'APC, l'on aura AK (TM). KO (a) :: AP (x), PC =

=

2n

eft le centre de l'Hyperbole, & l'origine des inconnues qui va vers G (car le point 0 est dans le prolongement de G B à cause de KO AB) & y qui demeure toujours parallele à AB: Mais les coordonnées de l'Hyperbole font préfentement OC, & CM en fuppofant l'Hyperbole décrite, c'eft pourquoi l'expreffion de OC se doit trouver dans l'équation réduite auffi-bien que celle de CM (u): au contraire celle de KP (z) ne doit plus s'y rencontrer; il faut donc trouver une équation qui renferme l'expreffion de KP (z) & de OC, afin de faire évanouir de l'équation réduite, & d'introduire en fa place celle de OC. Pour ce fujet, ayant nommé les données AK (Conft.) AO, d; & l'indéterminée OC, f; l'on aura à caufe des triangles semblables KAO, PAC, AK. A0:: KP. oc,

ou en termes algebriques

rnaf

༢=

༠u ༢༢.༤=

md

4nnaa
mmdd

2na

m

ου

; mettant donc dans l'équation

réduite en la place de z fa valeur que l'on vient de trou

=— dd, & l'on décrira (Art. 14. n°. 30.) par le moyen de cette équation, l'Hyperbole AM qui réfoudra le Problême.

DEMONSTRATION.

AYA A NT mené d'un point quelconque M pris fur l'Hyperbole la ligne MPC parallele à BA, l'on aura par la propriété de l'Hyperb. AK2. KO' :: OC2 —OA2. CM3,

Z

ou dd. aa :: ffdd. uu, d'où l'on tire

ou yy +

mxy- -max

n

o, & remettant pour Л, pour un &

pour leurs valeurs tirées des équations précedentes, & réduifant. C. Q. F.D.

PROBLEME

INDÉTERMINÉ.

FIG. 92. 2. Il faut trouver dans un triangle donné ABC un point M, Iz L par où ayant mené une ligne DME parallele à un des côtez AC, & du point A par le même point M, la ligne A MF, qui rencontre BC en F; BF foit à BD dans la raifon donnée de m à n.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, foit menée MG parallele à BC, & nommé les données AB, a; BC, b; & les inconnues AG, x; GM,y; GB fera, a — x; & les triangles femblables AG M & ABF, CBA & MGD, 'donneront AG ( x ). GM(y) :: AB (a). BF — a2 & ¿CB (b). BA (a) :: MG (y), GD=%; donc BD=a

m

x+, & par les qualitez du Problême, l'on a m. n:: (BF). : 22 ( BF ) . a — x+% (BD), d'où l'on tire xx-axy ➡ax +"ay=0, qui eft une équation à l'Hyperbole, & qui montre que la même Hyperbole doit paffer par les points A & B car fi l'on fait xo, l'on aura auffi y=0; d'où il fuit que les points G & M fe confondent avec le point A, qui par conféquent est un des points de l'Hyperbole; & fi l'on fait y qui fait connoître que le point & tombant en B, le point My tombe auffi ; & par conféquent le point B eft un des points de l'Hyperbole. Pour réduire cette équation, on

l'on aura x = a

4b╚༢༢

12/12 - 2a = 2, & l'on en tirera 4bb** =yy →

+bb, & faifant encore y+b27bb

l'on aura l'équation toute réduite 4 = uu +

aa

4mnab3 — 4nnb* qui avec les réductions donnent cette con

mmaa

ftruction.

Ayant mené AK parallele à BC, A étant l'origine des inconnues x qui va vers B & y qui va vers K; à causeR de la feconde réduction y + b 2nbb nbhu, foit prise AK

ma

=b 2n66 K sera l'origine des inconnues & qui va fur AK de côté & d'autre de K, & x parallele à AB. Et ayant divifé A B par le milieu en I, & mené IC; à caufe de la premiere réduction xaz, soit menée KO parallele à AB qui rencontrera IC prolongée, s'il eft néceffaire, en O; le point o fera l'origine des inconnues qui va de part & d'autre du point O parallele à AB, &u, qui va de part & d'autre du point o parallele à BC, ou à AK: car ayant mené AL parallele à 70 qui rencontre KO en Z; LO fera égale à AÏ —1⁄2a; & à caufe des triangles fem

blables CBI, AKL, l'on a CB (b). B1 (÷a)

