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l'on aura y

be dont elle exprime la nature , est du troisiême genre.

On voit par cette équation que la courbe a deux parties égales & semblables, l'une d'un côté de son axe AB, & l'autre de l'autre.

Si l'on fait y=0, l'on aura x=, d'où il suit que la courbe coupe AB par le milieu en C, & qu'elle ne la rencontre en aucun autre point; puisqu'on ne trouve qu'une seule valeur pour x. Si l'on fait x = 0,

; qui pourroit faire penser que la courbe passe aussi au point A , puisque y y devient nulle : mais on en est desabusé lorfqu'on fait x moindre qu’un į a, ou négative : car alors les valeurs de y deviennent imaginaires ; c'est pourquoi la courbe ne rencontre AB qu'au seul point C. Si l'on fait x = a l'on aura y =

+6, ce qui fait voir

que la ligne BH prolongée de part & d'autre à l'infini , est asymptote à la courbe.

Si l'on suppose que x surpasse a , ce qui est possible ; le dénominateur a — x du membre fractionnaire de l'équation, deviendra une quantité négative ; c'est pourquoi les valeurs positives de y deviendront négatives , & les négatives deviendront positives; mais pour les laisser dans l'état où elles sont, il n'y a qu'à changer les signes du dé

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xV2ax - aa, d'où

nominateur 2 — *

-*, & l'on aura y=+ l'on voit que la courbe a encore deux parties qui sont au-delà de l'asymptote BH, dans les deux angles HBD, IBD faits par le prolongement BD de l'axe AB, & par la ligne HBI; que ces deux parties ont encore pour asymptote la ligne HBI: car si l'on fait dans la derniere équarion x=,

l'on aura y=+*, & que ces deux mêmes parties ne rencontrent point la ligne BD prolongée : car rien n'empêche d'augmenter x à l'infini , sans que les raci. nes de y deviennent nulles où imaginaires, ce qu'on a déja remarqué en faisanty=o. Les deux équations préceden

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construction. Soit 2ax — aa=72, qui est une équation à la Parabole , qui étant construite suivant les régles de l’Art. 19, aura pour sommer le point C, & pour axe la ligne CD. Ayant mené d'un point quelconque P pris sur CD, une ligne PK parallele à BH, qui rencontrera la Parabole en K, soit prise PM quatriême proportionnelle à BP, PA, & PK, & le point M sera à la courbe cherchée.

à

De' M O N S T R A T 1 o N. Elle est claire par l'équation precedente.

Cette construction, & s'équation à la courbe, font voir .que les deux parties de la courbe qui sont dans les angles HBD, IBD ne rencontrent point la Parabole CK:car lorsque le point P se trouve au-delà de B par raport A, BP est toujours moindre que PA.; & par consequent PK moindre que PM. On voit la même chose par l'équation: car si l'on fait l'appliquée PK de la Parabole égale à l'appliquée PM de la courbe, c'est-à-dire V2ax-aa=y, en mettant cette valeur de y dans l'équation à la courbé, l'on en tirera xa a, qui marque que ces deux appliquées ne peuvent être égales qu'en un seul point C, ou elles sont nulles, ou =0,& que par consequent la courbe ne rencontre la Parabole qu'au seul point C.

On voit aussi de ce que PB. PA:: PK. PM que plus le point P s'éloigne de B, allant vers D , plus les points K & M s'approchent l'un de l'autre ; de sorte que li l'on suppose le point P infiniment éloigné de B, PB sera pour ainsi dire égale à PA ; & partant aussi PK=PM, d'où il suit que la Parabole CK, & la courbe CMM, sont asymptotes l'une à l'autre.

{a,

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1

ad

Problême Indéterminé. 11. DÉCRIRE la Courbe dont la nature eft exprimée par l'équation suivante , qui est du quatrième degré, er or les deux inconnues xdy, font élevées au-dessus du second xi - ayxx + byyx+y=0.

En assignant à y une valeur arbitraire , on regardera cette équation comme une équation déterminée du quatriême degré, & formant, selon les regles de la Section précedente , une équation à la Parabole , par exemple az=xx ; & mettant dans l'équation précedente pour xx fa valeur

az,

l'on aura aaza - aayz + byyx.+cy?.

