페이지 이미지
PDF
ePub

D E'MONSTRATION.
AYA

ANT mené par un point quelconque M pris sur l'Hyperbole, les lignes CND & MP paralleles à BE & à KO; l'on aura ( Art, 14.) KI RIB=KP ® PM, ou en termes algebriques, uz= _ ab, ou į by + xy = {ax, en remettant pour 2 & pour u leurs valeurs tirées des réductions. C. l. F. D.

1. Si dans cette équation on fait b=0, le point A fe confondra avec le point E, & l'on aura y=ļa, qui est une équation à la ligne droite , & qui montre que le point M se trouvera sur la ligne Ko qui partage EB, & CD par le milieu.

PROBLEME INDÉTERMINÉ. F16.94.2. UN angle GAH, & un point C, étant donnez de posis

tion sur un Plan. Si l'on mene du point C une infinité de lignes droites comme CDB, qui rencontrent les lignes AG, AH aux points D & B, & que l'on prenne sur chaque CDB un point M, en sorte que CM soit toujours à DB dans la raison donnée de m à n. Il faut strouver une équation qui exprime la nature de la courbe qui passe par tous les points M.

Ayant supposé le Problême résolu, on menera par le point donné C & par le cherché M, les lignes CI, MK paralleles à AH, qui rencontreront GA prolongée en. I & en K:& ayant nommé les données Al, a; 1C, b; & les inconnues IK, %; KM, y; AK sera a - *; & les qualitez du Problême donneront m. n:: IK(x). A B

on the car à cause des paralleles, IK. AB :: CM. DB donc KB=*+ , &IB=a+*; & à cause des triangles femblables CIB, MKB, l'on aura b (IC). a +(IB)::y (KM). a— *+ **(KB); d'où l'on tire

- 2 + xy, qui est une équation à l'Hyperbole entre ses asymptotes, qu'il faut réduire pour en déterminer la position. Faisant donc ma +x=2,

*l'on a

mab - mbx+nbx

[ocr errors]

.

mmab

mm ab

[ocr errors]

&

nn

x=-; & mettant cette valeur de x dans l'équation, l'on aura, après avoir ôté ce qui se décruit, en transposant, = y + membri — bx; & faisant encore y + mile

-b=u, l'on aura =7u, où les inconnues u ont leur origine au sommet de l'angle des asymptotes. L'équation réduire & les réductions fournissent la constručtion suivante.

A cause de la premiere réduction ma+x=k, l'on prolongera AI en 0, en sorte que 10= m.& l'on menera og parallele à IC; à cause de la seconde réduction y + moms

-b=u, en supposant que m surpasse n, l'on prolongera Om du côté de O en R, en sorte que OR=ml - 6; & ayant mené RS parallele à IB, les lignes RG, RS seront les asymptotes, & R, l'origine des inconnues z qui va vers S, & u qui va vers Q. Si l'on prolonge CI en F, FC sera (const.) me — 6+b=mb& 01 ou RF étant (const.)=; l'on aura R F FC=mmab; c'est pourquoi l'Hyperbole qui satisfait au Problême passera par le point C. On la décrira par l’Article 14. .

D E' MONSTRATION. AYAN

ANT mené d'un point quelconque M pris sur l’Hyperbole, la ligne MKP parallele à RQ, l'on aura par la propriété de l'Hyperbole RP ® PM=RFR FC, ce qui est en termes algebriques uz =

May + xy, en remettant pour z & pour u leurs valeurs tirées des réductions. C. Q. F. D.

3. Si m=n, la ligne RS se confondroit avec OB, & 10 seroit égale à IA; car l'équation à réduire deviendroit ab =ay + xy, & la premiere réduction seroit a + % =R, &il n'y en auroit point de seconde,

mmab
nn >

ou

mab

mbx + nbx

[ocr errors]

PROBLÊME INDÉTERMINÉ. F16.95.4. DEU X. lignes droites AG, BH, dont les extrêmitez A

&B sont fixes, & qui étant prolongées concourrent en un point C, étant données de position ; soit une autre ligne D E mcnée librement de l'une à l'autre parallele à une ligne donnée de pofition. Il faut déterminer fur DE, le point M, en sorte qu'ayant mené AM & BM , l'angle DAM soit toujours égal à l'angle ЕВ М. .

