FIG. 101.

Si au lieu de faire évanouiry, l'on fait évanouir x, l'on

aura.

B. y*+4by3+6bbýy +4b3y+ba— 0.

—zaayy — zaaby — aabb

d'où faifant évanouir le fecond terme, en faisant y + b

=2,

l'on aura

C. L➡ Laazz+zaabz — aabb=0.

Et comme cette équation eft plus fimple que l'équation A, il vaut mieux s'en fervir pour construire le Problême, que de l'équation A. Faifant donc

D. au, l'on aura aauu=2, & mettant les valeurs de zz & de z* dans l'équation C, l'on aura après avoir divifé par aa,

E. uu — 2au → 262 —bb—o, qui est une équation à la

Parabole.

Si l'on ajoute le fecond membre de l'équation D au premier de l'équation E; & le premier au second, l'on aura un zau+z2+2b2 →→bbau,

=

ou

F. uu ➡zau+z2+2b2 —~bb = 0, qui est une équation au cercle.

Si l'on réduit l'équation F, & qu'on la conftruise avec l'équation D. En prenant le point K pour l'origine des inconnues a qui va vers S, & qui lui eft perpendiculai& va en haut, on retombera dans la conftruction de la Section précedente no. 5.

re,

DEMONSTRATION.

PAR la conftruction du Problême 5. (Sec. prec.) KL, ou
HP=x+a;& LM −y+b; & par cette construction
KL=u, & LM-2=y+b; mettant donc dans ces deux
équations D & F pour u,
fa valeur xa, & pour z
༢ fa
valeur y+b, l'on aura ces deux équations.
G. aa+ax=yy+ 2by — bb, &

H. xx=aa-by-
2by bb, qui eft la premiere équation
de l'exemple 5, Sect. prec. & en ajoutant les deux équa-
tions G & H, le premier membre au premier, & le fecond
au fecond, l'on aura, après les réductions,

K. xx+ax=yy, qui eft la feconde équation du même
Exemple. C. Q. F. D.

REMARQUE.

101.

12.PAR le moyen de cette conftruction, l'on ne déter-FIG. 100.
mine que la grandeur du côté CBPM, au lieu que
par la construction de la Section précedente, l'on a auffi dé-
terminé la grandeur de CEAP, d'où l'on voit que
lorfque l'on conftruit un Problême folide par le moyen de
fon équation déterminée, il n'est pas entierement réfolu.
Il faut encore pour cela réfoudre & conftruire un autre
Problême fimple ou Plan; au lieu que lorfqu'on le conf-
truit par le moyen de fes deux équations indéterminées,
il est entierement réfolu: car les valeurs des deux incon-
nues fe trouvent toujours déterminées.

Ainfi pour achever de réfoudre le Problême, en fup-
pofant qu'on n'a déterminé que le côté CB par la conftruc-
tion précedente, foit encore CE nommé x; & BD, c;
l'on aura par la proprieté du triangle rectangle x + a
(CD). c (BD) :: c (BD). a DE, d'où l'on tirẻ x= -bb-
a, qui fervira à déterminer la grandeur CE, & le Problê-
me fera entierement réfolu.

a

REMARQUES GENERALES

;

Sur la conftruction des Problèmes Solides. 13.LEs conftructions du deuxiême & cinquiême exemples de la Section précedente, comparées avec les conftructions du fecond & du troifiême de cette Section font voir qu'il eft plus à propos de conftruire les Problêmes folides avec deux équations indéterminées, qu'avec une équation déterminée, lorsqu'on le peut. Or on le peut toujours lorfque l'une des équations indéterminées fe rapporte au cercle, ou bien lorfque les deux lettres inconnues ne fe multiplient point dans les deux mêmes équations indéterminées : car en ce cas on trouvera toujours une équation au cercle, comme on a fait dans cet exemple.

.

On voit aufli qu'il n'eft pas absolument neceffaire que les deux lettres inconnues ayent les qualitez marquées dans la premiere Obfervation de l'article 4. On peut même les placer de differentes manieres, & chercher à chaque fois deux équations: car on trouve fouvent des équations plus fimples en les plaçant d'une maniere, qu'en les plaçant d'une autre.

