feau eft moitié du Cylindre: & comme ils ont même hauteur; fçavoir, te Fufeau la ligne BD, & l'entonnoir la ligne CA; ils ont l'un & l'autre même nombre d'élemens; d'où s'enfuit fans autre démonftration, que la couronne, qui a pour largeur la ligne IE, que je fuppofe autant éloignée de la bafe de l'entonnoir AB, que la ligne FG, eft éloignée de CD, bafe du Fuseau, eft égale au cercle qui a FG, pour diametre, puifque ce cercle eft l'élement du Fufeau correfpondant à la couronne, pareil élement de l'entonnoir. Jufques à prefent nous avons confideré les grandeurs dont les élemens décroiffent en même Raifon que les hauteurs. Mais on peut confiderer des élemens qui décroîtront en Raifon doublée des hauteurs. A mens qui décroîtront en Raifon triplée, quadruplée,&c.de la Raifon des hauteurs ; & ces fpeculations n'ont point de. bornes. Il s'agit maintenant d'examiner quel rapport la fomme de ces élemens aura avec la fomme des élemens qui ne décroiffent point. Je fuppofe le Rectangle ABCD, B. divifé en deux triangles par la A Diagonale B C. Les lignes CD, P E I " BD, eft à BN; que CD, eft à EM, comme BD, est à BM; que CD, eft à EO, comme BD, à BO. Maintenant, fi aux deux lignes CD, GN, je cherche une troifiéme proportionelle; c'est-à-dire, fi je fais, comme CD, eft à GN, ainfi GN, à une troifiéme ligne, & que cette ligne foit NH; il eft certain par ce qui a été ci-devant enfeigné dans les proportions, que les lignes CD, HN, feront en Raifon doublée de la Raifon de CD, à GN, ou de BD, à BN, & qu'ainfi la ligne HN, décroîtra à l'égard de la ligne CD, en Raifon doublée des hauteurs BN, BD. Je fais la même chofe à l'égard de tous les élemens du triangle; par exemple, je cherche une troifiéme proportionelle aux lignes CD, FM, que je fuppofe être LM, je cherche de même une troi fiéme proportionelle aux lignes CD, EO, que je fuppofe être 10, & ainfi de tous les autres élemens du triangle. Par tous les points comme H, L, I, je mene la courbe CHLIB, & j'ai pour lors l'efpace mixte CHLIBD, dont les élemens décroiffent en Raifon doublée des hauteurs. Que fi je voulois avoir une efpace dont les élemens décroiffent en Raifon triplée des hauteurs, il eft vifible que je n'aurois qu'à chercher une quatriéme proportionelle aux lignes CD, GN, HN, aux lignes CD, FM, LM, aux lignes CD, EO, 10, &c. & mener une ligne courbe par tous les points déterminés par ces quatrièmes proportionelles, & ainfi à l'infini, PROPOSITION. Si l'on a deux Figures, deux Solides, en un mot, deux grandeurs homogenes à comparer, & que ces deux Figures ou Solides, étant de même hauteur, les élemens de l'une ne décroiffent point, pendant que les élemens de l'autre décroîtront toûjours en Raifon doublée de la Raifon des hauteurs; la Figure ou Solide dont les élemens ne décroiffent point, fera triple de celle dont les élemens décroiffent. La démonftration ordinaire eft fort embroüillée; en voici une par Arithmetique, qui eft plus à la portée de tout le monde. Je fuppofe deux Figures de même hauteur, & que cette hauteur foit divifée en vingt parties égales; les nombres 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, o, qui décroiffent arithmetiquement, reprefentent les hauteurs décroiffantes de la Figure. Pour faire que l'une de ces deux Figures ait' fes élemens décroiffant en Raifon doublée des hauteurs, il faut prendre les quarrés de ces nombres; fçavoir, 400, 361, 324, 289, 256, 225, 196, 169, 144, 121, 100, 81, 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1, 0, dont la fomme eft 2870. A l'égard de la Figure dont les élemens ne décroiffent pas, il faut prendre 400, quarré du plus grand nombre qui eft l'élement de la base, autant de fois qu'on a pris d'élemens décroiffans en Raison doublée, c'eft-à-dire, 21 fois; la fomme de ces élemens non décroiffans fera 8400. Le nombre 8400 reprefente donc la Figure dont les élemens ne décroiffent point, & le nombre 2870 reprefente la Figure dont les élemens décroiffent en Raifon doublée des hauteurs. Or le nombre 2870 eft tant foit peu plus du tiers du nombre 8400; car fon triple eft 8610, qui excede 8400 de 210; c'eft-à-dire, qu'en cet exemple, la Figure décroiffant excede le tiers de la totale de la 120 partie de la totale, ce qui est déja fort peu de chofe. Mais fi au lieu de diviser la hauteur en vingt parties égales, je l'avois divifée en 100, & que j'euffe operé, comme je viens de faire fur les vingt parties, j'aurois approché beaucoup plus près de la précifion; car la fomme des quarrés depuis 100 jufques à 1 inclufivement, eft 338350; la fomme du grand élement qui eft 10000 pris cent & une fois, eft 1010000; ainfi la Figure dont les élemens décroiffent, n'excede le tiers de la Figure totale que de 1683, c'est-à-dire, de la fix centiéme partie de la Figure totale. Et fi je veux prendre la peine de divifer la hauteur en un million de parties, je trouverai que la Figure décroiffante n'excedera pas le tiers de la totale d'une fix mille milliéme partie de la totale; en forte que pouffant toûjours plus loin la divifion de la hauteur, je réduirai cette difference à une quantité plus petite qu'aucune quantité donnée, d'où s'enfuit la parfaite égalité entre la Figure décroiffante & le tiers de la totale, en fuppofant le nombre des élemens indéfini, comme il l'eft en effet. Il n'y a qu'à fuivre la même méthode pour démontrer, que fi les élemens décroiflent en Raifon triplée des hauteurs, la Figure décroiffante fera le quart de la Figure non décroiffante. Que fi les élemens décroiffent en Raifon quadruplée des hauteurs, la Figure décroiffante fera la cinquiéme partie de la Figure non décroiffante, & ainsi à l'infini. Voila une belle carriere ouverte à la méditation. I. COROLLAIRE. Le Cone eft le tiers du Cylindre de même base & de même hauteur: car les élemens du Cylindre ne décroiffent point. Ceux du Cone, qui font des cercles paralleles, font entre eux comme les quarrés de leurs raïons. Or ces raions étant entre eux, comme les hauteurs, les quarrés des raïons font en Raifon doublée des hauteurs; donc ces cercles ou élemens décroiffent en Raifon doublée des hauteurs ; donc leur fomme totale qui eft la folidité du Cone, eft le tiers de la folidité du Cylindre. La même chofe s'enfuit évidemment pour la Pyramide à l'égard du Prisme de même base & de même hauteur. II. COROLLAIRE. Si la deniere Figure ci-deffus eft fuppofée tour'ner fur l'Axe immobile BD, le Rectangle ABCD, décrira un Cylindre, la courbe CHLIB, décrira une espece de Cone concave ; je dis que fa folidité fe |