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SECTION IX.
l'on donne la Methode de construire les

Problemes Solides déterminez par le moyen
de deux équations locales , ou indétermia
nées , lorsque l'une des deux se rapporte au
cercle , ou y peut être ramenée.

METHODE,
XXIII.
IL

Es inconnues de ces deux équations étant

les mêmes, elles auront leur origine en un même point ; & ayant construit ces deux équations l'une aprés l'autre par les regles de la Section precedente, les points où les courbes ausquelles elles appartiennent se couperont, résoudront les Problêmes, comme on va voir par les exemples qui suivent.

Ε Χ Ε Μ PL E I.

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1.

Problemę Solide, U N demi cercle dont le diametre eft AB, e le centre C, F16. 84 & une ligne GH perpendiculaire d AB, étant donnez de pofition. Il faut trouver

sur la circonference le point M, par ord iyant mené du centre C, la droite CME, qui rencontre GH en E, & parle même point M, la droite MH parallele à AB, qui rencontre la même GH en H, HE soit égale au demi diametre CB du cercle donné, ou à une autre ligne donnée.

Ayant supposé le Problême résolu, on abbaissera du point M sur AB la perpendiculaire MP; & ayant nom. mé les données CB, ou CM, ou ( Hyp.) HE,a ;

+66

pas plus

+ 2ab

BG ,b; & les indéterminées CP, *; PM, y; PG, ou
MH sera a+b—*, & les triangles semblables CRM,
MHE, donneront *{CP); y(PM):1+6*(MH)
.al HE ), d'où l'on 'tire ax =ay + by --- xy, qui est une
équation à l'Hyperbole par rapport à ses asymptotes. Et
à cause du triangle rectangle CPM , l'on aura xx + yy
= aa qui est une équation au cercle.
Si l'on fait presentement évanouir l'inconnue y,

l'on
dura aprés avoir 'ordonné l'équation,
** -zax} + naxx+ za'xa4
- 26 +zab. +.zaab. 5246

aabb. Et si l'on fait évanouir x, (car il est à propos de faire évanouir les deux inconnues l'une aprés l'autre pour voir si d'ane maniere, l'équation qui en résulte , n'est simple que celle qui résulte de l'autre ) l'on aura , 94 + 2ay + aayy

2a2y

at + 66 qui paroît plus simple que la précedente. Mais comme ces deux équations sont du quatrième degré, & qu'on ne peur, ni par la division,

par

la transformation les réduire à une équation du second ; il suit que le Problême est solide : & parceque l'une des deux équations indéterminées appartient au cercle, on le construira par

leur moyen en cette forte. 63.321 ! est clair que l'équation.xx + yý=aa , appartiēne,

au cercle donné AMB; c'est pourquoi il n'y a qu'à con-
struire l'équation à l'Hyperbole ax=ay + by -- xy ; fai-
fant donc pour la réduire a +6--x=k, l'on aura x=
a+b-2; &metcant cette valeur de x dans l’équacion,
elle deviendra aa + ab ax=y2, ou aa + ab
äz; & faisant encore y+a=u; l'on aura l'équation re-
duire ad t ab

=u, qui fournir avec les réductioos cette construction.

Le point C étant l'origine des inconnues x qui va vers. G, & y parallele à GH; à cause de la premiere rédu

ni

ction a + b -- x=r, le point G sera ( art. 16 n° 4) l'origine de z qui revient vers C. A cause de la seconde reduction y +2=vion prolongera HG , en 0, & ayant fait GO=a=CB ; le point o sera l'origine des inconnues z qui va vers L parallele à GC, & u qui va vers H, & le sommet de l'angle des asymptotes, qui seront oL & OH. Et à cause de l'équation réduite aa + ab=uz, dont la quantité connue aa + ab=a+bxa =CG xCB= | Const. ) CG RGO, l'on décrira ( art. 14 ) par le centre c du cercle AMB , l'Hyperbole CM qui coupera le cercle au point cherché M.

DE'MONSTRATION. Avant prolongé MP jusqu'à l'afymptote OL en K, & mené ci parallele à PK. Par la proprieté des asymptotes (art. 14 no.1) OL ^ ZC =OHXHM; donc CPX PK = PMX MH; donc CP: PM:: MH. PK. Mais à cause des triangles femblables CPM , MHE, CP. PM:: MH.HE; donc MH.PK:: MH . HE ; & partant PK(=G0=( Const.) CB) =HE. C.2.F. D.

E x E M + L = I I.