14. Quoiqu'on n'ait employé dans cette Section que le cercle & la Parabole pour la construction des Problêmes folides, cela n'empêche pas qu'on ne puiffe les conftruire avec celle qu'on voudra des Sections coniques : car on peut tirer d'une équation déterminée du troifiême & du quatriême degré des équations à l'Ellipfe, & à l'Hyperbole comme on en a tiré une équation au cercle, avec cette difference feule qu'on ne peut tirer d'une équation du quatrième degré, une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes, & qu'on la peut tirer d'une équation du troifiême.

Soit par exemple A.x3—3aax—aab, qui est l'équation de l'exemple 2.

En fuppofant B. ay=xx, & mettant en la place de xx fa valeur ay, l'on aura C. xy=3ax-b, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes. Et multipliant l'équation C par x, & mettant enfuite pour xx, fa valeur ay dans le premier terme, l'on aura D. yy= 3xx bx, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes diametres, comme celle de l'Art. 14. no. 13. & mettant encore pour xx fa valeur ay dans l'équation D; il viendra E. yy=3ay—bx, qui eft une équation à la Parabole. En ajoutant les deux membres des deux équations B & E, le premier au premier, & le fecond au fecond, l'on aura yy=xx+2ay—bx, qui eft une équation à l'Hyperbole equilatere. Si l'on ajoute le fecond membre de l'équation B au premier de l'équation E, & le premier au fecond, l'on aura yy+xx=4ay—bx, qui eft une équation au cercle. Si on multiplie l'équation B par un nombre quelconque entier ou rompu, ou par une fraction

a

de la combiner avec l'é

litterale, comme, avant que

quation F, comme on vient de faire; l'on aura une équa-
tion à l'Hyperbole, & une à l'Ellipfe.

On peut de même combiner deux des équations pré-
cedentes prises à volonté, & enfuite celles qui résultent
de ces combinaisons, ce qui donnera une infinité d'équa-
tions aux Sections coniques, de l'une desquelles on pourra
fe fervir avec l'équation au cercle.

15. On tirera de la même maniere d'une équation du quatrième degré qui n'a point de fecond terme, des équations aux Sections coniques, & une au cercle : mais on n'en trouvera point à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes: où l'on remarquera que fi l'on tiroit deux équations au cercle d'une équation du troifiême ou du quatriême degré, le Problême feroit Plan, & l'équation se pourroit réduire à une équation du fecond degré,

16. On peut encore conftruire les Problêmes folides avec l'équation au cercle, & telle Section conique qu'on voudra, comme on peut voir dans le Traité de la Conftru&tion des Equations de Mr. de la Hire, dont on a suivi ici la Méthode.

17. On multiplie les équations du troifiême degré par leur inconnue, pour en tirer une équation à la Parabole, differente de celle que l'on forme arbitrairement pour introduire dans l'équation déterminée afin d'en tirer des équations indéterminées mais cela n'y apporte aucun changement: car les Problêmes du troifiême & du quatriême degré font de même nature; & même leurs conftructions ne different qu'en ce que les deux Courbes qu'on y employe paffent par l'origine de l'inconnue de l'équation, quand elle eft du troifiême degré, & qu'elles n'y paffent pas quand elle eft du quatriême.

SECTION

XI.

Où l'on donne la Méthode de réfoudre & de conftruire les Problêmes indéterminez, dont les Equations excedent le fecond degré: ou ce qui eft la même chose, de decrire les courbes dont ces Equations expriment

la nature; & de réfoudre & de conftruire les Problêmes déterminez, dont les Equations excedent le quatrième degré.

METHOD E.

XXV.

O

Na donné des régles dans la cinquiême, fixiême & feptiême Section pour décrire les courbes du premier genre d'une maniere plus fimple que celles qu'on tireroit naturellement de leurs équations : mais on n'en peut pas donner pour décrire celles des genres plus compofez. Il faudroit pour cela les avoir examinées les unes après les autres; ce qui iroit à l'infini : car chaque genre en contient un nombre d'autant plus grand qu'il eft plus compofé, & il y a une infinité de genres.

1. On dira feulement en general qu'après avoir trouvé une équation pour chaque Problême (en obfervant pour nommer les lignes inconnues, ce qui eft prescrit dans la premiere ou feptiême Observation de l'Art. 4.), qui exprime la nature de la Courbe qui doit fervir à le réfoudre, qui en détermine le genre, & qui foit réduite à fon expreffion la plus fimple ; il faut examiner par l'inspection des termes de l'équation, celle des deux inconnues dont on peut plus facilement trouver les valeurs en fuivant les régles de la conftruction des équations déterminées, trouver par les mêmes régles les valeurs de