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58779. si l'on ôte son quarré qui est 3454970841. du quarré du rayon qui est 10000000000, il reItera 6545029159. pour le quarré du Sinus de 54. deg. dont la racine quarrée est 80901 ; quand ce qui reste excede soooo. on ajoûte une unité dans les Tables; c'est pourquoi l'on y trouve 80901 , pour le Sinus de 54. deg.

PROPOSITION III.

THEQREM E.

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La difference des Sinus des deux arcs également éloignez de 6o. degrez , est égale au Sinus de la

moitié de la difference de ces deux arcs. E dis

que

li l'arc BD est de 6. degrez, & que Fig. les deux deux arcs ,BC, BE en soient également éloignez, en sorte que l'arc ED, ou CD loit égal, foitla moitié de leur difference CE;la difference des Sinus EG, CI, des deux arcs BC, BE, est égale au Sinus EO , ou CO, de la moitié CD, ou DE de leur difference CE.

Si l'on tire du point C la ligne CH parallele au rayon AB, & au point F, où le rayon AD se trouye coupé par le Sinus EG, la droite CF, on connoîtra aisément que le triangle ECF est équilateral, & quela ligne EH, ou le-Siņus EO , ou CO, est la difference des Sinus EG, CI. C. Q. F. D.

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COROL-L AIRE. I.

Il s'ensuit de là, premierement que si les Sinus de deux arcs également distans de la fixiéme partie du Cercle , sont donnez, l'on trouvera le Sinus de la difference de l'un de ces arcs à la fixiéme

Par exemple, soit donné le Sinus de 40. deg. 1 sçavoir 64278. & celui de 80. degrez , à sçavoir 98480. qui sont également distans de 60. deg. qui est la fixiéme partie du Cercle, l'on trouvera le Sinus de 20. deg. à sçavoir 34202. parce que la difference du Sinus de 40.deg. à celui de 80.étant égale au Sinus de 20. deg. il est évident que si l'on soustrait le plus petit du plus grand, ce qui restera sera le Sinus cherché.

COROLLA I RE I I.

Il s'enfuit encore que si le Sinus d'un arc moin. dre

que la fixiéme partie du Cercle est donnée , avec le Sinus de la difference de cet arc à la fixiéme partie du Cercle, on trouvera le Sinus d'un arc qui surpassera autant la fixiéme partie du Cercle , que

l'autre en étoit surpassé. Ainsi le Sinus de so. deg. à sçavoir 76604. étane donné avec le Sinus de 1o. deg. å sçavoir 17364. difference de so. deg, à la fixiéme partie du Cercle, on trouvera le Sinus de 70. d. Car dautant que la difference du Sinus de so deg. à celui de 70. est égale au Sinus dero. deg. qui est le défaut de so.d. à la fixiéme partie du Cercle , il est évident que fi au Sinus de so. deg. 76604. on ajoûte le Sinus de 10.deg. 17365, ce qui viendra , à sçavoir 93969, sera le Sinus de 70. deg. que l'on demande

COROLLAIRE III.

De même étant donné le Sinus de 70. deg. avec celui de 10. il est évident qu'en ôtant celui-ci de

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Le Sinus verse d'un arc , le Sinus droit de son coma

plement, sont égaux au rayon du Cerck.

Oit FG le Sinus verse de l'ar c GE , & ED, le Fig. 5 S Sinus droit de son complement EC ; je dis que FG, ou ED , sont égaux au rayon AG.

Car puisque DE est un parallelograme ED eft égale à AF, à quoi ajoûtant FG vient le rayon AG.

COROLL AIR E.

Il s'enfuit de la

que

le rayon étant donné , & le Sinus droit du complement de quelque arc, le Sinus verse de cet arc sera connu ; car en ôtant du rayon le Sinus droit donné, restera le Sinus verse cherché.

Ou bien le Sinus verse d'un arc étant donné avec le

rayon, le Sinus droit de son complement sera connu ; car en ôtant du rayon le Sinus verse donné, restera le Sinus droit cherché.

PROPOSITION V.

THEOREME.

Les Quarrez des Sinus droit et verse d'un ar: fone égaux an quarré de la soutendante du même arc.

E l'arc CE le Sinus droit soit CF, & FE le Fig. 6,

Sinus verse; je dis que leurs quarrez font

Pour le prouver. Le triangle CFE étant rectangle; il est évident que les quarrez de CF & de FE, sontégaux au quarré de CE.

COROLLAIR E.

Les Sinus droit & verse d'un arc étant donc donnez, on connoîtra la soutendante de cet arc, &

le Sinus droit de sa moitié. Fig. 6. Soit par exemple, Ef.6. & CF. 8. leurs quarrez 36. & 64. étant ajoûtez font 100. pour

le

quarré de CE, dont la racine quarrée est 10. qui est ce que vaut la soutendante cherchée; & s. est la valeur du Sinus droit du demi arc.

PROPOSITION VI.

THEOREME.

Au quart de Cercle, le Sinus droit d'un arc est moyen proportionnel entre la moitié du rayon ,

le Sinus verse d'un arc double.

Fig. 7: S dis ,

par exemple EC, double de l'arc ED ; je

EH Sinus droit de ED, eft moyen proportionnel entre la moitié du rayon AG & EF Sinus verse de l'arc double EC; c'est-à-dire que comme la moitié du rayon AG est à EH, ainsi EH eft à EF.

Pour le prouver. Aux deux triangles AHE, CFE, l'angle AHE étant droit, & partant égal à CFE, & l'angle au point E étant commun ; il s'ensuit que ces deux triangles sont équiangles , & qu'ils ont les côtez au tour de l'angle commun E proportionnaux (par la 4

du 6.) c'est-à-dire que

comme la moitié de AE, sçavoir AG, est à EH, ainsi la moitié de CE, à sçavoir EH eft à EF. C. Q. F. D. il en est de même au demi Cercle.

COROLL AIRE.

Il s'ensuit de la

que fi le rayon est donné, avec le Sinus droit de quelque arc , on trouvera le Sinus verse d'un arc double ; & ensuite l'on trouvera aussi le Sinus verse de cet arc double.

Soit, par exemple, le derni rayon AG 9. & EH PlanSinus droit de l'arc ED 6. on trouvera le Sinus che 2

Fig.ss. verse EF 4. Car puisqu'il y a même raison de AG à EH, que de EH à EF, il est évident, suivant les regles des proportions, que le quarré de EH est égal au produit de AG, EF. Si donc on divise le quarré de EH qui eft 36. par la valeur du demi rayon 9. il viendra le Sinus verse cherché ; à

sçavoir 4.

Et pour trouver la valeur de CF Sinus droit de CE, double de ED, aprés avoir trouvé le Sinus verse, il faut trouver par la Proposition: 4. ) le Sinus droit du complement de cet arc double., & par le moyen de ce Sinus droit , trouver (par la 2. Propofition ) les Sinus droit cherché.

Ou bien il s'ensuit qu'étant donné le Sinus verse d'un arc avec le demi rayon, on trouvera le Sinus droit d'un arc, qui sera la moitié de l'arc proposé: Car puisqu'il y a même raison du demi rayon au Sinus cherché, qu'il y a de ce même Sinus, au Sinus verse de l'arc double proposé, il est évident par les regles des proportions, que si l'on multiplie les deux extrémes donnez , l'un par l'autre, le produit sera le quarré du Sinus cherché.

Soit, par exemple AG 9. & EF 4. si vous les mul

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