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CONSTRUCTION

Des Equations, ou des lieux à l'Ellipfe.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

XX. UN triangle ABC étant donné, il faut trouver un FIG.87. point M hors de ce triangle, en forte qu'ayant mené MPF parallele à AB qui rencontre AC en P, & BC en F, le quarré de PM, & le quarré de FP foient ensemble égaux au quarré

de AB.

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Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé les données AC, a ; AB, b; & les indéterminées A P,x; PM ̧ y; CP fera a-x, & les triangles femblables CAB, CPF donneront CA (a). AB(b):: CP(a — x ) . P F donc par les qualitez du Problême

ab - bx

a

aabb-zabbx+bbxx

aa

aayy

+yy=bb, ou xx — zax + =0,qui

bb

est une équation à l'Ellipse dont le point A qui eft l'origine des inconnues x & y, n'est point le centre, à cause qu'il y a dans l'équation un second terme.

Je fais donc pour la réduire x — a = z, & l'équation

devient par ce moyen zaa +

༢༢.

aayy bb

aayy

o, ou

bb

aa-zz, d'où fuit cette conftruction.

La réduction x-az, montre que le point Ceft le centre de l'Ellipfe, puifqu'il n'y a point de réduction pour y; & l'équation réduite, en faisant y donne ༢= +

a; ce qui fait voir que z va vers A & vers D, & fe termine en ces deux points, & que par conféquent AD eft un des diametres : ce que le terme connu aa de l'équation réduite fait auffi connoître: mais parceque le quarré connu aa se trouve encore avec yy; il fuit ( Art. 12. no. 9.) que

bb eft le quarré du diametre conjugué au diametre AD;
c'eft pourquoi fi l'on mene par le centre C la ligne G CH
parallele à AB, & qu'on faffe CG, & CH chacune
AB=b; GH fera le diametre conjugué au diametre AD,
& l'on décrira par l'Art. 12. n°. 21, ou Art. 13. n°. 37,
felon que l'angle BAC, ou ACH eft droit, ou oblique,
l'Ellipse AGDH, qui fatifera au Problême.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené librement la droite PM parallele à
CH, par la propriété de l'Ellipfe AP × PD. PM :: CA2
CG, ce qui eft en termes algebriques 2ax-xx.yy ::

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aayy

aa. bb, d'où l'on tire xx-2ax + =o. C. Q.F.D.

bb

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

FIG. 88. 1. UN triangle ABC dont les côtez AC, BC font prolongez vers H&vers G étant donné. Si d'un point quelconque P pris fur la bafe AB, on éleve PEF perpendiculaire à AB, ou parallele à quelque ligne donnée de pofition; il faut trouver quelle eft la courbe qui divife EF, & fes femblables en M, de maniere que PE. PM:: PM. PF.

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Ayant fuppofé le Problême réfolu, mené CD parallele
à PM, & nommé les données AB, a; AD, b ; DC, c ;
DB, d; & les indéterminées AP, x; PE, z ¿ PM, y; PF,
u; PB fera ax; & les triangles femblables APE,
ADC & BDC, BPF donneront x (AP). z(PE) :: b
(AD). c ( DC), d'où l'on tire bz = cx ; & d ( BD).c
(DC) :: a
:: a—x (BP). u (PF), d'où l'on tire du ac
cx: & par les qualitez du Problême, z(PE). y ( PM ) ::
y (PM). u (PF), d'où l'on tire zuyy; l'on a donc
trois équations, que l'on réduira à une feule, en faisant
évanouir z & u: (car il ne faut pas faire évanouir x &y;
parcequ'elles ont les qualitez requifes par la premiere &
huitième observation de l'Art. 4. qui font celles qu'il faut
le plus exactement fuivre dans les Problêmes indétermi-

༢.

nez)

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o, qui eft une équation à l'Ellipfe, que l'on conftruira en

cette forte.

