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cette inconnue , en assignant à l'autre inconnue une valeur déterminée , & arbitraire ; & l'on aura à chaque fois qu'on assignera à cette inconnue des valeurs arbitraires , autant de points de la courbe qu'on veut décrire, que l'autre inconnue aura de valeurs réelles , positives, & négatives. De forte que si l'inconnue la moins élevée de l'equation , si elles ne le sont pas toutes deux également, à une ou deux dimensions , on en trouvera les va. leurs par les régles de la Section II , en assignant à l'autre inconnue des valeurs arbitraires , & la regardant ensuite comme déterminée. Si elle a trois ou quatre dimensions, on en trouvera les valeurs par les régles de la Section précédente ; & si elle a un plus grand nombre de dimensions , on en trouvera les valeurs comme on expliquera dans la suite : mais comme l'on en pourra plus tirer l'équation au cercle , il ne sera point necessaire d'en faire évanouir le second terme , s'il s'y rencontre : où l'on remarquera qu'il faut réïtérer la construction autant de fois qu'on allignera des valeurs differentes à l'inconnue que l'on prend

pour constante. 2. On peut aussi , après avoir trouvé une équation comme on vient de dire, abandonner la premiere & septiême Observations de l'Art. 4, & nominer d'autres lignes par des lettres inconnues, & chercher par ce moyen d'au . tres équacions, qui n'exprimeront pas effectivement la nature de la courbe qui doit résoudre le Problême , & qui n'en détermineront pas le genre : mais qui pourront servir à décriré plus simplement la même courbe , soit

par elles-mêmes , ou en faisant évanouir

par
leur
moyen

les inconnues de la premiere équation , afin de la rendre plus simple , & d'en tirer plus facilement la maniere de décrire la même courbe.

3. On peut encore tirer de l'équation qui exprime la nature de la courbe qui doit résoudre un Problême, des équations à quelqu'une des quatre courbes du premier genre , lorsqu'on y trouve l'expression de l'appliquée de quelqu'une des quatre mêmes courbes , en égalant cette

expression à une troisiême lettre inconnue, ou à son quarré, & la construction de ces équations facilitera la description de la courbe qu'on veut décrire. Tout ceci se trouvera pratiqué dans les exemples qui suivent.

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Problême Indéterminé. F16.105.4. Un demi cercle AFB , dont le diametre eft AB, & le cen

tre C, étant donné , ayant mené par un point quelconque P du diametre AB , la droite PK perpendiculaire à AB,

qui rencontre la circonference AFB en K. Il faut trouver sur PK le point M.qui la divise en sorte que AP.PM::PB.PK. Et comme il y a une infinité de points comme M; il faut trouver la courbe sur laquelle ils se trouvent tous.

Ayant supposé le Problême résolu ;-& nommé le diametre AB, a ; & les indéterminées AP , *°; PM,y; PB sera, a - *; & par la proprieté du cercle PK sera vax - xx , & l'on aura par les qualitez du Problême, AP (*). PM (y) :: PB (a — *). PK = Vax --xx, & en quarrant chaque membre , multipliant

& divisant par a - * ; l'on aura x = ayy — xyy , qui est une équation du troisiême degré, quí montre que la courbe cherchée dont elle exprime la nature est du second genre. On tire de l'équation que

ay — xy

ensuite par xx

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en multipliant les deux termes de la fraction par Vx, ce qui ne change ni le degré de l'équation , ni le genre de la courbe , d'où l'on voit que la courbe passe des deux côtez de l'axe AB par les points M, &m, & que la partie Am est égale & semblable à la partie AM, puisque Pm= PM.

Si

Si l'on fait x=0, le point P tombera en A , les termes où x se rencontrent seront nuls , & l'on aura par consequent y=0, d'où l'on connoît

d'où l'on connoît que la courbe rencontre son axe au point A , puisque AP & P M s'y aneantissent, & qu'elle ne rencontre qu'en A la parallele à PK menée par A: car si elle la rencontroit encore en quelqu'autre point, l'on trouveroic une valeur de y qui le détermineroit.

Si l'on fait y=0, l'on aura aussi x=0, qui montre que la courbe ne rencontre son axe AB qu'au seul point A ; & comme elle ne rencontre aussi la parallele à PK, menée par A qu'au seul point A ; il suit qu'elle est toute du côté de B par raport à cette parallele.

