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ab bx

a

CONSTRUCTION

Des Equations, ou des lieux à l'Ellipse. PROBLÊME INDÉTERMINÉ. xx.Un triangle AB C étant donné, il faut trouver un Fig. 87. point M hors de ce triangle, en sorte qu'ayant mené MPF parallele à AB qui rencontre AC en P, & BC en F , le quarré de PM, & le quarré de FP soient ensemble égaux au quarré de AB,

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé les dona nées AC, a; AB, 6; & les indéterminées A P,x;PM, j'; C P sera a - *, & les triangles semblables CAB, CPF donneront CA(a). AB (6):: CP(a- x). PF

donc par les qualitez du Problême aabb - 2abbx + bbxx

+yy=bb, ou xx — 2ax + =o,qui est une équation à l'Ellipse dont le point A qui est l'origine des inconnues x & y, n'est point le centre, à cause qu'il У a dans l’équation un second terme. Je fais donc pour la réduire x-a=,

-a =, & l'équation

авуу devient par ce moyen 2 — aa +

o, ou aa - KK, d'où suit cette construction.

La réduction x — a=, montre que le point c est le centre de l'Ellipse , puisqu'il n'y a point de reduction pour y; & l'équation réduire, en faisant y =o,

donne =+ a; ce qui fait voir que z va vers A & vers D, & se termine en ces deux points, & que par conséquent A D est un des diametres: ce que le terme connu aa de l'équation réduite fait aussi connoître: mais parceque le quarré connu aa se trouve encore avec yy ; il suit ( Art, 12. no. 9.) que

aayy

ad

bb

aayy

bb

bb

aayy
bb

A

bb est le quarré du diametre conjugué au diametre A D;
c'est pourquoi si l'on mene par le centre C la ligne GCH
parallele à A B , & qu'on fasse CG, & CH chacune
AB=b; G H sera le diametre conjugué au diametre AD,
& l'on décrira par l’Art. 12, no. 21, ou Art. 13. no: 37,
selon que l'angle BAC, OU ACH est droit, ou oblique,
l’Ellipse AGDH, qui sacifera au Problême.

D E' MONSTRATION.
AY ant mené librement la droite PM parallele à
CH, par la propriété de l’Ellipse AP * PD.PM'::CA?
.CGʻ, ce qui est en termes algebriques 2ax — xx.yy ::
aa.bb, d'où l'on cire xx 2ax + =o. C. Q.F. D.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.
F 16. 88. 1. Un triangle ABC dont les cotez AC, BCsont prolongez

vers H & vers. G étant donné. Si d'un point quelconque P pris sur la base AB, on éleve PEF perpendiculaire à AB, 04 parallele à quelque ligne donnée de position ; il faut trouver quelle est la courbe qui divise EF, & fes semblables en M, de maniere

que

PE. PM :: PM. PF. Ayant supposé le Problême résolu, mené CD parallele à PM, & nommé les données AB, a; AD,b;DC,; DB, d ; & les indéterminées AP, x; PE, R; PM,y;PF, u; PB sera a - *; & les triangles semblables APE, ADC & BDC, BPF donneront x( AP).(PE):: 6 ( AD).C(DC), d'où l'on tire bx=(x; & d (BD).C (DC) :: a - *(BP). «(PF), d'où l'on rire du = ac cx:& par les qualitez du Problême, (PE)., (PM) :: yl P^.^ ( PF), d'où l'on tire zu ==yy; l'on a donc trois équations, que l'on réduira à une seule, en faisanc évanouir z & u: (car il ne faut pas faire évanouir x & y; parcequ'elles ont les qualitez requises par la premiere & huitième observation de l'Art. 4. qui sont celles qu'il faut le plus exactement suivre dans les Problêmes indétermi.

nez)

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-za

O, ou

aa

CC

4

aacc

ad

o, qui est une équation à l’Ellipse, que l'on construira en cette forte. Ayant fait x - a=k, l'équation se réduira à

bdyy

bdyy celle-ci ak -- aa + Or à cause de la réduction x a=2, si l'on divise A B par le milieu en 0, le point o sera le centre de l’Ellipse , & l'origne des inconnues z qui va vers B & vers A , & se termine en ces deux points ( car si dans l'é. quation réduite on fait y = 0, l'on aura z=+į a) & y qui va parallele à BC. Pour avoir l'expression du demi diametre conjugué au diametre AB, on fera bd. cc::

fera (Art. 12.no. 11.) l'expression cher4bd chée; prenant donc fur KOL parallele à DC, OK &OL chacune égale à KL sera le diametre conjugué au diametre AB. L'on décrira l’Ellipse A MBL par l'Art. 12. no. 21, ou Art. 13 , no. 37.

