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L'on a construit ces équations en regardant y comme donnée, parce que fi on l'avoit regardée comme inconnue, & x comme donnée, la conftruction auroit été plus compofée, & auroit dépendu de la Geometrie folide: car l'équation auroit été du troifiême degré.

Mr Descartes a nommé * dans cette fuppofition, les cour-* Geom. bes IM & KF paraboloides.

7. Si la courbe FAM devient un angle rectiligne dont le fommet foit en A, la raison de AP à PM, ou de AO à OF fera conftante; qu'elle foit donc comme b à c (fi b exprime AC, c exprimera la parallele à DE menée de Cjufqu'à une des droites AM, ou AF), & l'on aura z. y :: b . c ; d'où l'on tire z=by: & mettant cette valeur de ༢. dans les équations A & B, l'on aura les deux fui

vantes,

cxy=aby — byy

༢.

abc + bcy, & -aby—byy+abc+bey, qui font deux équations à l'Hyperbole que l'on conftruira par les régles de l'Ar

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ticle 21, ou 22.

Liv. 3.

8. Mais en ce cas on peut avoir des équations bien plus fimples en fuivant les Obfervations de l'Art. 4. Soient menées du point fixe D les droites DE paralleles à AM, FIG. 108. qui rencontrera GH en E; DP parallèle à AF, qui rencontrera GH en 0 ; & des points d'interfection M & F, les droites MQ & FP paralleles à GH, qui rencontreront DE & DP en Q & en P; & ayant nommé les données DE, a; AC, b; DO, c; & les inconnues AE, ou MQ, x; AM ou EQ,y; AO ou FP, z; AF, ou OP. u; CE fera, b+x; DQ, a—y; CO, z-b; DP, c+u; & les triangles femblables DEC, DQM & DOC, DPF donneront, a (DE). b+x (EC) :: a—y (DQ)x(QM), ·& c (DO). z—b (OC) :: c+u (DP). z (PF), d'où l'on tire ces deux équations by + xy=ab, & zu—bu—bc, qui font à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes, & que l'on conftruira par les régles de l'Article 22.

9. Si la courbe FAM eft un cercle dont le centre foit FIG. Ff

109.

C, l'on aura en nommant les lignes comme on les a nommées no. 6. 2bz-=yy, d'où l'on tire z=b+Vbb-yy; & mettant cette valeur de z dans les deux équations générales, l'on en aura deux autres, dont l'on tirera les deux qui fuivent.

a-y X Vbbyy
y

༢.

E. x

&

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& par conféquent les courbes IM, KF, dont elles expriment la nature, font du troifiême genre.

Ces deux équations préfentent une conftruction assez fimple pour décrire par des points les deux courbes IM, & KF mais les interfections M & F du cercle FAM avec la régle mobile DMF, en donnent une encore plus simple: car ayant mené du point D une ligne quelconque DC, qui coupe GH en C, fi l'on fait CM & CF chacune égale à la donnée 6 ; les points M & F feront aux deux courbes IM & KF.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené des points M & F les droites MP, MQ, FO & FR paralleles à DE & à GH, les triangles femblables, MPC, DQM,& FOC, DRF donnent,

y (MP).√bb—yy( PC ) :: a—y (DQ). × (QM), & y (FO). √bb — yy (OC) : :a+y(DR).x (RF), d'où l'on tire les équations E & F. C. Q, F. D.

Les deux équations E & F font voir que les courbes IM & KF paffent de l'autre côté de leur axe DE par raport à C, & que leurs parties qui font des deux côtez de DE, font égales & femblables.

Si l'on fait y = o, l'on aura x = +, d'où l'on voit que GH prolongée de part & d'autre à l'infini, est afymptote aux deux courbes IM & KF.

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Si l'on fait x=o, l'équation E fe changera en ces deux fuivantes yy — 2ay + aa—=0, & bb — yyo, d'où l'on tire y = a,&y=+b; il fuit de la feconde y=+b, que les deux courbes IM & KF coupent l'axe DE en deux points I & K, qui font éloignez du point E de la grandeur du demi diametre CM. Il fuit de la premiere ya, que la courbe IM peut paffer par le point fixe D, ce qui arrive lorfque ba, & lorfque b furpaffe a avec cette difference, que lorfque ba, elle coupe coupe l'axe DE ay feul point D; & lorfque & surpasse a elle le coupe au point D, & en un autre point plus éloigné de E que le point D, de forte qu'elle fait en ce cas une efpece de noeud, & eft femblable à la courbe du Problême précédent, L'on auroit connu la même chose par le moyen de l'équation F.

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Nicomede auteur de cette courbe l'a nommée Concoïde, & le point D, le pole de la Concoïde.

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10. UN angle droit ABH, & un point fixe A, fur un de fes FIG. 110. côtez AB étant donnez, il faut trouver dans cet angle le point M, en forte qu'ayant mené du point A par M, la ligne AMG qui rencontre l'autre côté BH en G, & du même point M, la ligne MP parallele à BH, MG foit égale à AP.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, a; & les inconnues AP, ou (Hyp.) MG, ,y; BP sera, a — x ; AM √xx+yy; & l'on x; PM,y; aura à caufe des paralleles BG, PM, x(AP). √xx+yy (AM) :: a— x (PB). x ( MG), d'où l'on tire après

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équation du quatriême degré ; & par conféquent la cour

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