res,

cette inconnue, en affignant à l'autre inconnue une valeur déterminée, & arbitraire ; & l'on aura à chaque fois qu'on affignera à cette inconnue des valeurs arbitraiautant de points de la courbe qu'on veut décrire, que l'autre inconnue aura de valeurs réelles, pofitives, & negatives. De forte que fi l'inconnue la moins élevée de l'équation, fi elles ne le font pas toutes deux également, a une ou deux dimenfions, on en trouvera les valeurs par les régles de la Section II, en affignant à l'autre inconnue des valeurs arbitraires, & la regardant enfuite comme déterminée. Si elle a trois ou quatre dimensions, on en trouvera les valeurs par les régles de la Section précedente; & fi elle a un plus grand nombre de dimensions, on en trouvera les valeurs comme on expliquera dans la fuite: mais comme l'on en pourra plus tirer l'équation au cercle, il ne fera point neceffaire d'en faire évanouir le fecond terme, s'il s'y rencontre : où l'on remarquera qu'il faut réïtérer la conftruction autant de fois qu'on affignera des valeurs differentes à l'inconnue que l'on prend pour conftante.

par

2. On peut auffi, après avoir trouvé une équation comme on vient de dire, abandonner la premiere & feptiême Observations de l'Art. 4, & nommer d'autres lignes des lettres inconnues, & chercher par ce moyen d'autres équations, qui n'exprimeront pas effectivement la nature de la courbe qui doit réfoudre le Problême, & qui n'en détermineront pas le genre: mais qui pourront fervir à décrire plus fimplement la même courbe, foit par elles-mêmes, ou en faifant évanouir par leur moyen les inconnues de la premiere équation, afin de la rendre plus fimple, & d'en tirer plus facilement la maniere de décrire la même courbe.

3. On peut encore tirer de l'équation qui exprime la nature de la courbe qui doit réfoudre un Problême, des équations à quelqu'une des quatre courbes du premier genre, lorfqu'on y trouve l'expreffion de l'appliquée de quelqu'une des quatre mêmes courbes, en égalant cette

expreffion à une troifiême lettre inconnue, ou à fon quar-
ré, & la construction de ces équations facilitera la defcri-
ption de la courbe qu'on veut décrire. Tout ceci fe trou-
vera pratiqué dans les exemples qui suivent.

FIG. 105. 4.UN demi cercle AFB, dont le diametre eft ÁB, & le centre C, étant donné, ayant mené par un point quelconque P du diametre AB, la droite PK perpendiculaire à AB, qui rencontre la circonference AFB en K. Il faut trouver fur PK le point M. qui la divife en forte que AP. PM :: PB. PK. Et comme il y a une infinité de points comme M; il faut trouver la courbe fur laquelle ils fe trouvent tous.

Ayant fuppofé le Problême résolu ;.& nommé le diametre AB, a; & les indéterminées AP, x; PM,y; PB fera, a — x ; & par la proprieté du cercle PK fera√ax-xx, & l'on aura par les qualitez du Problême,

AP (x). PM (y) :: PB (a — x ) . P K =

ay-xy

х

Vax
xx, & en quarrant chaque membre, multipliant
enfuite par xx,
& divifant para-x; l'on aura ×3
ayyxyy, qui eft une équation du troifiême degré,
qui montre que la courbe cherchée dont elle exprime la
nature eft du fecond genre. On tire de l'équation que

en multipliant les deux termes de la fraction par √ x ce
qui ne change ni le degré de l'équation, ni le
ni le genre de
la courbe, d'où l'on voit que la courbe paffe des deux
côtez de l'axe AB par les points M, & m & que la
partie Am eft égale & femblable à la partie AM, puifque

Pm PM.

Si l'on fait x=o, le point P tombera en A, les termes où x fe rencontrent feront nuls, & l'on aura par confequent y=0, d'où l'on connoît que la courbe rencontre fon axe au point A, puifque AP & PM s'y aneantiffent, & qu'elle ne rencontre qu'en A la parallele à PK menée par 4: car fi elle la rencontroit encore en quelqu'autre point, l'on trouveroit une valeur de y qui le détermine

roit.