D E'M ON S T RATIO N. Ayant mené d'un point quelconque M pris sur l’EL lipse la droite M P parallele à CD, l'on aura la

propriecé de l’Ellipse AP PB. PM :: ABŁ. KL”. Ce qui est en termes algebriques ad — xx.yy :: aa. d'où

bdyy l'on tire xx - ax to -0. C. Q. F.D.

&

2Vbd

2Vbd

par

nacc

bd

R E MAR DU E S. Su I le point-B étoit infiniment éloigné du point A , la ligne F C B seroit parallele à AB, & dans l'équation

Y

2.

CC

CCX

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bdyy précedente ax — Xx = a &d deviendroient infiniment grandes par raport aux autres lettres ; de sorte que le terme xx seroit nul par raport à ax, a seroit

seroit =d, & l'on auroit cette équation õ=yy qui montre que

la courbe AMC seroit une parabole. 3. Si le point B étoit de l'autre côté de A sur le pro

bdyy longement de AD, dans l'équation ax - xx d & x deviendroient négatives, & il faudroit changer les fignes des termes où a , d & x ne sont multipliées ni par

bdyy elles-mêmes ni entr'elles, & l'on auroit ax - xx=

bdyy

qui montre que la courbe AMC seroit alors une Hyperbole. PROBLÊME INDÉTERMINÉ.

bbyy 4. Soit l'équation **

by sant x-2+ ==l'équation à reduire devient uz

bcy

bbyy

=0, ouyy +

оц xx - ax

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CC

bxy

text

=o, en fai.

244

24

2acy

aace to faazz

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b

bb

ac

0, & faisant encore y +

= a, l'on a l'équation

b

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réduite uu

qui est une équation à l'Ellipse. Fig. 89.

Pour la construire, soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers H, & x qui va vers G, & qui font l'angle G AH tel que le demande le Problème d'où l'on suppose que l'équation que l'on construit a été tirée. A

ction x

C

20

cause de la seconde réduction y +=u, l’on prolongera AH du côté de A , & l'on fera AI=; & le point I fera l'origine de u qui va toujours vers H, & de x qui demeure parallele à AG. A cause de la premiere rédu+c=s, l'on menera par 1 la droite

AIXb IK parallele à AG, & ayant fait IK= puisque AI=, l'on menera K A indéfiniment prolongée : & parcequ'il y a encore dans la réduđion + įs, ayant pris sur la ligne IK prolongée KO=1C, l'on menera O D parallele à KA, qui rencontrera AH en R; & le point o sera le centre de l’Ellipse & l'origine des inconnues u qui est parallele à AH, & z parallele à AG:car ayant mené par quelque point B de la ligne AH, la droite PBCM qui rencontre OR en P, & K A en C: BC sera=.: car AI. IK :: 2a.b:: AB (y).BC= & partant PM (X) = BM - BC + CP=* + {c.

Mais parceque les coordonnées de l’Ellipse sont OP & · PM, en supposant l’Ellipse décrite , l'expression de O P doir se trouver dans l'équation réduite aussi bien

que

celle de P M qui est 2. Au contraire celle de I B qui est u ne doit plus s'y rencontrer. Il faut donc trouver une équation qui renferme l'expression de I B (u), & celle de OP, afin de faire évanouir u de l'équation réduite, & d'introduire en sa place l'expression de 0 P. Pour ce sujet, ayant prolongé A G en F, & nommé les données AI (Const. ); KA, ou O F, 8;

& l'inconnue OP, ou KC,/; les triangles semblables AIK, ABC donneront AI. AB:: AK. AC, & componendo IB. AI:: KC, ou OP.KA, ou O F ce qui est en termes analytiques 11.

acf

aaceh d'où l'on tire u==

& bg

bbgg

by 2.

ac

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OU UU =

b

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