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F16.106.5. UN angle droit ABH, & un point fixe A sur un de'fes

côtez, étant donnez de position sur un Plan, si l'on mene du point fixe A une ligne quelconque AG, qui rencontre le côté BH en G, & qu'on prenne GM=GB, il faut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe sur laquelle se trouve le point M , & tous ceux que l'on trouvera de la même maniere.

Ayant supposé le Problême résolu, on abbaissera du point M sur A B le perpendiculaire MP; & ayant nommé la donnée AB, a, & les indéterminées AP, *; PM,y; PB sera ,a

,a- *;& AM, Vxx+yy, & les triangles semblables APM, ABG donneront AP (*). PM(y):: AB(a). BG=

=( Hyp.) GM, & à cause des paralleles PM, BG, l'on aura x (AP). a — *(PB):: Vxx + yy (AM). «y

ax, XX

(GM, ou GB), d'où l'on tirey=+

qui est une

V 2ax — XX équation du troisiême degré :'car on auroit pû la diviser par x avant que d'extraire la racine , & la courbe par conséquent est du second genre.

Il seroit inutile de chercher une construction plus simple que celle qui est renfernyée dans l'énoncé du Probleme: car il est impossible d'en trouver de plus simples. Voi. cí celle que l'équation donne. '

Soit prolongée AB en D, en forre que BD=AB, & décrit un demi cerclé AKD sur le diametre AD. Ayant mené par un point quelconque P la droite PK parallele à BH, qui rencontrera le demi cercle en K, on prendra sur PK, PM quatriême proportionnelle à PK, AP , & PB , & le point M sera la courbe cherchée.

ax

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V20x

D E M O N S T R A TI O N. Par la construction, & à cause du demi cercle, vzax-xx (PK). (AP) :: a - *(PB). y(PM), d'où l'on tire y=+

C. Q.F. D. On voit par cette équation que la courbe passe des deux côtez de son axe AB, & que les parties qui sont de part & d'autre sont égales & semblables.

Si l'on fait x=0, l'on aura aussi y=0, ce qui montre que la courbe passe au point A , qui est par consequent le sommer de son axe ; & la construction précédente aussi bien que l'énoncé du Problême , font connoître qu'elle coupe au point A son axe AB à angles droits : car si l'on suppose le point P infiniment proche de A, les points K & M en seront aussi infiniment proches. Or puisque (const.) PK. AP::PB.PM , & que PM est pour ainsi dire nulle par raport à PB; AP sera par conséquent nulle par raport à PK ; & partant le point M est pour ainsi dire dans la perpendiculaire à AB menée par

A. Si l'on fait y=0, l'on aura x=a; d'où il suit que la courbe rencontre encore son axe au point B, puisque y y eft nulle. Mais outre cela , je dis qu'elle le coupe en faisant avec lui un angle de 45 degrez ; car si l'on suppose que le point P soit infiniment proche de B, le point K sera infiniment proche du point H milieu de la circonference du cercle AKD; c'est pourquoi PK sera égale à PA, & par consequent PB=PM à cause de l’Analogie précédente PK. AP :: PB.PM. Ainsi le petit triangle KPB sera rectangle & isoscele , & partant l'angle PBM sera demi droit. La même équation y +

fait voir

que AP = x peut devenir plus grande que AB=a, les valeurs de y deviennent imaginaires, ce qui fait voir

ax

V2ax

sans que

Еe iij

que la courbe passe au-delà de BH par raport à A, de forte que la partie M B se continue vers 1, & l'autre vers E. Mais parcequ'alors y devient negative de positive qu'elle

étoit, l'équation deviendra – y=+

ou y

V 2ax

V24x

Ainsi pour décrire les parties de la courbe qui font au-delà de BH par raport à A, ayant mené par un point quelconque p, la droite pk parallele & BH, s'on prendra pm quatrième proportionnelle à pk, PA , & pB, & le point m fera à la courbe cherchée.

Si l'on augmente x( AP ) jusqu'à ce qu'elle devienne = AD= 2a , l'équation deviendra y : +*, qui fait voir

que DF menée par D parallele à BH,& prolongée de part & d'autre à l'infini , ne rencontrera jamais la courbe, & lui sera par conséquent asymptote.

