Satellite B, emploïe 42 heures à décrire le petit cercle ponctué autour de Jupiter A. Je fuppofe que je fois fitué fur la terre au point D, & j'obferve le moment que le Satellite B, eft éclipfé à mon égard par le corps de Jupiter, c'està-dire, que les points D, A, B, font en une même ligne droi

te.

J'observe enfuite le moment auquel ce même Satellite par

D

fon mouvement propre avançant vers E, perdra sa lumiere en entrant dans l'omdre que forme le corps de Jupiter au point E, où il intercepte les raïons du Soleil C ; c'est-à-dire, que j'obferve le moment où les points CAE, font dans une même ligne droite.

Cela étant, puifque le Satellite emploïe 42 heures à faire fon tour, fçachant le temps qu'il a em→ ploïé depuis B, jufques en E, je fçaurai la grandeur de l'arc BE. Je fuppofe qu'il y ait emploié fix heures; l'arc BE, fera la feptième partie de la cironference, comme fix heures font la feptiéme partie de 42, ainfi dans le triangle A CD, je connoîtrai l'angle CAD, oppofé au fommet à l'angle BAE, que je viens de mefurer par mon obfervation; Je mefurerai l'angle A D ̊C, qui eft la diftance en degrés du centre du Soleil C, au centre

de

de Jupiter A; donc le troifiéme Angle me fera connu. Et d'ailleurs je connois le côté DC, diftance de la terre au Soleil, je connoîtrai donc tout le refte, c'est-à-dire DA, diftance de la terre à Jupiter; & même AC, diftance de Jupiter au Soleil.

Tout ce que nous avons dit dans cette Trigonometrie, fuppofe les Sinus calculés; ainfi il eft necaffaire de connoître la méthode par laquelle on a fait ce calcul.

Conflruction de la Table des Sinus, Tangentes &

Sécantes.

Il faut fe fouvenir que le Sinus d'un arc, eft moitié de la corde qui foutient le double de cet arc.

L'on fuppofe ordinairement que le raïon du cerele contient 100000 parties, & dans cette fuppofi tion, comme la corde de l'arc de 60 degrés, eft égale au raïon, elle fera auffi de 100000 parties.

La corde de 60 degrés eft par la définition dou ble du Sinus de l'Angle ou arc de 30 degrés; donc le Sinus de l'arc ou Angle de 30 degrés, fera de 50000 parties.

PROBLEME PREMIER.

Etant donné le Sinus d'un arc; trouver le Sinus dù complément de cet A

arc; par exemple,

é

tant donné le Sinus de 30 degrés; trouver le Sinus de 60:

Le Sinus donné FB, forme avec BD, ou fon égale FE, un Angle droit, dont EB, raion, eft la bafe; or

A

В

BD, eft Sinus de l'are
BC, qui eft le com-
plément de l'arc don- F
né AB; ainfi fi du
quarré de EB, c'est-à-
dire, fi du quarré de
100000, j'ôte le quar-
ré de B F, c'est-à-dire,
le quarré de 50000,
reftera le quarré de

E

.D

BD; dont la racine quarree fera le Sinus de l'arc BC, de 60 degrés.

PROBLEME SECOND.

Etant donnée une corde; trouver la corde qui fou

tient la moitié de l'arc de la corde donnée.

Soit la corde donnée

BC, & qu'il faille trou

ver la corde BE, qui foutient l'arc BFE, moitié de l'arc B FEC, que foutient la corde donnée.

Du centre A, foient tirés le raion AB, & le raion AE, qui coupera la corde perpendiculairement, & par la moitié au point D, par

Ja premiere Propofition du trofiéme Livre.

Il fe forme par là deux triangles rectangles; fçavoir, EDB, BDA. BD, eft donnée, puifque c'eft la moitié de la corde donnée.

Si du quaré du raïon BA, j'ôte le quarré BD, reftera le quarré de D A.

Donc fa racine DA, m'eft connuë, & par con

fequent DE, qui avec DA, eft égal au raïon. Maintenant, fi au quarre de BD, je joins le quarré de DE, me viendra le quarré de B E, & par confeBE, quent la ligne BE, elle-même que je cherchois.

PROBLEME TROISI E'M E.

Etant donnée une corde; trouver la corde qui foutient le double de l'arc foutenu par la corde donnée. La refolution de ce Problême, fuppofe la Propo fition fuivante.

En tout quadrilatere infcrit au cercle, le Rectangle des deux Diagonales eft égal à la fomme des deux rectangles fous les côtés oppofés.

Il faut démontrer que le Rectangle de la Diagonale CF, par la Diagonale DE, eft égal aux Rectangles de la ligne DC, par D la ligne EF, & de la ligne DF, par la ligne C E.

Soit menée la ligne

CB, en telle forte que

l'Angle BCE, foit égal à l'Angle DCA. Il faut

fe fouvenir:

Que les triangles femblables ont les côtés homologues proportionels.

Qu'en toute proportion geometrique le produit des Extrêmes eft égal au produit des Moiens.

Que c'eft la même chofe de multiplier une grandeur par une autre quelconque, ou de multiplier cette premiere grandeur par les parties de la feconde. En forte que dans cet exemple, le Rectangle de CF, par DE, eft la même chofe, que le Rectangle

de CE, par BE, par-
ce que DB & BE,
font les parties de la
la ligne D E.
Cela fuppofé,
Je démontre que le D
triangle CD B, eft
femblable au triangle

CFE.

Car l'Angle CDB, eft égal à l'Angle CFE,

"B

parce qu'ils font appuiés fur le même arc.

L'Angle DCB, eft égal à l'Angle FCE, parce que l'Angle commun ACB, eft joint pour les former, à deux Angles fuppofés égaux par la conftruction, c'eft-à-dire, à l'Angle BCE, d'une part, & à l'Angle DCA, de l'autre.

Donc le troifiéme Angle du triangle CDB, eft égal au troifiéme Angle du triangle CFE.

Donc le côté D C, eft au côté CF, comme le côté DB, eft au côté FE.

Donc le produit des Extrêmes eft égal au produit des Moïens.

Voila donc déja le Rectangle DC, par FE, égal au Rectangle de CF, par DB.

Je n'ai donc plus qu'à démontrer que le Rectangle de DF, par CE, eft égal au Rectangle de CF, par BE. Or cela eft aifé. Car:

Les triangles CDF, CBE, font femblables, puifque l'Angle DFC, eft égal à l'Angle CE B, étant l'un & l'autre appuïés fur l'arc DC; & que d'ailleurs l'Angle DCF, eft par la conftruction égal à l'Angle BCE.

Donc le côté D F, eft au côté FC, comme le côté BE, eft au côté CE.