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l'on aura

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I

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4

xa

a= BY SV , fait connoitre ( art. 14. no. 12 ) que l'Hyperbole doit passer par le point B; & fi l'on nomme sy,d; & SZ,s; pour introduire l'expression sz dans l'équation réduite en la place de celle de Sx, l'on aura à cause des triangles semblables SVY, ŚX2, SV.SY :: sx .sz, ou en termes algebriquesa.d::2.5, d'où l'on tire x= , & mettant dans l'équation réduite Lab

af -ac=z, en la place de z la valeur bd

-cd=fu, dont le terme connu ---bd- cd =gb-oxd=BYx Sr, montre comme aupa. ravant , que l'Hyperbole doit passer par le point B. Ce que

l'on connoît aussi par l'équation à réduire aab+aay,
abx
2axy

cxx: car faisanc x=a, afin que le point M tombe en B, l'on aura aabu+ aay-aab zaay

aac, d'où l'on tire y = 0; d'où il suit que l'Hyperbole passe par le point B, puisque Bİs'y anéantit,

2o. Le rectangle SV BY, Ou RBR BY érant égal à se xSX, le rectangle SY BY sera ( art. 14 n° 6, égal au rectangle SQ x SZ ; d'où l'on voit qu'il est en quelque façon plus simple de réduire ces fortes d'équations aux asymptotes de l'Hyperbole que de les réduire aux diametres. Si donc l'on décrit par le point B entre les asymptotes SQ, SY l'Hyperbole BM, elle satisfera au Problême.

D E'MONSTRATION. Arant mené d'un point quelconque Mpris sur l’Hyą perbole la droite MzX parallele à OS ; parla proprieté de l'Hyperbole ( art. 14 n° 6), l'on a $V BY = SX * MZ , ou en termes algebriques

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- аас

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ab 1 / 3

ac =

- abx = 2axy

1

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éž, d'où l'on tirę aab -+- cxx macx = abx = 2axy aay, en remettant pour u & pour 2, leurs valeurs, c.Q. F.D.

COROLL'AIRE I.'.: S.

SI i les paralleles AF, BI étoient perpendiculaires à DE, les points P& N se confondroient avec le point 1, & IP=ć deviendroit nulle ouso; c'est pourquoi il faudroit effacer tous les termes où c se trouve dans l'équation à réduire aab+ cxx - acxaay,

& l'on auroit , ab 6x=2xymay, que l'on construiroit comme celle du premier Probleme de cet article.

COROLLAIRE II. 6. S r outre cela le point Atomboiten K, AL=6 de viendroit nulle , & l'on auroit xa a, en effaçant tous les termes où b se rencontre dans l'équation ab bx= 2xy — aý, & le point M se trouveroit dans la ligne droite RQ menée par le milieu de KB parallele à IB.

COROLLAIRE III:7. Les choses étant supposées comme dans l'énoncé du Problême no. 4. Si 2AL= IP, ou 2b = c dans l'équation réduite

ab-- ac=zu, l’on'aura ab =aac, & partant zů = 0; d'où il fuit qu'en ce cas l'Hyperbole se confond avec ses asymptotes, & que par consequent le point M se trouvera dans la ligne ie qui est une des asymptotes. En effet , en ce cas l'équation à réduire devient aab +26xx ---- Zabx — 2axy+aay=o en mettant' 2b en la place de c, qui érant divisée par 2x ra= 0, il vient bx - ab ay=0; & l'équation 2x a=, donne x =a, qui montre que le point

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ܕ ܘ

M se trouve dans la ligne R Q menée par le milieu de LB parallele à AL.

COROLLAIR E IV. 8. Enern si 2AL est moindre que IP, ou que le point A , se confonde avec le point K, ou qu'il se trouve au dessous de K , l'Hyperbole se trouvera de l'autre côté de RQ, & pallera par le point A:car dans l'équation ré. duite - ab acruz , ac furpassera. ab dans le premier cas; ab sera nulle ou = dans le second; dans le troisiéne, b deviendra negative de positive qu'elle écoit. Ainli la quantité. -, abasic sera toujours ne gative , & partant l'Hyperbole se trouvera de l'autre

8

1

&

4

côté de RS

REMARQUES. 9. LORSQU'O N.veut réduire ces fortes d'équations à l'Hyperbole par rapport à ses asymptotes , il faut ob. server 1o. Que li la lettre inconnue qui n'est point quarrée dans l'équation , se trouve multipliéę par une quantité connue dans quelqu'un de les termes, autre que dans celui où elle se trouve multipliée par l'inconnue qui est quarrée, il faut mettre tous les termes où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve dans un des membres de l'équation, & tous les autres termes dans l'autre, & faire la premiere réduction sur le membre où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve.

2°. Dans la seconde réduction ( qui seroit la seulę, li la lettre inconnue qui n'est point quarrée ne se trou. voit point seule dans quelque terme de l'équation, la lettre inconnue qui n'est point quarrée doit toujours être positive.

3°. Dans l'une & l'autre réduction, l'inconnue qui n'est point quarrée, doit toujours être délivrée de toute quancits connue.

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2A

CXX ACX

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4°. Quand on ne veut point se donner la peine de faire toutes ces réflexions , il n'y a qu'à réduire ces équa. tions à l'Hyperbole , en les regardant par rapport à les diametres, où il n'y a aucune précaution à prendre. Il faut éclaircir ceci par un exemple.

EXEMPLE
10. Soit l'équation aab + cxx — abx— acx

= = xyay, qui est celle

que

l'on vient de construire. Si on suppose que le point A tombe en K, AL=b deviendra nulle ou=0; c'est pourquoi en effaçant tous les termes où 6 se rencontre , l'on aura

=xy-ay que l'on se propose de réduire à l’Hyperbole par rapport à ses asymptotes , & dont les termes sont disposez dans l'un & l'autre membre de l'équation selon ce qui est dit dans le premier cas de la remarque precedente.

Faisant donc. x-a=, l'on réduira l'équation à celle-ci czz — zayz=aac, ou

zv=. faudroit

pour

faire la seconde reduction prendre cy =u; mais parceque l'inconnue y qui n'est point quarrée dans l'équation à réduire se trouve negative dans cette seconde réduction, & qu'elle y doit être positive , les réductions que l'on vient de faire ne serviront de rien. Il faut donc changer les signes de tous les termes de l'é quation pour la réduire de nouveau, & l'on aura "c* — *** => ay — xy ; & en faisant a-x=z, l'on réduira l'équation à celle-ci ac=ky+ , & faisant = u, l'on aura ac= 24. Les réductions & l'é

. . quation réduite serviront à décrire l'Hyperbole, qui passe.

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CZ

ZA

IA

CZ

1

2A

8

Аа

ra par le point K ou A qui ( Hyp.) ne font qu'un même point. On voit encore par l'équation à réduire que l'Hyperbole doit passer par le point K: car si l'on fait x=0, Pon aura aussiy=0,

=o, d'où il fuit que les coordonnées s'aneantissent au point K.

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