Ayant supposé le Problême résolu, on menera BK parallele à DE, & ayant divisé l'angle ACB en deux éga lement par la ligne Co, on menera par les points A & B les lignes AF & BI paralleles à co, qui rencontreront Deen F & en I, & KB en L. Ces paralleles seront données de position, & KL, L B ou FI & A L seront données de grandeur. Or puisque par la const. les angles DAF, EBI sont égaux, le Problême se réduit à trouver sur FI le point M, en sorte que l'angle FAM soit égal à l'angle IBM. Pour en venir à bout , soient me. nées F P qui fasse avec AF l'angle AFP = AFD, ou BIM, & qui rencontre B1 en P, & MN parallele à FB. Il est clair que les triangles FIP, MNI seront isoceles : car les angles AFD+ AFM=2 droits=(const.) AFP + AFM= AFM + MFP+ FIP == MFP+ FIP-t IPF donc AFM=IPF=FIP. Et

parceque

le triangle FIP demeure toujours le même, puisque la ligne FI demeure toujours parallele à elle-même, ses côtez seront donnez de grandeur ; & les triangles AFM, BNM seront semblables.

Nommant donc les données LB, ou FI, a; AL,b; IP,c; & les inconnues FM , X; LF, ou BI, Y; MI ou MN sera a - *, & AF, 6+y; & les triangles semblables FIP, MIN donneront F I(a). IP(C):: MI. (a- *). IN =

& à

[ocr errors]

ac

donc BN=yt

[ocr errors]

cause

cause des triangles semblables, AF. FM :: BN. NM,
ou en-termes algebriques, b+y.x::y+ a—x;d'où
l'on tire aab + day,

abx
2axy = dix -

čxx , qui est une équation à l'Hyperbole que l'on peut regarder, ou par raport à ses diametres, ou par raport à ses asym: ptotes : mais comme on en a construit de femblables dans l'article précedent, en réduisant les équations aux diametres, on construira celle-ci en la réduisant aux asymptotes selon l'Article rs. no:14: L'on a en transpofant

aab + cxx & divisant par 2a,

xy jay, & faisant x

{a=z, l'équation se réduit à celle-ci, aab + 022

aac - abz =yz, ou ab – į ac =

'abx

acoc

[ocr errors][merged small]
[ocr errors]

yx + { bz , en fupposant que 6- surpasseč; & faisant encore

y+ {biare - 1, l'on aura l'équation réduite & ab į acruz, qui appartient à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes, & où les inconnues u & ho ont leur origine au sommet de leur angle. Les réductions & l'équation réduite donnent cette construction,

Le point I étant l'origine des inconnues x qui va vers B, dy qui va vers F; à cause de la premiere réduction x-{a=lion divisera LB par le milieu en R, & le point R sera l'origine de z qui va vers B., & de y qui va vers Q.

Ayant mené RQ parallele à BP; à cause de la seconde réduction y + 1b

9 +16=ų, on prolongera & R en S, en sorte que RS = }b={ LA, & ayant mené ST parallele à R B, le point S fera l'origine des inconnues 2 qui va vers T, & u qui va vers e, & le fommet de l'an. gle des asymptotes qui feroient Se & ST, si la seconde réduction étoit y + b=u: mais elle est y +{be

Аа.

ܕܢ

[ocr errors]

=u; c'est pourquoi soit prolongée IB du côté de B, qui rencontrera ST en V, & ayant fait VY=*= IP, soit menée SY , & du point M la ligne M X parallele à IB, qui rencontrera ST en X, & SY en 2, & 2X sera

car sr (2) V7(+-) ::88(2).X2= 9;& par.

[ocr errors]

Х

tánt Mz.(u)=y +16., & BY = 6-2, & alors les lignes SQ & Sy seront les asymptotes; & par

consé quent Sz.& ZM, les coordonnées.

Il n'est pas cependant necessaire de faire évanouir l'expression de sx=r de l'équation réduite , pour introduire en sa place.celle de sz: car 1°. Soit qu'on le fasse ou non, on trouvera par le moyen de l'équation réduite , que l'Hyperbole doit toujours passer par le même point: comme en ce cas, où l'équation réduite eft ab -- [ ac ux; le terme connu le terme connu ab – į ac = { b

Į

bo a = BY X SV , fait connoître ( Art. 14. no. 12.) que l'Hyperbole doit passer par le point B; & fi l'on nomme srd; & SZ , fi pour introduire l'expression Sz dans l'équation réduite en la place de celle de sx , l'on aura à cause des triangles femblables. SVY, S.XZ, SV.SY :: SX. $z, ou en termes algebriques į a. d:: 2.5, d'où l'on tirez=,& mettant dans l'équation réduite -- ab

ac = uz, en la place de z la valeur, l'on aura I'bd 2-4= -cd =ju, dont le terme connu - bd

fu-- od --- ( x dBY *SY, montre comme auparavant, que l'Hyperbole doit passer par le point B. Ce que l'on connoît aufli par l'équation à réduire aab + aay

abx ~ 24xy ácxcXX :-car faisant x=a, afin

[ocr errors]

4

4

« 이전계속 »