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NEUVIE'ME LIVRE.

De la comparaifon de l'Aire des Figures.

LES R

PREMIERE PROPOSITION.

Es Rectangles qui ont même base, sont entre eux comme leurs hauteurs; & ceux qui ont même hauteur, font entre eux comme leurs bafes.

Il faut fe fouvenir que la Raifon de deux gran'deurs, demeure la même, fi on les multiplie par une même grandeur; ainfi A, B:: AC, BC.

Un Rectangle eft une bafe multipliée par une hauteur, ou une hauteur multipliée par une bafe.

Ainfi deux bafes égales étant deux grandeurs égales, peuvent être confiderées comme une même grandeur. Si donc cette grandeur égale à elle-même, multiplie deux hauteurs inégales, les deux produits font les deux Rectangles, qui confervent neceffairement entre eux la Raifon que les hauteurs inégales avoient avant la multiplication.

Par exemple, une hauteur eft A, l'autre eft B; je multiplie la hauteur A, par la base C, vient AC; je multiplie la hauteur B par la base C, vient BC, & il eft évident que A, B:: AC, B C.

C'eft la même chofe des bafes inégales multipliées par une même hauteur.

SECONDE PROPOSITION.

Les Rectangles font entre eux en Raifon compo

fée de la bafe à la bafe, & de la hauteur à la hau

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de AB à

EF, qui eft celle des hauteurs ; & la Raifon de BD à FH, qui eft celle des bases.

Pour compofer une Raifon de ces deux Raisons données; on fçait qu'il faut multiplier les deux Antecedens l'un par l'autre, & les deux Confequents pareillement. Or de la multiplication de l'Antecedent AB, par l'Antecedent B D, vient le premier Rectangle ; & de la multiplication du Confequent EF, par le Confequent FH, vient le fecond Rectangle; donc ces deux Rectangles font une Raifon compofée des deux Raifons de base à base, & de hauteur à hauteur.

TROISIEME

PROPOSITION. Les Rectangles femblables, c'est-à-dire, qui ont les côtés proportionels, font en Raifon doublée de leurs bafes ou de leurs hauteurs.

Soit la hauteur AC, à la hauteur EG, comme la bafe CD, à la bafe GH.

E

Par la précedente Pròpofition, les Rectangles font en Raifon compofée de la bafe à la bafe, & de la hauteur à la hauteur. Or ces deux Raifons font ici fuppofées égales ; donc la Raifon qui en eft compofée, est une Raifon dou

A

blée de l'une ou l'autre des compofantes.

B

A

H

Si la base CD, eft la moitié de la base GH, la hauteur AC, fera la moitié de la hauteur EG, & le grand Rectangle fera quadruple du petit: car la Raifon doublée de 1 à 2, eft 1, 4, puisque :

I 2:: I 2.

La multiplication des Antecedens eft 1, celle des Confequens eft 4.

COROLLAIRE.

Les parallelogrammes femblables, font en Raifon doublée de leurs côtés homologues, puifque la bafe, eft à la bafe, comme la hauteur à la hauteur.

II. COROLLAIRE.

Les triangles femblables, font entre eux en Raifon doublée de leurs côtés homologues,puifqu'étant moitiés de parallelogrammes femblables, leur bafe eft à leur bafe, comme leur hauteur eft à leur hauteur.

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Les Figures régulieres infcrites ou circonfcrites au cercle, font entre elles en Raifon doublée ou de leurs côtés ou de leurs Raïons, ou de leurs Raïons droits. Ces trois Raifons étant égales en toutes Figures régulieres, fi elles font en Raifon doublée de l'une, elles feront en Raifon doublée de l'autre. Or il eft vifible, par exemple, que deux Hexagones, font en Raifon doublée de leurs côtés: car chaque Hexagone fe divife en fix triangles parfaitement égaux, & chaque triangle d'un Hexagone eft à chaque triangle de l'autre en Raifon doublée de la base à la base, parce qu'ils font femblables; donc les fix triangles d'un côté, font à l'égard des fix triangles de l'autre pareillement en Raifon doubléc de leurs côtés.

IV. COROLLAIRE.

Les cercles font entre eux en Raifon doublée de leurs Raions: car les cercles font des Polygones réguliers d'une infinité de côtés; ainfi fi l'on propofe deux cercles dont l'un ait le Raïon triple de l'autre, l'Aire du grand cercle fera nonculpe de celle du petit.

V. COROLLAIRE.

Les quarrés font en Raifon doublée de leurs côtés, puifque ce font des Rectangles.

VI. COROLLAIRE.

Les cercles font entr'eux comme les quarrés de leurs Raïons car les quarrés des Raïons font en Raifon doublée des Raïons, auffi-bien que les cercles.

VII. COROLLAIRE.

Si l'on conftruit fur les trois côtés d'un triangle Rectangle, trois Figures femblables quelconques, celle qui fera conftruite fur l'Hypotenuse, fera égale aux deux autres prifes enfemble. 10. Les Figures femblables font en Raifon doublée de leurs côtés homologues; c'eft-à-dire, comme les quarrés de leurs côtés. Or nous avons vû que le quarré de l'Hypotenuse est égal au quarré des deux côtés; donc la Figure conftruite fur l'Hypotenufe, eft égale aux deux autres, puifqu'elle eft à ces deux autres, comme fon quarré eft aux quarrés des deux au

tres.

C'eft par ce dernier Corollaire qu'on eft venu à bout de trouver l'Aire de certains efpaces renfermés par des portions de circonference, quoique jufqu'à prefent il ait été impoffible de trouver geometriquement l'Aire du cercle, parce qu'on ne fçait pas la longueur de la circorference. Ainfi quoiqu'on fçache que l'Aire du cercle eft égale au Rectangle de la demi-circonference par le Raïon; com me cette demi-circonference ne peut être mesurée geometriquement, & qu'on n'en connoît point le rapport avec une ligne droite, on n'a pas non plus exactement ce Rectangle ; cependant voici comment l'on trouve geometriquement l'Aire de ces efpaces, qu'on appelle ordinairement des Lunulles, & dont l'invention eft attribuée à un ancien Geometre nommé Hippocrate.

Soit décrit le triangle rectangle Ifofcele ABC Sur chacun de ces côtés pris pour diametres, foient décrites les demi-circonferences AGBDC, AFB, CEB.

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