FIG. 106.5.UN angle droit ABH, & un point fixe A fur un de ses côtez, étant donnez de pofition fur un Plan, fi l'on mene du point fixe A une ligne quelconque AG, qui rencontre le côté BH en G, & qu'on prenne GM GB, il faut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe fur laquelle fe trouve le point M, & tous ceux que l'on trouvera de la même

maniere.

=

Ayant fuppofé le Problême réfolu, on abbaisfera du point
M fur AB le perpendiculaire MP; & ayant nommé la
donnée AB, a, & les indéterminées AP, x; PM, y ; PB
fera, a
,a—x; & AM, Vxx+yy, & les triangles femblables
APM, ABG donneront AP (x). PM (y) :: AB (a). BG=
(Hyp.)GM, & à caufe des paralleles PM, BG,

ay

l'on aura x (AP). ax (PB): √xx+yy (AM). ay

(GM, ou GB), d'où l'on tire y=+

ax- хх

V2ax- -XX

qui est une

équation du troifiême degré : car on auroit pû la diviser
par x avant que d'extraire la racine, & la courbe par con-
féquent eft du fecond
genre.

Il feroit inutile de chercher une conftruction plus fim-
ple que
celle qui eft renfermée dans l'énoncé du Problê-
me: car il eft impoffible d'en trouver de plus fimples. Voi-
ci celle que l'équation donne.

AB,

Soit prolongée AB en D, en forte que BD
& décrit un demi cercle AKD fur le diametre AD. Ayant
mené par un point quelconque P la droite PK parallele
à BH, qui rencontrera le demi cercle en K, on prendra
fur PK, PM quatriême proportionnelle à PK, AP,&
PB, & le point M fera la courbe cherchée.

DE'MONSTRATION.

PAR la conftruction, & à cause du demi cercle, √zax —xx (PK).. x (AP) :: a—x (PB). y (PM), d'où l'on tire

On voit par cette équation que la courbe paffe des deux côtez de fon axe AB, & que les parties qui font de part & d'autre font égales & semblables.

Si l'on fait x=o, l'on aura auffi yo, ce qui montre que la courbe paffe au point A, qui eft par confequent le fommet de fon axe; & la conftruction précédente auffi bien que l'énoncé du Problême, font connoître qu'elle coupe au point A fon axe AB à angles droits : car fi l'on fuppofe le point P infiniment proche de A, les points K & M en feront auffi infiniment proches. Or puif que (conft.) PK. AP:: PB. PM, & que PM eft pour ainfi dire nulle par raport à PB; AP fera par conféquent nulle par raport à PK; & partant le point M eft pour ainsi dire dans la perpendiculaire à AB menée par A.

Si l'on fait yo, l'on aura xa; d'où il fuit que la courbe rencontre encore fon axe au point B, puifque y y eft nulle. Mais outre cela, je dis qu'elle le coupe en faifant avec lui un angle de 45 degrez; car fi l'on fuppose que le point P foit infiniment proche de B, le point K fera infiniment proche du point H milieu de la circonference du cercle AKD; c'eft pourquoi PK fera égale à PA, & par consequent PBPM à caufe de l'Analogie précédente PK. AP:: PB. PM. Ainfi le petit triangle KPB fera rectangle & ifofcele, & partant l'angle PBM fera demi droit.

APx peut devenir plus grande que AB=a, fans que les valeurs de y deviennent imaginaires, ce qui fait voir

que
la courbe paffe au-delà de BH par raport à A, de
forte que la partie MB fe continue vers 1, & l'autre vers E.
Mais parcequ'alors y devient negative de pofitive qu'elle

étoit, l'équation deviendra — y=±

+

Xx

Ainfi pour décrire les parties de la

courbe qui font au-delà de BH par raport à A, ayant mené par un point quelconque p, la droite pk parallele à BH, l'on prendra pm quatriême proportionnelle à pk, pA, & pB, & le point m fera à la courbe cherchée.

