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IK & KF, ou LK & KF, ou MK & KF.

L'on a supposé qu'il y avoit + dans les deux réductions que l'on vient de construire : mais il n'est pas plus difficile de les construire, en supposant qu'il y a par tout —, ou + &-, ou —&+: car cela ne peut que changer la position des lignes AB & IK par raport à elles-mêmes, & à la ligne AH; & dans tous les cas AB & IK seront toujours paralleles.

CONSTRUCIION

I.

Des équations, ou des lieux à la ligne droite. XVII. Au lieu de proposer simplement des équations à construire, on proposera des Problêmes à résoudre ; & après avoir ramené les équacions que l'on en tirera à l'état de celles des trois Sections précedentes, on en donnera la Construction, & ensuite la Démonstration.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

UN N angle GAH étant donné, il faut trouver au dedans F16.77 un point M,

d'où ayant mené MP parallele d AG, PM soit égale à une ligne donnée AB.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, a ; & l'inconnue PM, x; l'on a par la qualité du Problême x=a, qui est une équation à ligne droite, & qui fournit certe construction.

Soit menée par B la ligne BM parallele à AH. Je dis que BM renferme tous les points qui satisfont au Problême.

DEMONSTRATION. Ayant mené par un point quelconque N de la ligne BM, la droite N e parallele à AG; A N étant un parallelogramme , l'on aura toujours eN=AB, ou x= a. C. l. F.D.

T iij

ز:

PROBLÊME INDÉTERMINÉ.
F16.78. 2. UN. angle GAH étant donné, il faut trouver dans cet

angle un point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, AP
& PM soient ensemble égales à une ligne donnée KL.

Ayant supposé le Problême résolu , & nommé la don-
née KL, a; & les inconnues AP , * & PM,Y;

l'on aura par les qualitez du Problême x+y=a, ou y=a- *, qui est une équation à la ligne droite : mais parcequ'elle contient trois termes , je fais a — x=3: ce qui réduit l'équation à celle-ci y=k, qui n'en a que deux , & qui donne certe Construction.

Ayant pris sur AH & sur AG les lignes AB & AC égales à KL, & mené la ligne BC. Je dis que tous les points comme M de la ligne BC fatisfönt au Problême.

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1

mée

a,

ܪ

A Cause de la réduction a ax=%, AB étant nom

& AP, X; BP sera a.- x ou 3, dont l'origine est ( Art. 16. no. 4. ) en B, & qui va vers A. Or puisque ( Const. ) AB=AC & P M parallele à AC, PM sera égale à PB ; c'est pourquoi AP + PM, ou AP + PB= KL, ou en termes Algebriques x+y=a. C. Q.F.D.

PROBLÊME INDÉTERMINÉ. Dev X lignes paralleles AH, BK terminées en A &B par une autre ligne AG qui fait avec elles un angle quelconque GAH, étant données de position. Il faut trouver dans l'angle G B K le point M , d'où ayant mené M P parallele à GA, qui rencontre BK en E; ME soit à AP, ou à BE dans la raison donnée de m à n.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, ou PE, a ; & les inconnues A P, ou BE, *,

Fig. 79.

3.

PM,y; E M sera y — a ; & l'on aura par les conditions du Problême y-.::m. Ni donc mx =

ny – na; & comme l'on ne peut point trouver une seconde équation, il suit que le Problème est indéterminé : & le lieu qui renferme tous les points qui satisfont au Problême est une ligne droite ; puisque dans l'équation mx = = ny na,

les inconnues x & y n'y sont multipliées, ni

par

elle-mê me , ni entr'ellés. Pour réduire cette équation à deux termes , je fais y -- a=2, & mettant z dans l'équation pour y — a, l'on a mx=nz qui donne cette construction.

À étant le point fixe ou l'origine des inconnues x qui va vers H, & y qui va vers G, à cause de la réduction y -a=, le point B devient l'origine des inconnues to qui va vers K, & & qui va vers G; soit pris BC=N, & mené par C la droite CD parallele å BG &=m. Je dis que la ligne indéfinie BDI menée par les points B & D satisfait au Problême.

