bx = 2xy — ay, & le point M fe trouveroit dans la ligne droite RQ menée par le milieu de KB parallele à IB.

.7.

COROLLAIRE III.

LES chofes étant fuppofées comme dans l'énoncé du Problême no. 4. Si 2ALIP, ou 26 = c dans

ac, & partant zu = 0; d'où il fuit qu'en ce cas l'Hyperbole fe confond avec fes afymptotes, & que par conféquent le point M fe trouvera dans la ligne RQ qui eft une des afymptotes. En effet en ce cas l'équation à réduire devient aab+2bxx 3abx― zaxy + aay=0, zabx-zaxy en mettant 26 en la place de c, qui étant divifée par 2x a=0, il vient bx-ab—ay = 0, & l'équation 2x donne x = a, qui montre que le point

a = 0,

I

2

M fe trouve dans la ligne RQ menée par le milieu de LB parallele à AL.

8. ENFIN fi 2AL eft moindre que IP, ou que le point A, fe confonde avec le point K, ou qu'il fe trouve au.deffous de K, l'Hyperbole fe trouvera de l'autre côté de RQ, & paffera par le point A ; car dans l'équation ac supaffera ab dans le

réduite — ab——ac=uz,

4

8

c=༢,;

premier cas; ab fera nulle ou o dans le fecond; & dans le troifiême, 6 deviendra negative de pofitive qu'elle

I

étoit. Ainfi la quantité - ab ac fera toujours ne

gative, & partant l'Hyperbole fe trouvera de l'autre côté de RO

2

9.

REMARQUES.

LORSQU'ON veut réduire ces fortes d'équations à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes il faut obferver . Que fi la lettre inconnue qui n'est point quarrée dans l'équation, fe trouve multipliée par une quantité connue dans quelqu'un de fes termes, autre que dans celui où elle fe trouve multipliée par l'inconnue qui eft quarrée, il faut mettre tous les termes où l'inconnue qui n'eft point quarrée fe trouve dans un des membres de l'équation, & tous les autres termes dans l'autre, & faire la premiere réduction fur le membre où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve.

2o. Dans la feconde réduction (qui feroit la feule, fi la lettre inconnue qui n'eft point quarrée ne fe trouvoit point feule dans quelque terme de l'équation) la lettre inconnue qui n'eft point quarrée doit toujours être pofitive.

3o. Dans l'une & l'autre réduction, l'inconnue qui n'est point quarrée, doit toujours être délivrée de toute quantité connue.

4o. Quand on ne veut point se donner la peine de faire toutes ces réflexions, il n'y a qu'à réduire ces équations à l'Hyperbole, en les regardant par raport à fes diametres, où il n'y a aucune précaution à prendre. Il faut éclaircir ceci par un exemple.

qui eft celle que l'on vient de 'conftruire. Si on fuppofe que le point A tombe en K, AL = b deviendra nulle ou= 0; c'est pourquoi en effaçant tous les termes où b

fe propose de réduire à l'Hyperbole par raport à fes afym.

A a iij

ptotes, & dont les termes font difpofez dans l'un & l'au tre membre de l'équation felon ce qui eft dit dans le premier cas de la remarque précédente.

Faifant donc x

a=z, l'on réduira l'équation à

C33
24

24

༢ celle.- ci ༦༢༢.་ rayz — aac, aac, ou -yz= {} ac. Il ༔ faudroit faire la feconde réduction prendre -y pour =u; mais parceque l'inconnue y qui n'eft point quarrée dans l'équation à réduire se trouve négative dans cette feconde réduction, & qu'elle y doit être pofitive, les réductions que l'on vient de faire ne ferviront de rien. Il faut donc changer les fignes de tous les termes de l'équation pour la réduire de nouveau, & l'on aura

༢.,

ay-xy; & en faifanta-x=z, l'on réduira l'équation à celle-ci ac = zy Zy+, & faifant y +=z, l'on aura aczu. Les réductions & l'é} quation réduite ferviront à décrire l'Hyperbole, qui paffera par le point K ou A qui (Hyp.) ne font qu'un même point. On voit encore par l'équation à réduire que l'Hyperbole doit paffer par le point K: car fi l'on fait xo, l'on aura aussi y=0, d'où il fuit que les coordonnées s'anéantiffent au point K.

Où l'on donne la Méthode de conftruire les Problêmes Solides déterminez, par le moyen de deux équations locales, ou indéterminées, lorfque l'une des deux fe rapporte au cercle, ou y peut être ramenée. MÉTHOD E.

XXIII.

L

Es inconnues de ces deux équations étant les mêmes, elles auront leur origine en un même point, & ayant conftruit ces deux équations l'une après l'autre par les regles de la Section précedente, les points où les courbes aufquelles elles appartiennent fe couperont, réfoudront les Problêmes, comme on va voir par les exemples qui fuivent.

I.

EXEMPLE. I.

Problême Solide.

UN demi cercle A M B dont le diametre eft AB, & le FIG. 96. centre C, & une ligne GH perpendiculaire à AB, étant donnez de pofition, il faut trouver fur la circonférence le point M, par où ayant mené du centre C, la droite CME, qui rencontre GH en E, & par le même point M, la droite MH parallele à AB, qui rencontre la mème GH en H, HE foit égale au demi diametre CB du cercle donné, ou à une autre ligne donnée.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, on abbaiffera du point M fur AB la perpendiculaire MP; & ayant nommé les données CB, où CM, ou ( Hyp.) HE, a; BG,b; & les indéterminées CP, x; PM,y; PG, ou MH sera a+b — x, & les triangles semblables CPM, MHE,

donneront x, (CP). y (PM) :: a + b :: a + b — x ( MH). (HE), d'où l'on tire ax = ay + by xy, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes. Et à caufe du triangle rectangle CPM, l'on aura xx + yy = aa qui est une équation au cercle.

Si l'on fait préfentement évanouir l'inconnue y, l'on aura après avoir ordonné l'équation,

x1 2ax3 + aaxx + 2a3x — aˆ

+bb

- aabb

Et fi l'on fait évanouir x, car il eft à propos de faire évanouir les deux inconnues l'une après l'autre, pour voir fi l'équation qui réfulte d'une maniere n'eft pas plus fimple que celle qui refulte de l'autre ) l'on aura.

y' + zay' + aayy — 2a'y —a—o

+ zab +66 bb

qui paroit plus fimple que la précédente. Mais comme ces deux équations font du quatriême degré, & qu'on ne peut, ni par la divifion, ni par la transformation, les réduire à une équation du fecond; il fuit que le Problême eft folide, & parceque l'une des deux équations indéterminées appartient au cercle, on le conftruira par leur moyen en cette forte.

+

fai

Il eft clair que l'équation xx + yy=aa, appartient au cercle donné AMB; c'eft pourquoi il n'y a qu'à conftruire l'équation à l'Hyperbole ax = ay → by — xy ; fant donc pour la réduire a + b - x = 2, ✖=༢, l'on aura x= a+b―z; & mettant cette valeur de x dans l'équation, elle deviendra aa + ab az = yz, ou aa + ab = yz÷ + az; & faifant encore y+au, l'on aura l'équation rẻ༧༢.; duite aa +ab —uz, qui fournit avec les réductions cette construction.

༢.;

Le point C étant l'origine des inconnues x qui va vers G, & y parallele à GH; à caufe de la premiere réduction a + b — x = z, le point G fera ( Art. 16. n°.4.) l'origine dez qui revient vers C. A caufe de la feconde réduction

y+a