teurs, & qu'il faut deux c

D

lignes du triangle pour
égaler une ligne du Rectangle

ligne du Rectangle, toutes les lignes du triangle prifes enfemble, ne fçauroient valoir que la moitié de toutes les lignes du Rectangle prifes enfemble: & comme toutes ces lignes prifes enfemble ne different pas des furfaces, il s'enfuit que la furface du Rectangle eft double de l'autre.

Cela fe peut démontrer encore autrement par la proprieté de la progreffion Arithmetique. On fçait, par exemple, que dans la progreffion Arithmetique 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, &c. ou telle autre, comme 1, 3, 5, 7, 9, II, 13, &c. fi l'on prend deux termes également éloignés du terme du milieu, leur fomme fera égale à deux autres termes également éloignés du milieu; dans la premiere progreffion, 1, 7, font également éloignés du milieu 4. 2 font également éloignés du même milieu 4. Il eft évident que la fomme des deux premiers qui eft 8, eft égale à la fomme des deux derniers, & de même dans telle autre progreffion Arithmetique que l'on voudra choifir.

6.

Cela fuppofé, fi l'on conçoit la ligne BD, hauteur des grandeurs à comparer, divifé en tel nombre de parties égales que l'on voudra, à mefure que l'on montera de la bafe CD, vers le fommet B, la hauteur décroîtra, fuivant la progreffion Arithmetique, c'est-à-dire, que la diminution fera toûjours par parties égales.

D'ailleurs les élemens du triangle étant toûjours proportionels à la hauteur, décroîtront auffi par confequent en progreffion Arithmetique. Par exemple, fi la hauteur B F, comparée à la hauteur BD, eft diminuée d'une cinquième partie, l'élement E F, comparé à l'élement CD, fera pareillement diminué d'une cinquième partie.

Or dans notre Figure, le premier terme de la progreffion, eft la bafe CD, le dernier terme eft le point B, ou pour mieux dire zero, lefquels termes font également éloignés du milieu M, N; donc deux termes quelconques de la progreffion, ou, si vous voulés, deux élemens quelconques du triangle également éloignés du milieu pris enfemble, font égaux à la bafe CD, & comme le Rectangle contient autant de lignes égales à CD, qu'il y a de termes ou d'élemens dans le triangle, il fuit évidemment que toutes les lignes, comme C D, prises enfemble, c'eft-à-dire, la furface du Rectangle, eft double de toutes les lignes du triangle prifes enfemble, c'eft-à-dire, de la furface. Cette démonftration eft générale.

I. COROLLA ÍRE.

La fuperficie cylindrique dont la hauteur eft égale au raion du cercle qui lui fert de bafe, eft double de l'Aire de ce cercle.

La fuperficie cylindrique contient autant de cir

conferences égales à celles de fa base, qu'il y a de points dans fa hauteur, ou, fi vous voulés, dans le raion de cette bafe: car on la conçoit formée par cette base coulant parallelement à foi-même par tous les points de la hauteur; ainfi les élemens de fuperficie cylindrique ne décroiffent point.

L'Aire du cercle qui fert de base, eft composée d'autant de circonferences concentriques qu'il y a de points dans le raïon, ainfi l'Aire de ce cercle a pareil nombre d'élemens que la fuperficie cylindrique.

Mais toutes ces circonferences concentriques, à mefure qu'elles approchent de leur centre, décroiffent arithmetiquement, c'eft-à-dire, par parties égales, & en même Raifon que leurs raions, puifque toutes circonferences font entre elles comme leurs raïons; donc par la précedente Propofition, tous les élemens de la fuperficie cylindrique pris ensemble, font doubles de tous les élemens de l'Aire du cercle pris enfemble; donc cette fuperficie cylindrique eft double de l'Aire du cercle qui lui fert de bafe.

II. COROLLAIRE.

Le Fuseau parabolique eft la moitié du Cylindre de même base & de même hauteur.

pour

faire

Quoique cette Propofition ne foit point élemende la mettre, taire, nous ne laiffons pas voir l'ufage immenfe de nos indivifibles. On appelle Parabole en Geometrie, une espece de ligne courbe, comme CE FB, que l'on fuppofe avoir la proprieté fuivante; fçavoir, aïant la ligne DB, qui tombe perpendiculairement au point B, fur la courbe, & qu'on appelle l'Axe de la Parabole, fi de deux points quelconques de la Para

J'acheve maintenant le L Rectangle ABCD, dans l'Aire duquel notre Parabole CEFB, fe trouve décrite, & je fuppofe que

E

M

D

ce Rectangle tourne fur l'Axe immobile BD; ce Rectangle ainfi tournant décrira un Cylindre, qui aura pour base un cercle dont le raïon fera CD, & pour hauteur la ligne BD.

La Parabole cependant tournant autour du même Axe immobile, décrira un Corps folide terminé en pointe, au fommet B, qui aura pour base le même cercle que le Cylindre, & c'est ce Solide que j'appelle Fufeau Parabolique.

Je dis que la folidité de ce Fufeau, eft moitié de la folidite du Cylindre.

La folidité du Cylindre contient autant de cercles égaux à fa base, qu'il y a de points dans la ligne BD; ainfi les élemens du Cylindre ne décroiffent point.

La folidité du Fufeau contient autant de cercles paralleles à la bafe, qu'il y a de points dans la même ligne BD; ainfi il y a autant de cercles ou d'élemens dans le Fuseau, qu'il y en a dans le Cylindre; mais

ces cercles ou élemens du

Fuseau, vont toûjours en A

F

B

E

H

décroiffant : il n'y a donc plus qu'à examiner s'ils décroiffent en même Raifon que les hauteurs: car K en ce cas, par la précedente Propofition, ils feront moitie de tous les cercles duCylindre pris ensemble, qui ne décroiffent point. I J'examine donc dans ce Fuseau le cercle qui a pour raion EH, & je le compare avec le cercle qui a pour raion FG. Je fçai d'ailleurs que les cercles font entre eux comme les quarrés de leurs raïons; donc le cercle dont le raion eft EH, eft au cercle dont le raion eft FG, comme le quarré de la ligne EH, eft au quarré de la ligne FG.

D

Or. par la fuppofition, & fuivant la proprieté de la Parabole, le quarré de la ligne E H, eft au quarré de la ligne FG, comme la hauteur BH, à la hauteur B G.

Donc le cercle qui a pour raïon EH, eft au cercle qui a FG pour raion, comme la hauteur BH, eft à la hauteur BG.

Donc les cercles ou élemens qui compofent le Fufeau, décroiffent en même Raifon que les hautcurs; donc le Fuseau Parabolique eft moitié du Cylindre.

Il eft vifible que l'efpece d'entonnoir qui refte lorfque de la folidité du Cylindre, l'on ôte le Fuseau Parabolique, eft égale à ce Fufeau, puifque le Fu