Si l'on veut déterminer le point E , où la courbe coupe la circonférence du demi cercle , il n'y a qu'à faire pm=pk, c'est-à-dire, y=Vzax xx, & mettant cette valeur de y dans l'équation précedente, l'on en tirera x= a, c’elt-à-dire que le point E est vis-a-vis le mi. . lieu de BD; & que par consequenţ l'arc ED , est de 60 degrez.

EXEMPLE III.
Problême Indéterminé.

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F16.107.6. UNE ligne droite GH indéterminée de part & d'autre,

& un point D hors de cette ligne , étant donnez de position sur un Plan, si l'on ajuste l'axe AE d'une courbe quelconque FAM sur la ligne GH, & qu'on applique au point fixe D une regle DMF, indéfinie de part & d'autre du point D, qui en tournant fasse mouvoir la courbe FAM en poussant de coté ou d'autre un point déterminé C de fon axe , le long de la

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ligne GH, les interfe&tions F & M de la regle DMF, avec la courbe FAM , décriront par ce mouvement deux autres cour. bes, ou deux parties d'ane courbe KF IM. L'on propose de trouver des équations qui en expriment la nature.

Ayant supposé le Problême résolu , l'on menera du point D la ligne DE perpendiculaire à GH, ou à l'axe de la courbe FĂM , & du point d'interse&ion M les lignes MP, MQ paralleles à DE & à AE : & ayant nommé les données DE, a; AC, b; & les indéterminées EP, ou QM , *; EQ , ou PM, Y; AP, 3; CP sera , 5-6; Dl, a-Y; & les triangles semblables DQM, MPC donneront a—y(DQ). *(QM)::Y(MP). 2-6(PC), d'où l'on tire cette équation. A.

xy=ax-y ab + by , qui est une équation generale pour la courbe IM, telle que puisse être la courbe FAM.

Si l'on change les signes des termes de l'équation A, où y se rencontre l'on aura - xy= ax + yż - ab by , ou

B. xy=-az-y2+ ab + by , qui est une équatiorf generale pour la courbe KF : car l'inconnue PM=y, de positive qu'elle étoit , devient negative FO, EP=x, devient EO, & AP=2 devient AV. Ce qu'on peut aisément prouver en cherchant une équation dans cette fupposition : car CO étant à present, b

EC sera *+-6;& les triangles semblables DEC, FOC donneront a ( DE ).*+2=6(EC) ::y(FO).6 X d'où l'on tire xy=-az-ya+ ab + by , qui est l'équation B.

La nature de la courbe FAM étant donnée, l'on aura une équation qui exprimera la relation de ses coordonnées AP, ou A0 (2) & PM , ou OF, (y), d'où l'on cirera une valeur de z que l'on substituera dans l'équation A , ou B ; & l'équation qui en résultera exprimera la nature de la courbe IM , ou KF, & en déterminera le genre.

Soit

par exemple la courbe FAM une Parabole du premier genre dont le parametre soit p, l'on aura ( Art. 10.) px A0, ou p* AP=FO’, ou PM', ce qui est en termes algebriques pe=yy, d'où l'on tire z=, & mettant en la place de z dans les équations A & B la van leur », l'on aura après avoir divisé par y

by - ab

&

P

C. x

ay — yy

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y

AC. DQXAC

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L'équation C donne cette construction. Soit menée par un point quelconque Q pris sur De la droite QM parallele à GH. Soit fait p. DQ:: QE.

DQX QE

& QE. DO::
P
DQX QE

DQ X AC
& ayant fait QM
QE

P

QE le point M sera à la courbe cherchée IM.

Ayant prolongé DE du côté de E vers S, & mené par un point quelconque R pris sur Es la droite RF parallele

DR X CA DR X OF à GH; l'équation D donnera RF=

P & le point F sera à la courbe KF. Tout ceci est évident par la seule inspection des équations C & D.

Si l'on fait y=a, l'équation C deviendra x=0, qui fait voir que la courbe IM passe par le point D; & li l'on fait y=0, l'équation C donnera x = 4 + 을

qui montre que HG prolongée à l'infini du côté de G, est asymptote à la courbe IM , & s'en approche de plus en plus à l'infini ; & l'équation D donne

- - •=*, qui montre que HG prolongée à l'infini du côté de H, est asymptote à la courbe KF.

L'on

OF

ce

ab

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