페이지 이미지
PDF
ePub

aayy donne

66

X

il suit que

COROLLAIRE II. F16.70.15. L'ÉQUATIO N précedente xx — aa =

+ i Vbb + yy, qui fait voir que si l'on prolonge M F en N; en sorte que F N=FM , le point N sera à l'Hyperbole ; & si l'on fait y=0, la ligne M N se confondra avec la ligne AB, le point F avec le point C, & l'on aura x=+a, d'où il suit que le point M se confond avec le point B, & le point N avec A ; de forte que CA=CB, & que le point A fera à l'Hyperbole.

Si dans la même équation on fait x=0, ayant mené NQ parallele à DE, ou à PM , les points P & , fe confondront avec le point C, & l'on aura y=+V-bb. Or parceque les valeurs de y sont imaginaires; l'Hyperbole ne rencontre point le diametre DE, ni de côté ni d'autre du point C. Et parceque l'on cire aussi de la même équation y

+Vxx — aa ; il suit que l'Hyperbole rencontre les paralleles MPM; Non des deux côtez de AB, tant que x ( CP, ou CQ) surpasse a ( CB ou CA); qu'elle coupe AB en B & À , lorsque CP = CB, ou x=a: car xx — aa devient au — aa=0;& par conséquent y=+Vxx — aa=0; & que lorsque les points P & Q tombent entre A & B , c'est-à-dire , lorfque a surpasse x, l’Hyperbole ne rencontre point les pa. ralleles à De menées entre A & B : car la quantité xx — aa devient negative , & par conséquent les valeurs de

= + 5 V xx qa deviennent imaginaires. Enfin l'é. quation xx — aa= fait voir que x (CP, ou CQ) croissant , y( PM, ou IN ) croît ausli; c'est pourquoi l'Hyperbole s'éloigne de plus en plus à l'infini du diametre AB prolonge de part & d'autre à l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini, d'où l'on voit que l'Hyperbole a deux parties M Bm

у

aayy

bb

[ocr errors][merged small][ocr errors][ocr errors]

& N An opposées l'une à l'autre , qui ne se rencontrent point & s'étendent à l'infini. Ce sont ces deux parties de I'Hyperbole que l'on appelle Hyperboles opposées.

COROLLA I RE III. 16. Il est clair que les Hyperboles opposées sont égales & semblables ; puisque les coordonnées N F, ne de l'une sont égales aux coordonnées MF, MP de l'autre,

COROLLAIR E. IV. 17. Il est aussi manifeste que les Afymptotes CH, CT de l'Hyperbole MBm, étant prolongées vers g, & versk, sont ausli les Asymptores de l'Hyperbole opposée N An; puisque Nk & ng , sont toujours égales à MK & ML.

COROLLAIRE V. 18. Il est encore évident que la ligne hAt menée par le point A parallele à De, ou HT, & qui rencontre les Afymptotes en b&t, est égale à HT, ou à DE, & qu'elle touche l'Hyperbole N An en A; puisqu'elle est divisée en deux également en A, comme HT l'est en B; & que CA=CB.

COROLLA I RE V I. 19. L'on a (no. 12.) MI=

=.

bx l'on a aussi (no. 13.) bb= -yy = ух montre que BH'(bb)= KM * ML.

COROLLAIRE VII. L'On tire de l'équation à l'Hyperbole xx - a = cette autre équation aa=x*—

bbxse

bx

-+y, qui

[ocr errors]
[ocr errors]

20.

aayy

aayy

ay

[ocr errors]

X

ay

X Xt: b

b

x+

bb

bb

[blocks in formation]

gles semblables HBC, CFG donnent HB (6). BC (a)

[merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small]

OM * MC(xx— ) = CB*(aa).