Ayant fait x

a=z, l'équation se réduira à

I

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celle-ci z

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o, ou

༧༧-༢༢༨

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Or à cause de la réduction x

az, fi l'on divife A B par le milieu en O, le point o fera le centre de l'Ellipfe, & l'origne des inconnues qui va vers B& vers A, & fe termine en ces deux points ( car fi dans l'équation réduite on fait y = + a) & y qui va parallele à BC. Pour avoir l'expreffion du demi diametre conjugué au diametre AB, on fera bd. cc::

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4

4bd

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l'on aura

& fera (Art. 12. n°. 11.) l'expreffion cher

2Vbd

chée; prenant donc fur KOZ parallele à DC, OK &OL

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KL fera le diametre conjugué au

diametre AB. L'on décrira l'Ellipfe AMBL par l'Art. 12. no. 21, ou Art. 13, no. 37.

AYANT

DEMONSTRATION.

ANT mené d'un point quelconque M pris fur l'EL lipfe la droite MP parallele à CD, l'on aura par la propriété de l'Ellipfe AP × PB. PM :: AB2, KL. Ce qui

eft en termes algebriques aa-xx.yy :: aa.

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SI le point B étoit infiniment éloigné du point A, la ligne FCB feroit parallele à AB, & dans l'équation

Y

bdyy

précedente ax-xx — a & d deviendroient infini

CC

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ment grandes par raport aux autres lettres; de forte que
le terme xx feroit nul par raport à ax, a feroit
a feroitd,

& l'on auroit cette équation

CCx

b

courbe AMC feroit une parabole.

yy qui montre que la

3. SI le point B étoit de l'autre côté de A fur le pro-
longement de AD, dans l'équation ax — xx —

bdyy

CC

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d & x deviendroient négatives, & il faudroit changer les
fignes des termes où a, d & x ne font multipliées ni par
bdyy
elles-mêmes ni entr'elles, & l'on auroit ax-xx――

bdyy

Ou xx ax

CC

CC

qui montre que la courbe AMC

feroit alors une Hyperbole.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

bbyy

4. SOIT l'équation xx — +cx+ =0, en fai

bxy

a

244

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~~+ − c = 2, l'équation à reduire devient

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qui eft une équation à l'Ellipse.

Pour la conftruire, foit le point A l'origine des inconnues y qui va vers H, & x qui va vers G, & qui font l'angle GAH tel que le demande le Problême d'où l'on fuppofe que l'équation que l'on conftruit a été tirée. A

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cause de la feconde réduction y+=u, l'on prolongera AH du côté de A, & l'on fera AI; & le point I fera l'origine de a qui va toujours vers H, & de x qui demeure parallele à AG. A caufe de la premiere réduc ༢, l'on menera par 1 la droite

ction x by
12 + 10 = 2,

24

IK parallele à AG, & ayant fait IK=

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puifque AI, l'on menera KA indéfiniment prolongée : & parcequ'il y a encore dans la réduction + c, ayant pris fur la ligne IK prolongée KO = l'on menera OD parallele à KA, qui rencontrera AH en R, & le point o fera le centre de l'Ellipfe & l'origine des inconnues a qui eft parallele à AH, & z parallele à AG: car ayant mené par quelque point B de la ligne AH, la droite PBCM qui rencontre OR en P, & KA en C: BC sera: car AI. IK :: 2a.b:: AB(y). BC=31⁄2 & partant PM ( x ) = BM — BC + CP = x — + // c.

by

24

Mais parceque les coordonnées de l'Ellipfe font OP & PM, en fuppofant l'Ellipfe décrite, l'expreffion de OP doit fe trouver dans l'équation réduite auffi-bien que celle de PM qui eft z. Au contraire celle de IB qui eft a ne doit plus s'y rencontrer. Il faut donc trouver une équation qui renferme l'expreffion de IB (u), & celle de OP, afin de faire évanouir a de l'équation réduite, & d'introduire en fa place l'expreffion de O P. Pour ce fujet, ayant prolongé AG en F, & nommé les données AI (Conft.); KA, ou OF, g; & l'inconnue OP, ou KC, f; les triangles femblables AIK, ABC donneront AI. AB:: AK. AC, & componendo IB. AI:: KC, ou OP. KA, ou OF: ce qui eft en termes analytiques u.

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bg

bbgg

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