SECTION IX. Où l'on donne la Methode de conftruire les Problêmes Solides déterminez par le moyen de deux équations locales, ou indéterminées, lorsque l'une des deux fe rapporte au cercle, ou y peut être ramenée. XXIII. "L METHODE, Es inconnues de ces deux équations étant les mêmes, elles auront leur origine en un même point ; & ayant conftruit ces deux équations l'une aprés l'autre par les regles de la Section précedente, les points où les courbes aufquelles elles appartiennent se couperont, réfoudront les Problêmes, comme on va voir par les exemples qui fuivent. I. 1. UN demi cercle dont le diametre eft AB, & le centre C, FIG. 84. Ayant fuppofé le Problême réfolu, on abbaisera du point M fur AB la perpendiculaire MP; & ayant nommé les données CB, ou CM, ou ( Hyp.) HE, a ; BG,b; & les indéterminées CP, x; PM, y; PG, ou x(MH) . a HE ), d'où l'on tire axay by xy, qui eft une équation à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes. Et acaufe du triangle rectangle CPM, l'on aura xx + yy ➡aa qui eft une équation au cercle. Si l'on fait prefentement évanouir l'inconnue y, aura aprés avoir ordonné l'équation, x1— zax3 +aaxx → La3x →→ as +66 l'on Et fi l'on fait évanouir x, (car il eftà propos de faire éva- + 2a6 + bb qui paroît plus fimple que la précedente. Mais comme ces deux équations font du quatrième degré, & qu'on ne peut, ni par la divifion, ni par la transformation les réduire à une équation du fecond, il fuit que le Problême eft folide: & parceque l'une des deux équations indéterminées appartient au cercle, on le conftruira par leur moyen en cette forte. fai Il eft clair que l'équation xxyyaa, appartient au cercle donné AMB; c'eft pourquoi il n'y a qu'à conftruire l'équation à l'Hyperbole axay ✦ by — xy ; fant donc pour la réduire a + bx=2, x=z, l'on aura x= a+b―z; & mettant cette valeur de x dans l'équation, elle deviendra aa→ ab- az=yz, ou aa + ab=y2+ az; & faifant encore y+au, l'on aura l'équation reduite ad + abuz, qui fournit avec les réductioos cette conftruction. Le point C étant l'origine des inconnues x qui va vers Є, & y parallele à GH; à caufe de la premiere rédu ction a + b x=2, le point & fera (art. 16 n° 4) l'origine de z qui revient vers C. A caufe de la feconde réduction y+a, on prolongera HG, en 0, & ayant fait GO=a=CB; le point o fera l'origine des inconnues qui va vers Z parallele à GC, & u qui va vers H, & le fommet de l'angle des afymptotes, qui feront OL & OH. Et à caufe de l'équation réduite aa +ab=uz, dont la quantité connue aa+ab = a + b x a = CG × CB (Conft.) CG × GO, l'on décrira (art. 14) par le centre C du cercle AMB, l'Hyperbole CM qui coupera le cercle au point cherché M. = AYA DEMONSTRATION. YANT prolongé MP jufqu'à l'afymptote OZ en K, & mené CZ parallele à PK. Par la proprieté des afymptotes (art. 14 n°. 1) OL × LC=0Hx HM; donc CPx PK PM x MH; donc CP. PM:: MH. PK. Mais à caufe des triangles femblables CPM, MHE, CP. PM:: MH. HE; donc MH. PK: MH. HE; & partant PK(=GO=( Conft.) CB) HE. C. 2. F. D. CB)=HE. 1. DIVISER un arc de cercle donné BDC, dont le centre F 16.89. eft A, & la corde BC, en trois parties égales BD, DF, FC. Ayant fuppofé le Problême réfolu, les cordes BD, DF, FC feront égales; celle du milieu DF fera parallele à DC; le rayon AE, perpendiculaire à BC sera ausfi perpendiculaire à DF, & les coupera toutes deux par le milieu en H & en G, & fa partie AH comprise entre le centre A, & la corde BC, fera donnée de grandeur & de pofition: mais AG & GD ou GF feront indéterminées. * Si l'on mene encore les deux rayons AD, AF, qui rencontrent BC en 1 & en K ; HI sera HK, & les triangles BDI, CFK feront égaux, femblables, & ifof = A a iij celes; puifque par l'Hypothese l'angle IDB=IDF= AIK BID. Par la même raifon l'angle KFC = KFD=IDF=AKI=CKF;& qu'outre cela BD= CF. Nommant donc les données AE, ou AD, ou AF, a; HB, ou HC, b; AH, c; & les inconnues AG, x; GD ou GF, y; DF, ou DB, ou BI sera, 2y ; & partant HI, 27. A caufe des triangles semblables AGD. AHI, l'on aura x (AG).y(GD) c (AH).b-2y (HI), d'où l'on tire bx 2xy=cy, qui eft une équation à l'Hyperbole par rapport à ses afymptotes; & à caufe du triangle rectangle AGD, l'on aura xxyyaa, qui eft une équation au cercle du Problême BDC. Si l'on fait prefentement évanouir une des deux inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées que l'on vient de trouver, l'on aura une équation du quatrième dégré qui ne peut être réduite à une équation du fecond, d'où l'on doit conclure que le Problê. me eft folide; ainfi on le peut conftruire par le moyen des deux mêmes équations indéterminées. Mais l'équation au cercle fe trouve conftruite, puifqu'elle fe rapporte au cercle du Problême BDC. c'eft pourquoi il n'y a qu'à conftruire l'équation à l'Hyperbole, qui étant rẻduite donne avec fes réductions cette conftruction. AL=AH, Soit prolongée AH en L,en forte que & menée par Z une parallele à BC, fur laquelle ayant I pris Z0=—HB, l'on menera par O la droite OM parallele à AG, qui rencontrera HB en X. L'Hyperbole AD décrite par le centre A entre les afymptotes OL, OM, coupera l'arc BDC au point cherché D; de forte que fi l'on mene DF paralleleà BC, les points D & F diviseront l'arc BDC en trois parties égales BD, DF, FC. DEMONSTRATION. AYANT = 0; I 2 C ; = = b = — Ag; d'où il fuit qu'ayant divifé Ag pa le milieu en R, mené RT perpendiculaire à Ag qui cou pera le demi cercle en T, & TZ parallele à gf, les arc gT, Tz, & zf feront égaux. Ce qui est évident. EXEMPLE III. Problême Solide. 3. TROUVER deux moyennes proportionnelles entre Fx G. deux lignes données KL, MN. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé les don |