Si l'on fait yo, l'on aura auffi x=o, qui montre que la courbe ne rencontre fon axe AB qu'au feul point A; & comme elle ne rencontre auffi la parallele à PK, menée par A qu'au feul point A ; il fuit qu'elle eft toute du côté de B par raport à cette parallele.

Puifque par l'Hypothefe PB. PK :: AP. PM, il est >clair que la courbe AM touche fon axe au point A: car le point P étant infiniment proche de A, les points K & Men feront auffi infiniment proches, & parcequ'alors PB furpaffera pour ainfi dire infiniment PK; AP furpaffera' auffi pour ainfi dire infiniment PM, d'où il fuit que la petite partie AM de la courbe fera pour ainfi dire dans la direction de fon axe AB, qu'elle touche & coupe par conféquent au point A.

y

L'on voit encore par la même équation que x croissant, croît auffi, même en deux manieres: car le numérateur xx du membre fractionnaire croiffant, le dénominateur ax-xx diminue.

Vax

Si l'on augmente x jufqu'à ce qu'elle devienne―a, le point P tombera en B, & l'équation deviendra y =

raport donné, c'est-à-dire, infiniment grand; il fuit que fi l'on mene par B une ligne BH parallele à PM, cette parallele ne rencontrera la courbe qu'à une distance infinie, ou, ce qui eft la même chofe, qu'elle lui fera afymptote. L'on voit auffi qu'on ne peut pas augmenter x en forte qu'elle furpasse AB : car lê dénominateur de la

Ee

fraction deviendroit une quantité imaginaire ; & par confequent auffi les valeurs de y : ce qui fait voir que la courbe ne paffe point au-delà BH menée par B parallele à PK. Il fuit de tout ce qu'on vient de dire que la courbe est toute renfermée entre les deux paralleles à PM, menées par Д & par B.

Puifque BH eft afymptote à la courbe AM, il fuit qu'elle coupe la circonference du cercle en quelque point F, qu'il eft aifé de déterminer : car faisant PMPK,ou y=√ax-xx, & mettant cette valeur de y dans l'équation précedente, elle deviendra ax - xx = xx, d'où l'on tire x = a, qui fait voir que le point F divisera par le milieu le demi cercle AFB : ce que l'on peut auffi remarquer par l'Hypothefe; car le point P tombant en C, l'on aura AC. CM:: CB. CK ; & partant CM=CK® =AC.

La qualité du Problême fournit une maniere affez fimple pour décrire la courbe : mais il faut examiner si l'on n'en peut pas tirer une plus fimple de fon équation en cherchant les valeurs de y dans toutes

y

Vax

les pofitions du point P. On trouve que cette équation donne cette conftruction qui eft prefque la même que celle que fournit le Problême. Soit prife PM troifiême proportionnelle à PK & à AP, & le point M fera à la courbe cherchée.

DEMONSTRATION.

PAR la conftruction, & par la proprieté du cercle √ax — xx ( PK ). x (AP) : : x . y (PM), d'où l'on

Quoique ces constructions foient affez fimples, il est neanmoins à propos de voir fi l'on n'en peut pas trouver une encore plus fimple. Soit pour ce fujet menée par les points A & M la droite AMG qui rencontre la

circonference AKB en E, & l'afymptote AH en G, & ayant mené ED parallele à PK, & nommé DB, z; AD ༢.;

fera a- ·༢., & les triangles femblables APM, ADE, donneront AP ( x ). PM ( y ) :: AD ( a − 2). DE = ay-zy Mais

par la proprieté du cercle DEVaz — zz

divifant chaque membre par a-z. L'on a auffi l'équa

a—

AMEG, qui donne cette construction qui est la plus fimple que l'on puisse trouver.

Soit menée du point A une ligne droite quelconque AG qui rencontrera la circonférence du demi cercle en E; & ayant pris fur AG, AM EG; le point M sera à la courbe cherchée.

DEMONSTRATION.

PUISQUE ( Conft. ) AP = DB, AP étant x ; DB fera auffi, x; AD, a — x ; & l'on aura, à caufe des triangles femblables APM, ADE, AP (x). PM(y).

ay-xy

(par la prop.

du cer

:: AD (a — x). DE= cle) Vax-xx, d'où l'on tire l'équation du Problême. C. Q. F. D.

Dioclés Inventeur de cette courbe l'a nommée Cyffoïde.