Zaa

Si l'on augmente x (AP) jufqu'à ce qu'elle devienne = AD = 2a, l'équation deviendra y=+2a, qui fait voir que DF menée par D parallele à BH, & prolongée de part & d'autre à l'infini, ne rencontrera jamais la courbe, & lui fera par conféquent afymptote.

pe

Si l'on veut déterminer le point E, où la courbe coula circonférence du demi cercle, il n'y a qu'à faire pm=pk, c'est-à-dire, y = √zax—xx, & mettant cette valeur de y dans l'équation précedente, l'on en tirera x= a, c'elt-à-dire que le point E eft vis-à-vis le milieu de BD; & que par confequent l'arc ED, eft de 60 degrez.

EXEMPLE III.

Problême Indéterminé.

FIG.107.6.UNE ligne droite GH indéterminée de part & d'autre, & un point D hors de cette ligne, étant donnez de pofition fur un Plan, fi l'on ajufte l'axe AE d'une courbe quelconque FAM fur la ligne GH, & qu'on applique au point fixe D une regle DMF, indéfinie de part & d'autre du point D, qui en tournant faffe mouvoir la courbe FAM en pouffant de côté ou d'autre un point déterminé C de fon axe, le long de la

ligne GH, les interfections F & M de la regle DMF, avec la courbe FAM, décriront par ce mouvement deux autres courbes, ou deux parties d'une courbe KF & IM. L'on propofe de trouver des équations qui en expriment la nature.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, l'on menera du point D la ligne DE perpendiculaire à GH, ou à l'axe de la courbe FAM, & du point d'interfection M les lignes MP, MQ paralleles à DE & à AE: & ayant nommé les données DE, a; AC, b ; & les indéterminées EP, ou QM, x; EQ, ou PM, y; AP, z; CP fera, z-b; DQ, a —y ; & les triangles femblables DQM, MPC donneronta-y(DQ). x (QM) ::y (MP). z—b (PC), d'où l'on tire cette équation.

A. xy=az―yz-ab+by, qui eft une équation generale pour la courbe IM, telle que puiffe être la cour

be FAM.

Si l'on change les fignes des termes de l'équation A où y fe rencontre, l'on aura l'on aura ➡xy= az + yz — ab by, ou

=

B. xy-az-yz+ ab + by, qui eft une équation generale pour la courbe KF: car l'inconnue PM = y, de pofitive qu'elle étoit, devient negative FO, EP=x, devient EO, & AP devient AO. Ce qu'on peut aifément prouver en cherchant une équation dans cette fuppofition: car CO étant à prefent, b-; EC sera x+x-b; & les triangles femblables DEC, FOC donneront a (DE). x + z— b (EC) ::y (FO). b —z (CO), d'où l'on tire xy=— az ―yz✦ ab+by, qui est l'équaху

tion B.

༢.;

La nature de la courbe FAM étant donnée, l'on aura une équation qui exprimera la relation de fes coordonnées AP, ou Д0 (Z) & PM, ou OF, (y), d'où l'on tirera une valeur de que l'on fubftituera dans l'équation A, ou B ; & l'équation qui en résultera expriméra la nature de la courbe IM, ou KF, & en détermi nera le genre.

Soit par exemple la courbe FAM une Parabole du premier genre dont le parametre foit p, l'on aura (Art. 10.) p× AO, ou p × AP— FO2, ou PM2, ce qui est en termes algebriques pz=yy, d'où l'on tire z=, & mettant en la place de z dans les équations A & B fa va leur, l'on aura après avoir divisé par y

༢་

Ρ

L'équation C donne cette conftruction. Soit menée par un point quelconque Qpris fur DE la droite QM parallele

par

le point M fera à la courbe cherchée IM.
Ayant prolongé DE du côté de E vers S, & mené
un point quelconque R pris fur ES la droite RF parallele

à GH; l'équation D donnera RF =

DR X CA DR X OF

OF

P

& le point F fera à la courbe KF. Tout ceci eft évident par la feule inspection des équations C & D.

y=

Si l'on fait ya, l'équation C deviendra xo, ce qui fait voir que la courbe IM paffe par le point D; & fi l'on fait y = 0, l'équation C donnera x ——

ab

qui montre que HG prolongée à l'infini du côté de G, eft afymptote à la courbe IM, & s'en approche de plus en plus à l'infini, & l'équation D donne abb, qui montre que HG prolongée à l'infini du côté de H, est asymptote à la courbe KF

x=

L'on