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+ 2ab

donneront x, (CP)., (PM):: a + b - x( MH ). (HE), d'où l'on tire ax = ay + by — xy, qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes. Et à cause du triangle rectangle CPM , l'on aura *x + yy= aa qui est une équation au cercle.

Si l'on fait présentement évanouir l'inconnue y , l'on aura après avoir ordonné l'équation,

2ax' + aaxx + 20'x à - 26 + 2ab + 2aab

2d'b=0 + bb

aabb Et si l'on fait évanouir x, f car il est à propos de faire évanouir les deux inconnues l'une après l'autre si l'équation qui résulte d'une maniere n'est pas plus fimple que celle qui résulce de l'autre ) l'on aura. y*+ zay' + aayy — zay-a*

66 qui paroit plus simple que la précédente. Mais comme ces deux équations sont du quatriême degré, & qu'on ne peut, ni par la division, ni par la transformation, les réduire à une équation du second ; il suit que le Probleme est solide , & parceque l'une des deux équations indéterminées appartient au cercle, on le construira par leur moyen en certe sorte.

11 est clair que l'équation xx + yy = aa , appartient au cercle donné AMB ; c'est pourquoi il n'y a qu'à construire l'équation à l'Hyperbole ax = ay + by — xy ;

faifant donc

pour

la réduire a + b -*=Rl'on aura x = a+b-2; & mettant cette valeur de x dans l'équation, elle deviendra aa + ab - ag=yk, ou aa + ab =92+ az; & faisant encore y + a=u, l'on aura l'équation réduite aa + ab =uz, qui fournit avec les réductions cette construction.

Le point C étant l'origine des inconnues « qui va vers G, & y parallele à GH; à cause de la premiere rédu&ion: a + b - *=*, le point G sera ( Art. 16.no:4.) l'origine de z qui' revient vers C. A cause de la seconde réduction

y+4

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yua =, on prolongera HG, en 0, & ayant fait Go =a=CB; le point o sera l'origine des inconnues z qui va vers / parallele à GC, & u qui va vers H, & le sommet de l'angle des asymptotes, qui seront OL & O H. Et à cause de l'équation réduite aa + ab=uk,

dont la

quantité connue aa + ab=a + bxa =CG CB=(Const.) CG * GO, l'on décrira ( Art. 14. ) par le centre C du cercle A MB , l'Hyperbole CM qui coupera le cercle au point cherché M.

D E'MONSTRATION. Ayant prolongé M P jusqu'à l'afymptote O Z en K, & mené ci parallele à PK, par la propriété des asymptotes ( Art. 14. no. 1. ) OL * LC=OH® HM; donc CPx PK = PM * MH; donc CP. PM :: MH.PK. Mais à cause des triangles semblables CPM, MHE,

СР. PM:: MH. HE; donc MH.PK:: MH. HE; & partant PK(= GO=( Const. ) CB) = HE. C. Q. F. D.

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Problême Solide. 2. DIVISER un arc de cercle donné BDC, dont le centre Fig. 972 eji A, & la corde BC, en trois parties égales BD, DF, FC.

Ayant fupposé le Problême résolu , les cordes BD, DF, FC feront égales; celle du milieu DF sera parallele à BC; le

rayon A E, perpendiculaire à BC sera aussi perpendiculáire à DF, & les coupera toutes deux par le milieu en H & en G, & fa partie AH comprise entre le centre A,

& la cordé BC, sera donnée de grandeur , & de position: mais AG & GD ou GF seront indéterminées. Sil'rn mene encore les deux rayons AD, AF, qui rencontrent BC en I & en K; H1 sera = HK, & les triangles BDI, CFK seront égaux , semblables, & isosceles ; puisque par l'Hypothese l'angle IDB= IDF= AIK=Bid. Par

Bb

la même raison l'angle KFC=KFD = IDF AKI = CKF; & qu'outre cela BD=CF.

Nommant donc les données AE, OU AD, ou AF, a; HB, ou HC, b; AH,0; & les inconnues AG , *; GD ou GF,y; DF, ou DB, ou BI sera , 24; & partant HI, 6

2y. A cause des triangles semblables AGD, AHI, l'on aura * ( AG) y (GD)::(( AH).6

2y ( HI), d'où l'on tire bx - 2xy=cy, qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes ; & à cause du triangle rectangle AGD, l'on aura xx + yy = aa, qui est une équation au cercle du Problême BDC.

Si l'on fait présentement évanouir une des deux inconnues renfermées dans les deux équacions indéterminées que l'on vient de trouver, l'on aura une équation du quatrième degré qui ne peut être réduite à une équation du fecond; d'où l'on doit conclure que le Problême est soli. de; ainsi on le peut construire

par

le

moyen des deux mêmes équations indéterminées. Mais l'équation au cercle se trouve construite , puisqu'elle se rapporte au cercle du Problême BDC. C'est pourquoi il n'y qu'à construire l'équation à l'Hyperbole , qui étant réduite donne avec ses réductions certe construction.