D E' FINITIONS. 21. Si l'on décrit ( Prop. 1.) dans les angles HCt, Tch par les extrêmitez D & E du diametre De conjugué au diametre AB, les Hyperboles opposées RDS, TES, ces. Hyperboles seront nommées conjuguées aux Hyperboles opposées MBM, N An. COROLLAIRE

VIII. 22. Il est clair que les lignes Ht, Th passeront par les points D & E, & qu'elles toucheront en ces points les Hyperboles RDS , rEs, puisqu'elles y font divisées par le milieu, comme AB, à qui elles sont paralleles & égales, l'est en C.

COROLLA I RE I X. 23. D'où il suit que DE & AB sont les axes conjuguez des Hyperboles RDS, rES, fi DE est perpendiculaire à AB; autrement, elles en font deux diametres conju. guez.

A v ERTISSEMENT. 24.

I I n'est point necessaire de démontrer que les Hyperboles RDS, rEl, ont les mêmes proprietez que les Hyperboles MBM, NAn; puisque ce ne seroit qu'une répétition inutile.

DEFINITION.

D E F INI TI O N.

abb

[ocr errors]

15. SI

Si l'on fait a. b:: 26. que je nomme p, la ligne égale à p, est appellée le parametre du diametre AB.

[blocks in formation]

: zabb ;

26. a. b :: 26.

P,
donne ap =

2bb, ou aap = d'où l'on tire

; c'est pourquoi , si dans l'équa

20

aa

P

bb

aa

[ocr errors]

za

[ocr errors]
[ocr errors]

aa

m

bb

[ocr errors]
[ocr errors]

aayy rion à l'Hyperbole xx

l'on au lieu de

i bb

bb mer sa valeur l'on aura xx

zayy dd =

d'où l'on P

P tire xx — aa .yy :: 2a.p, & fi l'on met en la place de

туу un autre raport égal l'on aura xx aa

On ajoutera à ce Corollaire ce qu'on a dit (Art. 12. no.9.10. 11.& 12.) COROL LA I RE

XI. 27. SI

I l'on avoit nommé (no. 12.) BP, x; AP auroit été 2a + x, & l'on auroit trouvé cette équation 2ax + xx

qui montre que lorsque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l'Hyperbole, il se trou. ve des seconds termes dans son équation.

[merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small]

a est=b; ces deux équations de viendroient les deux suivantes ** -ag=yy, & żax +

R

xx=yy , c'est-à-dire, qu'alors A P P B = PM"; les diametres conjuguez AB, D E seront égaux ; ( no. 9.) les asymptotes à angles droits ; & tous les diametres égaux à leurs parametres,

L'on remarquera que ces deux équations à l'Hyperbole ne different de celle du cercle, & les deux premieres de celle de l'Ellipse, qu'en ce que les deux quarrez inconnus, ont un même signe lorsque l'un est dans un membre de l'équation, & l'autre dans l'autre, ou diffe. rens signes, lorsqu'ils sont tous deux dans un même membre, & c'est le contraire dans celle du cercle, & de l'Ellipse, comme on a remarqué ( Art. į2, no. 13.); d'où l'on conclura qu'une équation locale appartiendrą toujours à l'Hyperbole , quelque mélange de constantes qu'il s'y puisse rencontrer, lorsque les quarrez des deux lettres indéterminées auront un même signe, l'un étant dans un membre de l'équation & l'autre dans l'autre , ou des signes differens, étant tous deux dans le même membre; & souvent même lorsque les indéterminées s'y trouveront multipliées l'une par l'autre. Je dis souvent: car il y a des exceptions à faire qu'on trouvera dans la suite.

D E' FINITION. L'HYPERBOLE qui a ses asymptotes à angles 29. droits, ou ( no. 9. ) ce qui revient au même, dont les diametres sont égaux entr'eux & à leurs parametres, est appellée Hyperbole équilatere ; parceque l'axe d'une Section conique est appellé par Apollonius , latus transversum, & son parametre , latus reétum.

myy

PROPOSITION VI. 30. Une équation à l'Hyperbole xx + cc-dd

étant donnée, décrire ? Hyperbole. F16.70., Soit c l'origine des inconnues x qui va vers P, & y qui

ya vers F, & qui font un angle quelconque FCP, le

« 이전계속 »