litterale, comme, avant que

de la combiner avec l'é

quation F, comme on vient de faire ; l'on aura une équation à l'Hyperbole, & une à l'Ellipse.

On peut de même combiner deux des équations précedentes prises à volonté, & enfuite celles qui résultent de ces combinaisons, ce qui donnera une infinité d'équations aux Sections coniques, de l'une defquelles on pourra fe fervir avec l'équation au cercle.

15. On tirera de la même maniere d'une équation du quatrième degré qui n'a point de second terme, des équations aux Sections coniques, & une au cercle : mais on n'en trouvera point à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes: où l'on remarquera que fi l'on tiroit deux équations au cercle d'une équation du troifiême ou du quatriême degré, le Problême feroit Plan, & l'équation se pourroit réduire à une équation du fecond degré.

16. On peut encore conftruire les Problêmes folides avec l'équation au cercle, & telle Section conique qu'on voudra, comme on peut voir dans le Traité de la Conftruction des Equations de Mr. de la Hire, dont on a suivi ici la Méthode.

17. On multiplie les équations du troisième degré par leur inconnue, pour en tirer une équation à la Parabole, differente de celle que l'on forme arbitrairement pour introduire dans l'équation déterminée afin d'en tirer des équations indéterminées : mais cela n'y apporte aucun changement: car les Problêmes du troifiême & du quatriême degré font de même nature; & même leurs conftructions ne different qu'en ce que les deux Courbes qu'on y employe paffent par l'origine de l'inconnue de l'équation, quand elle eft du troisième degré, & qu'elles n'y paffent pas quand elle eft du quatrième.

Où l'on donne la Méthode de réfoudre & de conftruire les Problêmes indéterminez dont les Equations excedent le fecond degré: ou ce qui eft la même chofe, de décrire les courbes dont ces Equations expriment la nature; & de réfoudre & de conftruire les Problêmes déterminez, dont les Equations excedent le quatrième degré.

XXV.

O

MÉTHODE.

N a donné des régles dans la cinquiême, fixiême & feptiême Section pour décrire les courbes du premier genre d'une maniere plus fimple que celles qu'on tireroit naturellement de leurs équations: mais on n'en peut pas donner pour décrire celles des genres plus compofez. Il faudroit pour cela les avoir examinées les unes après les autres ; ce qui iroit à l'infini : car chaque genre en contient un nombre d'autant plus grand qu'il est plus compofé, & il y a une infinité de genres.

1. On dira feulement en general qu'après avoir trouvé une équation pour chaque Problême (en obfervant pour nommer les lignes inconnues, ce qui eft prefcrit dans la premiere ou feptiême Obfervation de l'Art. 4.), qui exprime la nature de la Courbe qui doit fervir à le réfoudre, qui en détermine le genre, & qui foit réduite à fon expreffion la plus fimple ; il faut examiner par l’inspection des termes de l'équation, celle des deux inconnues dont on peut plus facilement trouver les valeurs en fuivant les régles de la conftruction des équations déterminées, trouver par les mêmes régles les valeurs de

cette inconnue, en affignant à l'autre inconnue une valeur déterminée, & arbitraire ; & l'on aura à chaqué fois qu'on affignera à cette inconnue des valeurs arbitraires, autant de points de la courbe qu'on veut décrire, que l'autre inconnue aura de valeurs réelles, pofitives, & négatives. De forte que fi l'inconnue la moins élevée de l'équation, fi elles ne le font pas toutes deux également, a une ou deux dimenfions, on en trouvera les valeurs par les règles de la Section II, en affignant à l'autre inconnue des valeurs arbitraires, & la regardant enfuite comme déterminée. Si elle a trois ou quatre dimensions, on en trouvera les valeurs par les régles de la Section précedente; & fi elle a un plus grand nombre de dimenfions, on en trouvera les valeurs comme on expliquera dans la fuite: mais comme l'on en pourra plus tirer l'équation au cercle, il ne fera point neceffaire d'en faire évanouir le fecond terme, s'il s'y rencontre: où l'on remarquera qu'il faut réïtérer la construction autant dé fois qu'on affignera des valeurs differentes à l'inconnue que l'on prend pour constante.