Puisque par l'Hypothese PB.PK :: AP. PM, il est . » clair que la courbe AM touche son axe au point A:car le point P étant infiniment proche de A, les points K & Men seront aussi infiniment proches; & parcequ'alors PB surpassera pour ainsi dire infiniment PK; AP surpassera' aussi pour ainsi dire infiniment PM ; d'où il suit que la petite partie AM de la courbe fera pour ainsi dire dans la direction de son axe AB, qu'elle touche & coupe par conséquent au point A.

L'on voit encore par la même équation que x croissant, y

croît aussi , même en deux manieres : car le numérateur xx du membre fractionnaire croissant , le dénominateur Vax — xx diminue.

Si l'on augmente x jusqu'à ce qu'elle devienne=a, le point P tombera en B, & l'équation deviendra & comme ce raport

est plus grand que tout raport donné, c'est-à-dire, infiniment grand ; il suit que si l'on mene par B une ligne BH parallele à PM, cette parallele ne rencontrera la courbe qu'à une distance infinie, ou , ce qui est la même chose , qu'elle lui sera asymptote. L'on voit aussi qu'on ne peut pas augmenter x en sorte qu'elle surpasse AB : car le dénominateur de la

Еe

ad

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fraction deviendroit une quantité imaginaire ; & par consequent aussi les valeurs de y: ce qui fait voir que la courbe ne passe point au-delà BH menée par B parallele à PK. Il suit de tout ce qu'on vient de dire que la courbe est toute renfermée entre les deux paralleles à PM, menées par A & par B.

Puisque BH est asymptote à la courbe AM , il suit qu'elle coupe la circonference du cercle en quelque point F , qu'il eit aisé de déterminer : car faisant PM=PK, ou y=vax-xx, & mettant cette valeur de y dans l'équa. tion précedente , elle deviendra ax — xx = xx, d'où l'on cire x=

į a, qui fait voir que le point F divisera par le milieu le demi cercle AFB : ce que l'on peut aussi remarquer par l'Hypothese ; car le point P tombant en C, l'on aura AC.CM::CB, CK ; & partant CM=CK " = AC.

La qualité du Problême fournit une maniere assez simple pour décrire la courbe : mais il faut examiner fi l'on n'en peut pas tirer une plus simple de son équation

en cherchant les valeurs de y dans toutes les positions du point P. On trouve que cette équation donne cette construction qui est presque la même . le que fournit le Problême. Soit prise PM troisieme

proportionnelle à PK & à AP, & le point M sera à la courbe cherchée.

DEMONSTRATION. Par la construction, & par la proprieté du cercle Vax — *

xx ( PK). * ( AP)::x. y (PM), d'où l'on tire y=

C. Q. F. D. Quoique ces constructions soient assez simples, il est neanmoins à propos de voir si l'on n'en peut pas trouver une encore plus simple. Soit pour ce sujet menée par les points A & M la droite AMG qui rencontre la

Vax

que cel

Vax

circonference AKB en E, & l'asymptote AH en G , &
ayant mené ED parallele à PK , & nommé DB, K; AD
sera a -, & les triangles semblables APM , ADE,
donneront AP (*). PM (y) :: AD( a--2). DE =
Mais par la proprieté du cercle DE=Vaz -
aayy — iazyy + zzyy

ayy — zyy
donc ax -2=

ay -- zy

.

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ou

en

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divisant chaque membre par a —% L'on a aussi l'équation du Problême yy=

donc en mettant cette

a X

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valeur de

уу

dans l'équation précedente, l'on aura ; d'où l'on tire x= x, ou AP=DB ; donc

ax

ZX

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AM=EG , qui donne cette construction qui est la plus simple que l'on puisse trouver.

Soit menée du point A une ligne droire quelconque AG qui rencontrera la circonférence du demi cercle en E ; & ayant pris sur AG, AM=EG ; le point M sera à la courbe cherchée.

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DE'MONSTRATION. PUISQUE ( Const. ) AP= DB, AP étant x ; DB sera auslī, * ; AD, a- *; & l'on aura , à cause des triangles semblables APM, ADE, AP (*).PM (y)

ay ay :: AD(a - x). DE= =(par la prop. du cercle ) Vax — *x, d'où l'on cire l'équation du Problême. C. Q. F. D.

Dioclés Inventeur de cette courbe l'a nommée Cyffoide,

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