:: AK

&

Mais parceque ayant mené MP parallele à AB, prolongé GM en S, les coordonnées de l'Hyperbole qui doit être le lieu où fe doivent trouver tous les points M, font préfentement OP & PM; c'eft pourquoi il faut introduire dans l'équation réduite l'expreffion de OP que je nomme, & faire évanouir celle de S M qui eft z. Pour y parvenir, je nomme la donnée CI, d; & à cause des paralleles BI, PM & OS, l'on a CB.IC: MS. OP oub.d::

bf
d

bb

u.f; & partant #= &uumettant donc dans l'é

dd

quation réduite en la place de un fa valeur.

bb que l'on vient

―

dd

:

servira à déterminer les demi diametres conjuguez OR, &OT fur OP & OK, & l'on décrira (Art. 14. no. 30.) l'Hy. perbole AMB qui réfoudra le Problême,

DE'MONSTRATION.

ELLE eft femblable à celle des Propofitions préce

dentes.

CONSTRUCTION

Des Equations, ou des lieux à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes.

PROBLEME INDETERMINÉ.

FIG. 93, XXII. DEUX lignes paralleles AH, BG, dont les extrèmitez A&B font fixes, étant données de pofition fur un Plan; foit une autre ligne CD menée librement perpendiculaire aux paralleles. Il faut trouver fur CD le point M, en forte que ayant mené des points A&B les droites AM, & BM, l'angle AMC foit égal à l'angle BMD dans toutes les pofitions de CD parallele à elle-meme.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, foit menée BE parallele à CD, & nommé les données BE, ou DC, a; AE, b; & les indéterminées BD, ou EC, x; DM, y; AC sera b+ x; & CM, a—y. Puifque par la construction les angles ACM, BDM font droits, & par l'Hypothese, l'angle AMC égal à l'angle BMD, les triangles ACM, BDM feront femblables; c'eft pourquoi l'on aura AC.CM :: BD. DM, ou en termes algébriques, b+x. a-y:: x.y; donc by + xy-ax - xy, ou by + xy = {/ ‡ ax (en divifant par 2. pour délivrer le produit des inconnues de toute quantité connue) qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes, puifque aucune

des deux inconnues, n'est élevée au quarré, & qu'elles font multipliées l'une par l'autre comme dans celle de l'Art. 14. no. 4. Mais parceque cette équation contient trois termes, il suit ( Art. 14. n°. 4. ) que le point B qui est l'origine des inconnues x & y, n'eft point le fommet de l'angle des afymptotes. Pour le trouver & déterminer la pofition des afymptotes, il faut réduire l'équation en changeant les produits compofez en produits fimples. Faifant donc b+x=z, l'on aura x = 2—1b, & mettant dans l'équation en la place de x sa valeur z— b, l'on en tirera az — yz=ab, & faisant encore a-yu, l'on aura y=a-u, & mettant cette valeur de y dans l'équation précédente, l'on aura uz = ‡ ab, où les inconnues u & %, ont (Art. 14. ) leur origine au fommet de l'angle des afymptotes. Les deux réductions précédentes, & l'équation réduite fournissent cette construction.

A cause de la premiere réduction x + b = 2, on prolongera DB en I en forte que B I = AE = b & ayant mené I K parallele à BE, le point I fera l'origine des inconnues z qui va (Art. 16. n°. 1. ) vers G, & y qui va vers K. A cause de la feconde réduction a—y - И u, on prendra IK = BE = {a, & ayant mené KO parallele à AH, ou à BG, le point K fera l'origine des inconnues qui va vers 0, & u qui va ( Art. 16. n°. 4. ) vers I, & le fommet de l'angle des afymptotes KI & KO, puifque l'équation uz = // ab n'a que deux termes; comme celle de l'Art. 14. On voit par l'équation uz=ab, que l'Hyperbole doit paffer par le point B, puifque ab = 1/ax 1/b = KI × IB. On décrira donc (Art. 14.) par le point B, entre les afymptotes KO, KI, l'Hyperbole BM qui fatisfera au Problême,

=