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il coupera la Parabole en un point l, par où ayant mené
QP parallele AH; PQ & PA seront les deux moyennes
proportionnelles qu'il faloit trouver.

D E' MONSTRATION.
Il est clair que le cercle coupe AG & AH en 1 & en
D, de maniere que AI = 2 AC=KL=,& AD=
2CE=MN=b. Ainsi PI = PA AI=y

& PF AD PQ=b - x. Or par la propriété du cercle APX PI=PQX PF, ou en termes algebriques, yy — ay = bx

- xx, ouyy - bx=ay — *x:: mais ( Art. 10 ) ay = xx;

уу
bx. Or

ay
xx donne Ai, ou KL. PQ:: PQPA, & yy= :bx donne
PQ.PA :: PA. AD, ou MN; donc KL, PL,PA,&
MN sont continuellement proportionnelles. C. & F. D.

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donc yy

bx=O ,

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ou

EXEMPLE I V.

Problême Solide. 4. UN E courbe AM, dont l'axe eft AP, fon sommet A, F16.99. & un point D au-dedans ou au-dehors de cette courbe, étant donnez de position sur un Plan, il faut mener du point D une ligne droite D mĆ, qui coupe la courbe AM, ou sa tangente au point M à angles droits.

Ayant supposé le Problême résolu, soient menées les droites D B & MP perpendiculaires à AC; du point M la droite ME parallele à AC, qui rencontrera DB en E; & par le point M la tangente MT. Nommant présentement les données AB, 6; DB, C; & les indéterminées AP , x;PM,;& PT ,t; BP ou Me sera b + x, lile point B est hors de la courbe , & DE,(-),

Langle CMT étant droit par l'Hypothese, les triangles MPT, CPM & MED seront semblables ; c'est pourquoi l'on aura y (MP).t (PT ) :: x + 6(EM).6-9(ED); donc cy - yy=tx + bt, qui est une équation générale pour toutes les courbes AM , & que l'on déterminera à

celle courbe que l'on voudra, en y subftituant en la place de t, l'expreslion de la soutangente PT.

Si l'on veut par exemple que la courbe AM soit une Parabole ; PT sera ( Art. 11. no. 6.) =2x=t; c'est pourquoi en mettant pour « la valeur 2x, l'on aura cy - yy = 2xx + 2bx, qui est une équation à l'Ellipse; & nommant le parametre de la Parabole a, l'on aura ( Art. 10.) ax=yy, qui est l'équation à la Parabole AM.

Si l'on fait évanouir x, l'on aura une équation du troisiême degré, qui ne peut être réduite ; & par conséquent le Problème propolé est solide. Mais lorsqu'on a une équation à la Parabole, & une à l'Ellipse, ou à l'Hyper. bole par raport à ses diametres où les inconnues ne se multiplient point, on peut toujours par leur moyen trouver une équation au cercle en cette forte,

Après avoir délivré dans l'équation à l'Ellipse, ou à l’Hyperbole, le quarré de l'inconnue qui n'est point quarrée dans l'équation à la Parabole, de route quantité connue, l'on fera évanouir le quarré de l'autre inconnue, & l'équation qui en resultera sera une équation à la Parabole, qui étant combinée avec la premiere par addi. tion, ou soustraction, donnera une équation au cercle. Ainsi en divisant par z l'équation précédente cy — yy= 2 xx + 2bx , l'on a { cy - yy=x*+ bx, & mettant pour yy sa valeur ax, prise dans l'équation à la Parabole ax = yy; l'on aura {cy — į ax = xx + bx, qui est une autre équation à la Parabole; & en combinant par addition ces deux équations à la Parabole , l'on aura cy — ax + ax = xx + bx + yy, ou { cy'+ į ax = xx + bx + yy, qui est une équation au cercle. Quoique l'on pût construire le Probleme

par moyen de l'équation au cercle, & de la seconde équation à la Parabole ; il est néanmoins à propos de se servir de la premiere ax=yy, parcequ'elle appartient à la Parabole don.

le

née AM qui se trouve toute construite ; c'est pourquoi il ne reste qu'à construire l'équation au cercle, afin

que

le Probleme soir entierement résolu.

L'équation au cercle étant réduite , donne avec les réductions, cette construction. Ayant pris AF={

ba, on menera FG parallele BD &=, & du centre G par A , l'on décrira un cercle qui coupera la Parabole au point cherché M.

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DEMONSTRATION. AYANT joint GA, & mené G I parallele à A P, qui rencontrera PM en H, & la circonférence du cercle en 1, l'on aura par la proprieté du cercle, GA ou G 1 GH=HM', ou en termes algebriques : bbc ab + i aa + tocc- ** bx:- 16b+ {ax + ab taa =yy - cy + ioce, qui se réduit à xx + bx ax i cy--- yy. L'on a ausli par la propriété de la Parabole yy, qui étant combinée par addition avec l'équation précédente donne xx + bx to ax = cy, ou 2xx + 2bx = cy. + yy ( en mettant pour ax sa valeur yy, en multipliant par 2, & transposant) qui est l'équation que l'on a conItruite. C. Q.F.D.

. .

,, E E M P 1 E

V.

54. do Sisoitiin Problême solide -- +.*** Il faut décrire un triangle CBD rektangle en B, dont on Fig. 100. connoit le plus grand ED des deux segmens de la base faits par la perpendiculaire BE, qui tombe de l'angle droit B für la bafe CD, & la différence DF des côtepa gautaj:

1.0:0. w' saio Ihanaciju Ayant supposé le Problême résolu , & nommé les donpées ED, a ; DF, bi & les inconnues EC , *; , B , ou

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