car dautant que la difference du Sinus de so deg. à celui de 70. eft égale au Sinus dero. deg. qui eft le défaut de so.d. à la fixiéme partie du Cercle, il eft évident que fi au Sinus de so. deg. 76604. on ajoûte le Sinus de 10.deg. 17365. ce qui viendra, à fçavoir 93969, fera le Sinus de 70. deg. que l'on demande

COROLLAIRE III.

De même étant donné le Sinus de 70. deg. avec celui de 10. il est évident qu'en ôtant celui-ci de

PROPOSITION IV.

THEOREM E.
arec

Le Sinus verfe d'un arc, & le Sinus droit de fon complement, font égaux au rayon du Cercle.

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le Fig. 5.

Oit FG le Sinus verfe de l'arc GE, & ED, Sinus droit de fon complement EC ; je dis que FG teu ED, font égaux au rayon AG.

Car puifque DE eft un parallelograme ED eft égale à AF, à quoi ajoûtant FG vient le rayon AG.

COROLLAIRE.

Il s'enfuit de là que le rayon étant donné, & le Sinus droit du complement de quelque arc, le Sinus verfe de cet arc fera connu, car en ôtant du rayon le Sinus droit donné, reftera le Sinus verfe cherché

Ou bien le Sinus verfe d'un arc étant donné avec le rayon, le Sinus droit de fon complement fera connu; car en ôtant du rayon le Sinus verfe donné, reftera le Sinus droit cherché.

PROPOSITION V.

THEOREM E.

Les Quarrez des Sinus droit & verfe d'un arc font égaux au quarré de la foutendante du même arc.

E l'arc CE le Sinus droit foit CF, & FE le Fig. 6.

D Sinus verfe; je dis que leurs quarrez font

Fig. 6.

Fig. 7.

Pour le prouver. Le triangle CFE étant rectangle; il eft évident que les quarrez de CF & de FE, fontégaux au quarré de CE.

COROLLA IRE.

Les Sinus droit & verfe d'un arc étant donc donnez, on connoîtra la foutendante de cet arc, &. le Sinus droit de fa moitié.

Soit par exemple, EF. 6. & CF. 8. leurs quarrez 36. & 64. étant ajoûtez font 100. pour le quarré de CE, dont la racine quarrée eft 10. qui eft ce que vaut la foutendante cherchée; & 5. eft la valeur du Sinus droit du demi arc.

PROPOSITION VI.

THEOREM E.

Au quart de Cercle, le Sinus droit d'un arc eft moyen
proportionnel entre la moitié du rayon,
le Sinus verfe d'un arc double.

S

Oit par exemple EC, double de l'arc ED; je dis que EH Sinus droit de ED, eft moyen proportionnel entre la moitié du rayon AG & EF Sinus verfe de l'arc double EC; c'eft-à-dire que comme la moitié du rayon AG est à EH, ainsi EH eft à EF.

Pour le prouver. Aux deux triangles AHE, CFE, l'angle AHE étant droit, & partant égal à CFE, & l'angle au point E étant commun; il s'enfuit que ces deux triangles font équiangles, & qu'ils ont les côtez au tour de l'angle commun E proportionnaux (par la 4. du 6.) c'eft-à-dire que comme AE eft à EH

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