+byys try =0, ou myz

= 0, qui est une autre équation à la Parabole ;'on combinera ces deux équations à la Parabole pour avoir une équation au cercle; on constituera cette équation au cercle avec la premiere équation à la Parabole , qui est la plus simple, & les points d'intersection détermineront les valeurs de x correspondantes à celles

que

l'on aura aflignées à y, que l'on prend pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, & ayant appliqué ces valeurs de x, à l'endroit de l'axe où se termine la valeur assignée à y, l'on aura autant de points de la courbe cherchée que l'on aura trouvé de valeurs pour x positives & négatives ; & de certe maniere, en assignant successivement differentes valeurs à y, l'on aura differens points de la même courbe. Où l'on remarquera que

l'é. quation à la Parabole az=xx, ne renfermant point l'indéterminée y, la même Parabole servira toujours dans tous les changemens de valeurs que l'on assignera à y. Il n'y aura donc que le cercle dont la grandeur variera se. lon que l'on

augmentera , ou que l'on diminuera la va

leur de y.

par

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L'on s'est déterminé à prendre y pour donnée , quoi. que ses dimensions soient moindres que celles de x, ceque y a un second terme dans l'équation , & x n'en a point, outre que la construction est la même, soit que l'inconnue ait quatre dimensions, ou qu'elle n'en ait que trois.

Si les deux inconnues x & y avoient eu chacune un second terme, l'on auroit pris indifferemment l'une ou l'autre pour constante , & l'on auroit fait évanouir le second terme de celle que l'on auroit prise pour inconnue , afin de faire toujours servir le cercle dans la construction.

Si l'une des deux inconnues étoit élevée au-dessus du quatriême degré, on décriroit encore la courbe par le moyen de la Parabole & du cercle, si l'autre inconnue étoit du troisiême ou du quatrième : mais on la décriroit par

le

moyen du cercle seul, selon les regles de la Section seconde , si elle n'avoit qu'une ou deux dimensions, en prenant dans l'un & l'autre cas celle qui excéde le qua. triême degré pour constante.

Si dans une équation indéterminée , les deux inconnues excédent le quarriéme degré, le cercle ne pourra plus servir pour décrire la courbe ; il faudra alors former une équation à la premiere Parabole cubique , par le

moyen. d'une nouvelle inconnue , & de celle de l'équation dont on veut trouver les valeurs, c'est-à-dire , de celle

que

l'on ne prend point pour constante.

On substituerà dans l'équation proposée , en la place des troisième , sixiême, neuviême, &c. puissances de l'inconnue que l'on ne prend point pour constante , leurs valeurs tirées de l'équation à la Parabole cubique ; ce qui donnera une équation à une courbe qui servira avec l'équation à la Parabole cubique , à décrire la courbe dont l'équation proposée exprime la nature, comme on va voir par l'exemple qui suit.

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12.DÉCRIRE la courbe dont la nature est exprimée par l'équation suivante , qui est du sixième degré, & les in. connues x & y font toutes deux élevées au-dessus du quatrième.

x* + ayx* byy.x' + bcy'x + y'=0,

En prenant y pour constante, & la ligne qu'elle exprime pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire , l'on fera aaz – x?; donc àʻzz=x", & substituant dans l'équation proposée en la place de x•, & de x’ leurs valeurs a+kk, & aaz, I'on aura celle qui suit, a*22+ a'zyx — aabzyý + bcy? x+y=0, qui est une équation où l'inconnue x', n'a qu'une dimenfion ; & que l'on construira par conséquent par les régles de la Sedion seconde , & les intersections avec la Parabole cubique , que l'on décrira aussi par les mêmes régles puisque l'inconnue ༢)

, n'a aussi qu'une dimension, donneront des valeurs de x correspondantes à celles que l'on aura assignées à y. Il en est ainsi des autres équations plus composees.

Mais au reste de quelque genre que puisse être une courbe, il est rare que l'on ne puisse pas trouver une maniere de la décrire , plus simple que celle qu'on tire de son équation, en suivant les régles prescrites no. 2. & 3. ou autre

COROLLA I R E.

C 13. Il est clair qu'on peut construire les équations déterminées où l'inconnue est élevée au-dessus du quatriême degré comme on vient de dire , en formant une équation à la Parabole cubique avec une nouvelle inconnue, & celle de l'équation : car après les substitutions l'on pourra toujours avoir une équation à une courbe où l'inconnue de l'équation proposée n'excédera pas le second degré; & la courbe dont cette équation exprime la nature , & la

Parabole

ment.

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