Soit prolongée AH en L, en sorte que AL=ŽAH, & menée par I une parallele à BC, sur laquelle ayant pris LO = HB , l'on menera par 0. la droite OM parallele à AG, qui rencontrera H B en x. L'Hyperbole A D décrite par le centre A entre les asymptotes 0 L, OM, coupera l'arc BDC au point cherché D; de forte que si l'on mene DF parallele à BC, les points D & F did viseront l'arc BDC en trois parties égales B D, DF, FC.

D E M O N S T RATION.
AYAN

N T mené par le point D, où l'Hyperbole A D coupe l'arc BDC, la droite D N parallele à l'asymptote OM, qui rencontrera HB en V , & LO en N, & par le centre A, le diametre g Af parallele à l'asymptote OL,

1

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qui rencontrera O M en P, & NDen s. L'on aura à cause
des asymptotes OL, OD; DNR NO=AL ~ 10; donc
SP x SD=SAXAL; donc DS.SA :: AL. SP: mais
les triangles semblables DSA; AHI donnent DS.SA::
AH. HI; donc AL.SP :: AH. H1. Or ( const. )
AH=2 AL ; donc HI=2SP; & partant HV ; ouGD
=2SP +IV , & DF=4SP + 2IV: mais H X(
HV +SP)=3SP+IV; c'est pourquoi BX=( const.)
HX=3SP + IV ; & par conséquent B X + X1, ou
BI=4SP + 21V ; donc BI=DF=KC. Mais les
triangles semblables A KI, A F D donnent AK. KI::
AF. FD, ou ( ayant mené AB, AC) AK. KI :: AB.
BI; d'où il suit que l'angle B AD=CAF= DAF..
C. Q. F. D.

Si la corde BC passoit par le centre A, & étoit con. fondue avec le diametre gAf, l'arc BC seroit un demi cercle , & la perpendiculaire AH =1, seroit nulle ou

c'est pourquoi, en effaçant dans l'équation à l'Hyperbole, les termes où c se rencontre, l'on auroit = { Ag; d'où il suit qu'ayant divisé Ag par

le milieu en Å, mené RT perpendiculaire à Ag qui coupera le demi cercle en T, & Tz parallele à gf , les arcs g7 , Tz, & zf seront égaux. Ce qui est évident.

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Problême Solide. TROUVER deux moyennes proportionnelles entre deux F16.98. 3. lignes données KL, MN.

Ayant supposé le Problême résolu , & nommé les données' KL, a; MN, b; & les inconnues x & y; l'on aura suivant les termes de la question a .x :: x.y, & x.y::y. b, d'où l'on tire

ay=xx, & bx=yy, qui sont deux équations à la Parabole ; & faisant évanouir l'inconnuey, l'on aura x:= aab, qui est une équation du troisiême degré, & montre que le Problême est Solide.

ay + bx=

Mais parceque deux équations à la Parabole étant combinées

par

addition ou soustraction, peuvent toujours donner une équation au cercle, attendu que l'équation à la Parabole ne renferme qu'un quarré inconnu qui peut toujours être délivré de coute quantité connue ; il suit qu'on peut construire ce Problême par le moyen de l'une des deux équations précédentes , & de l'équation au cercle qui résulte de la combinaison des deux mêmes équàtions par addition, qui est

= xx + yy. Et parceque les deux premieres équations ay =xx, & bx=yy sont également simples, on peut indifféremment se servir de celle qu'on voudra. Prenons donc la premiere ay=xx. Pour la construire, soit A l'origine des inconnues * qui va vers H, & y, qui va vers G perpendicu. laire à AG; le même point A sera aussi le sommer de l'axe AG; de la Parabole qu'il faut décrire, puisque l'équation ay = xx, n'a pas besoin de réduction ; il n'y a donc qu'à décrire ( Art. 10. no. 11. ) sur l'axe AG une Parabole dont le parametre soit la ligne donnée KL=a. Pour construire présentement l'équation au cercle ay

= xx + yy ; soit fait pour la réduire y - a=u, & * {b=2; & l'on aura l'équation réduite į aa + bb uu=%, qui avec les réductions donne cette construction.

Le point A étant toujours l'origine des inconnues y & x; à cause de la premiere réduction y

{a=u, l'on prendra AC={a=įKL, & ayant mené CO parallele à AD; à cause de la seconde réduction x {b=2,on prendra sur CO, CE { b =MN, & le point E sera l'origine des inconnues 2, qui va vers 0, & u, parallele å AG, & le centre du cercle qu'il faut décrire: mais Vaa + bb, qui est la racine du terme connu de l'équation réduite, est le demi diametre du même cercle ; c'est pourquoi li du centre E par A on décrit un cercle,

+ bx

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