2. On peut auffi, après avoir trouvé une équation comme on vient de dire, abandonner la premiere & feptiême Obfervations de l'Art. 4, & nommer d'autres lignes par des lettres inconnues, & chercher par ce moyen d'au tres équations, qui n'exprimeront pas effectivement la nature de la courbe qui doit réfoudre le Problême, & qui n'en détermineront pas le genre: mais qui pourront fervir à décrire plus fimplement la même courbe, soit par elles-mêmes, ou en faifant évanouir par leur moyen les inconnues de la premiere équation, afin de la rendre plus fimple, & d'en tirer plus facilement la maniere de décrire la même courbe.

3. On peut encore tirer de l'équation qui exprime la nature de la courbe qui doit réfoudre un Problême, des équations à quelqu'une des quatre courbes du premier genre, lorfqu'on y trouve l'expreffion de, l'appliquée de quelqu'une des quatre mêmes courbes, en égalant cette

expreffion à une troifiême lettre inconnue, ou à fon quarré, & la construction de ces équations facilitera la defcription de la courbe qu'on veut décrire. Tout ceci fe trouvera pratiqué dans les exemples qui suivent.

FIG. 105. 4. UN demi cercle AFB, dont le diametre eft AB, & le cen tre C, étant donné, ayant mené par un point quelconque P du diametre AB, la droite PK perpendiculaire à AB, qui rencontre la circonference AFB en K. Il faut trouver fur PK le point M. qui la divife en forte que AP. PM :: PB. PK. Et comme il y a une infinité de points comme M, il faut trouver la courbe fur laquelle ils fe trouvent tous.

Ayant fuppofé le Problême réfolu; & nommé le diametre AB, a; & les indéterminées AP, x; PM, y ; PB fera, a-x; & par la proprieté du cercle PK fera√ax-xx, & l'on aura par les qualitez du Problême,

AP (x). PM (y) :: PB (a — x ). PK=

ay-xy

Vax — xx, & en quarrant chaque membre, multipliant enfuite par xx, & divifant par ax; l'on aura `x3 — ayy xyy, qui eft une équation du troifiême degré, qui montre que la courbe cherchée dont elle exprime la nature eft du fecond genre. On tire de l'équation que

en multipliant les deux termes de la fraction par √x, ce qui ne change ni le degré de l'équation, ni le genre de la courbe, d'où l'on voit que la courbe paffe des deux côtez de l'axe AB par les points M, & m, & que la partie Am est égale & semblable à la partie AM, puisque

Pm PM.

Si

Si l'on fait x=o, le point P tombera en A, les termes où x fe rencontrent feront nuls, & l'on aura par consequent yo, d'où l'on connoît d'où l'on connoît que la courbe rencontre fon axe au point A, puifque AP & PM s'y aneantiffent, & qu'elle ne rencontre qu'en A la parallelé à PK menée par A: car fi elle la rencontroit encore en quelqu'autre point, l'on trouveroit une valeur de y qui le détermine

roit.

Si l'on fait y=0, l'on aura auffi x=o, qui montre que la courbe ne rencontre fon axe AB qu'au feul point A ; & comme elle ne rencontre auffi la parallele à PK, menée par A qu'au feul point A ; il fuit qu'elle est toute du côté de B par raport à cette parallele.

Puifque par l'Hypothefe PB. PK :: AP. PM, il est clair que la courbe AM touche fon axe au point A: car le point P étant infiniment proche de A, les points K & Men feront auffi infiniment proches, & parcequ'alors PB furpaffera pour ainfi dire infiniment PK; AP furpaffera auffi pour ainfi dire infiniment PM; d'où il fuit que la petite partie AM de la courbe fera pour ainfi dire dans la direction de fon axe AB, qu'elle touche & coupe par conféquent au point A.

L'on voit encore par la même équation que x croiffant, y croît auffi, même en deux manieres: car le numérateur xx du membre fractionnaire croiffant, le dénominateur Vax -xx diminue.

Si l'on augmente x jufqu'à ce qu'elle deviennea, le point P tombera en B, & l'équation deviendra y=

& comme ce raport. eft plus grand que tout

-

raport donné, c'est-à-dire, infiniment grand; il fuit que fi l'on mene par B une ligne BH parallele à PM cette parallele ne rencontrera la courbe qu'à une diftance infinie, ou, ce qui eft la même chofe, qu'elle lui sera afymptote. L'on voit auffi qu'on ne peut pas augmenter x en forte qu'elle furpaffe AB: car le dénominateur de la

Ee