Problême Solide. 2. Divis e R un arc de cercle donné BDC, dont le centre F 16.89 eft A, & la corde BC , en trois parties égales BD, DF, FC.

Ayant supposé le Problême résolu , les cordes BD, DF, FC seront égales ; celle du milieu DF sera parallele à DC ; le rayon AE, perpendiculaire à BC sera ausfi perpendiculaire à DF, & les coupera toutes deux par le milieu en H & en G, & sa partie AH comprise entre le centre A, & la corde BC, sera donnée de grandeur, & de position: mais AG& GD ou GF seront indéterminées. Si l'on mene encore les deux rayons AD, AF, qui rencontrent BC en 1 & en K; HI sera

=HK, & les triangles BDI, CFK seront égaux, semblables, & isof

A a iij

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celes ; puisque par l'Hypothese l'angle IDB=IDF= AIK = BID. Par la même railon l'angle KFC = KFD= IDF= AKI=CKF;& qu'outre cela BD= CF.

Nommant donc les données AE, OU AD, ou AF, a; HB, ou HC,b; AH, C; & les inconnues AG , *; GD ou GF , y; DF, ou DB, ou sera , zy ; & partant HI, 6

2y. A cause des triangles semblables' AGD . AHI, l'on aura x ( AG):y(GD)::((AH).6—2y(HI), d'où l'on tire bx—- 2xy=cy, qui est une équation à l'Hyperbole par rapport à ses asymptotes ; & à cause du triangle rectangle AGD, l'on aura xx + yy=aa, qui est une équation au cercle du Problême BDC.

Si l'on fait presentement évanouir une des deux inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées que l'on vient de trouver, l'on aura une équation du quatrième dégré qui ne peut être réduite à une équation du second , d'où l'on doit conclure

que

le Problê. me est folide ; ainsi on le peut construire

par

le

moyen des deux mêmes équations indéterminées. Mais l'équation au cercle se trouve construite , puisqu'elle se rapporte au cercle du Problême BDC. c'est pourquoi il n'y a qu'à construire l'équation à l'Hyperbole, qui étant réduite donne avec ses réductions cette construction,

Soit prolongée AH en L, en sorte que AL=LAH, & menée par L une parallele à BC , sur laquelle ayant pris zo=HB, l'on menera par o la droite OM parallele à AG, qui rencontrera HB en x. L'Hyperbole AD décrite par le centre A entre les asymptotes OL, OM, coupera l'arc BDC au point cherché D; de sorte que si l'on mene DF parallele à BC, les points D & F di. viseront l'arc BDC en trois parties égales BD, DF, FC.

Arani

DEMONSTRATION.
YANI mené

par le point D, où l'Hyperbole AD coupe l'arc BDC, la droite DN parallele à l'asymptote OM, qui rencontrera HB en V, & LO en N , & par le centre A, le diametre g Af parallele à l'afymptote OL, qui rencontrera O Men P, &ND en S. L'onaura à cause des asymptotes OL;OD Í DNÝ NO=AL * 10; donc SP X SD=SAX AL; donc DS. SA:: AL.SP: mais les triangles semblables DSA, AHI donnent DS.SA:: AH, HI; donc AL. SP :: AH.HI. Or const.) AH =IAL ; donc HI=2SP; & partant HV „Ou GD = 2SP + IV , & DF=45P+2IV: mais HX(=HV +SP)=35P+ IV; c'est pourquoi BX=(const.)HX =3$P + IV ; & par consequenc BX+ XI, ou BI= 4SP + 2IV; donc BI = DF = KC. Mais les triangles semblables AKI, AFD donnent AK. KI:: AF.FD, ou (

ayant mené AB, AC) AK KI :: AB. BI; d'où il fuit que l'angle BAD=CAF=DAF. C. Q. F. D.

Si la corde BC passoit par le centre A, & étoit confondue avec le diàmetre gAf, l'arc BC leroit un demi cercle , & la perpendiculaire AH =1, feroit nulle ou = 0; c'est pourquoi, en effaçant dans l'équation à l'Hyperbole , les termes où « se rencontre , l'on auroit y =+b=Ag ; d'où il suit qu'ayant divisé Ag pa le milieu en R, mené RT perpendiculaire à Ag qui cou pera

le demi cercle en T, & TZ parallele à gf, les arc: gT , TZ, & zf seront égaux. Ce qui est évident.

Ε Χ Ε Μ Ρ L Ε ΙΙΙ.

3.

Problême Solide. T ROVV E R deux moyennes proportionnelles entre F 16.4 deux lignes données KL, MN.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé les don

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