PROBLEME INDÉTERMINÉ.

FIG. 78. 2. UN angle GAH étant donné, il faut trouver dans ces angle un point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, AP &PM foient enfemble égales à une ligne donnée KL.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée KL, a; & les inconnues AP,x & PM,y i l'on aura par les qualitez du Problême x+y=a, ou y = a — x, qui eft une équation à la ligne droite : mais parcequ'elle contient trois termes, je fais a-xz: ce qui réduit l'équation à celle-ci yz, qui n'en a que deux, & qui donne cette Construction.

Ayant pris fur AH & fur AG les lignes AB & AC égales à KL, & mené la ligne BC. Je dis que tous les points comme M de la ligne BC fatisfont au Problême.

mée a,

DE'MONSTRATION.

A Caufe de la réduction a — x=2, AB étant nom-
& AP, x; BP fera ax ou z,
༢, dont l'origine
eft (Art. 16. no. 4.) en B; & qui va vers A. Or puifque
(Conft.) AB AC & PM parallele à AC, PM fera
égale à PB; c'est pourquoi AP PM, ou AP+PB—
KL, ou en termes Algebriques x+y=a. C.Q.F.D.

=

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

F16. 79. 3. DEUX lignes parallels AH, BK terminées en A & B par une autre ligne AG qui fait avec elles un angle quelconque GAH, étant données de pofition. Il faut trouver dans l'angle GBK le point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, qui rencontre BK en E; ME foit à AP, ou à BE dans la raison donnée de mà n.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, où PE, a; & les inconnues AP, ou BE,x,

na;

&

PM, y; EM fera y a ; & l'on aura par les conditions
du Problême y — a.x:: m. n; donc mx = ny-
comme l'on ne peut point trouver une feconde équation,
il fuit que le Problême eft indéterminé : & le lieu qui
renferme tous les points qui fatisfont au Problême eft une
ligne droite, puifque dans l'équation mx = ny-na, les
inconnues x & y n'y font multipliées, ni par elle-mê-
me, ni entr'ellés. Pour réduire cette équation à deux
termes, je fais y ―a=z, & mettant z dans l'équation
pour ya, l'on a mx=nz qui donne cette construction.
A étant le point fixe ou l'origine des inconnues x qui
va vers H, & y qui va vers G, à cause de la réduction
y
―a, le point B devient l'origine des inconnues x
qui va vers K, & qui va vers G, foit pris BC=n, &
mené par C la droite CD parallele à BG & = m. Je dis
que la ligne indéfinie BDI menée par les points B & D
fatisfait au Problême.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené par un point quelconque N pris fur BI, la droite NQR parallele à AG, ou à CD, les triangles femblables BCD, BQN donneront BC. CD:: BQ. QN, ou en termes Algebriques n. m :: x. z; donc mx=nz ou mx ny―na, en mettant pour la valeur y-a, qui eft l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D.

=

CONSTRUCTION

fa

Des Equations ou des lieux au cercle.
PROBLEME INDÉTERMINÉ.

XVIII.UNE ligne AB étant donnée de grandeur & de FIG. 8o.
pofition. Il faut trouver hors de cette ligne un point M, en forte
qu'ayant mené de ce point aux extrémitez A & B de la ligne
AB, les droites MA, MB, le quarré de MA foit au quarré
de MB dans la raifon donnée de m à n.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, on abbaiffera da point M fur AB la perpendiculaire MP, & ayant nommé la donnée AB, a ; & les indéterminées AP, x; & PM, y; PB sera a x; MA2, xx + yy, & MB2, aa— 2ax + xx + yy, & l'on aura par les qualitez du Problême xxyyaa 2ax + xx + yy :: m. n; donc nxx+ nyy = máa — 2max +mxx + myy, ou en fuppofant que m furpaffen, mxxnxx — 2max + maa + myy — yy

o, ou xx

2max

m-n

maa

+ +yy = 0, en divifant par m-n; & comme on ne peut point trouver d'autre équation pour faire évanouir une des inconnues, il fuir que le Problême eft indéterminé ; & parceque dans l'équation il y a deux quarrez inconnus délivrez de toute quantité connue qui ont mêmes fignes dans le même membre de l'équation, & que les inconnues AP & PM exprimée par & y font un angle droit ; il fuit il fuit que l'équation appartient au cercle, ou ce qui eft la même chofe que tous les points qui fatisfont au Problême font à la circonference d'un cercle; il ne s'agit donc plus que de le déterminer par le moyen de l'équation que l'on vient de trouver mais comme il y a un fecond terme dans l'équation, il eft clair (Art. 12. no. 14.) que le point A qui eft l'origine des inconnues x & y n'eft point le centre de ce cercle; pour le trouver il faut faire évanouir le fecond.

terme; pour ce fujet, je fais x

l'équation à celle-ci yy =

ma

mm- ·2mnnn

fubftitué z+ valeur de x & fon quarré dans l'équation

m-n

en même dénomination, il reftera ༢༢.—

= ༡༡ + ༢༢ .༤ + ༢༢.=

connues y &

ont leur origine au centre. Or pour trouver le centre du cercle, ou l'origine des inconnues y & z;

il faut conftruire la réduction x fait en cette forte.

༢.

ma

༢. Ce qui fe

m-n

A étant l'origine des inconnues x qui va vers B, & y

ma

m -n

le

qui lui eft perpendiculaire, foit prife AC= point C fera (Art. 16. no. 2.) l'origine des inconnues y & z ༢. & par confequent le centre du cercle qu'il faut décrire: mais le terme connu de l'équation réduite

eft le quarré du demi diametre du même cercle; c'est

pourquoi fi du centre C & du rayon

gg.

√mnaa au lieu de me, on peut fubftituer de Vmnaa, on aura Vaaggag. Par confequent Vmnaa

ag CD=CE.) Si, dis-je, du centre C & du rayon

m-n

CD ou CE l'on décrit le cercle DME, tous les points M de fa circonférence fatisferont au Problême.

DEMONSTRATIO N.

AYANT ANT abbaiffé d'un point quelconque M pris fur la circonference du cercle la perpendiculaire MP, par la proprieté du cercle CD', où CE2 — CP2 — ou CP2= PM2, ce qui

eft en termes Algebriques

mnaa

mm2mnnn

༢༨. = yy ; car

2

m-n

Or PM=y. Donc PM=yy: mais zx = xx—
༢༢.

mnaa

mm -2mnnn

2max

m-n

&

l'équation precedente, on aura après les réductions,
transpositions mxx
2max + maa + myy — nyy
=o, qui eft l'équation que l'on a conftruite. C. Q.F.D.

nxx

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

FIG. 80. I. LES

ES mèmes chofes étant fuppofees que dans le Problème précedent; il faut trouver le point M, en forte que MA foit à MB dans la raifon donnée de mà n.

En donnant aux lignes les mêmes noms que dans le Problême précédent, on aura par la qualité du Problême Vxx+yy Vaa

2ax + xx +yy :: m. n 5

donc n x

√xx+yy=m × √aa—2ax + xx+yy, ou nnxx → nnyy = mmaa — rmmax+mmxx+mmyy, ou en fuppofant que m furpaffe n, & divifant par mm-nn, l'on aura xx

2mmax mmaa

✦yy➡0, qui est une équation au cercle

dont l'origine des inconnues x & y n'eft point le centre à

<, pour faire évanouir le second terme, l'équation se