D E'MONSTRATION. AYANT mené par un point quelconque N pris sur BI, la droite NOR parallele à AG, ou à CD, les triangles semblables BCD, BQN donneront BC. CD:: BQ. ON, ou en termes Algebriques n: m :: x. 3; donc mx = n2 ou mx =ny - na, en mettant pour z la valeur y-a, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q.F.D.

CONSTRUCTION

Des Equations ou des lieux au cercle. PROBLÊME INDÉTERMINÉ. . XVII.UN E ligne A B étant donnée de grandeur ea de Fig. 80. position. Il faut trouver hors de cette ligne un point M, en sorte qu'ayant mené de ce point aux extrémitez A & B de la ligne AB, les droites MA, MB, le quarré de MA soit au quarré de MB dans la raison donnée de m à n,

2max

mga

1

m-n

mn

Ayant supposé le Problême résolu , on abbaissera du point M sur AB la perpendiculaire MP, & ayant nommé la donnée AB, a ; & les indéterminées À P,x; & PM, y; PB sera a - *; MA, *x + yy, & MB, aa — 2ax + xx + yy, & l'on aura par les qualitez du Probleme xx + yy · aa

- 2ax + xx + yy :: m. n; donc nxx+ пуу.

= maa 2max + Mxx + myy, ou en supposant que m surpasse n, mxx

mxx — nxx 2max + maa + myy yy o, ou xx

+ yy =0, en divisant

par m – n; & comme on ne peut point trouver d'autre équation pour faire évanouir une des inconnues, il fuit que le Problême est indéterminé ; & parceque dans l'é. quation il y a deux quarrez inconnus délivrez de toute quantité connue qui ont mêmes signes dans le même membre de l'équation, & que les inconnues AP & PM exprimée par * & y font un angle droit ; il suit que l'équation appartient au cercle, ou ce qui est la même chose , que tous les points qui satisfont au Problême sont à lá circonference d'un cercle ; il ne s'agit donc plus que de le déterminer par le moyen de l'équation que l'on vient de trouver : mais comme il y a un second terme dans l'équation, il est clair ( Art. 12. no. 14.) que le point A qui est l'origine des inconnues x & y n'est point le centre de ce cercle ; pour le trouver il faut faire évanouir le second terme; pour ce sujet, je fais x

X, qui réduira

1

ma

m

mnad

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ma

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l'équation à celle-ci yy =

K; car ayant

mm -- 2mn + nn substituéz+ valeur de x & son quarré dans l'équation

m' a? précedente, on aura 25

+ yy=0, desti

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ma2

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m

tuée de son second terme. Mais réduisant

m2 a ma

& 2

m. m-12

en

mna' en même dénomination, il restera

+ yy=0

2

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ma

mn

ma

le

9 mn

connues y & z ont leur origine au centre. Or pour trou. ver le centre du cercle, ou l'origine des inconnues y & k, il faut construire la réduction to

=2. Ce qui se fait en cette forte.

A étant l'origine des inconnues x qui va vers B , & y qui lui est perpendiculaire , soit prise AC = point C fera (Art. 16. no. 2.) l'origine des inconnues y & . & par consequent le centre du cercle qu'il faut décrire: mais le terme connu de l'équation réduite est le quarré du demi diametre du même cercle ; c'est pourquoi fi du centre C & du rayon

(Dans Vmnaa au lieu de ma, on peut substituer gg. Ainsi au lieu de Vmnaa, on aura Vaags = ag. Par consequent Vmnaa

mnad

mm

- 2 mntnn

Vmnaa

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ag

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=CD=CE.) Si, dis-je, du centre C & du rayon CD ou CE l'on décrit le cercle DME, tous les points M de sa circonférence satisferont au Problême.

D E'M O N S T RATION. AYANT abbaissé d'un point quelconque M pris sur la circonference du cercle la perpendiculaire MP, par

la proprieté du cercle CD', ou CE CP=PM, ce qui est en termes Algebriques

K=yy; car 2m2 tonn

V

mnad

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