EXEMPLE V I.

Problême Indéterminé.

12.DÉCRIRE la courbe dont la nature eft exprimée par l'équation fuivante, qui eft du fixième degré, & où les inconnues & y font toutes deux élevées au-dessus du quatrième. x° + ayxˆ — byyx3 + bcy3x+y' =0,

6

En prenant y pour conftante, & la ligne qu'elle exprime pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, l'on fera aaz = x3; donc aˆzz =x°, & substituant dans l'équation propofée en la place de x, & de x3 leurs valeurs az, & aaz, l'on aura celle qui fuit,

a*zz+a3zyx—aabzyy+bcy3x+y=0, qui est une équation où l'inconnue x, n'a qu'une dimenfion; & que l'on conftruira par conféquent par les régles de la Section seconde, & les intersections avec la Parabole cubique, que l'on décrira auffi par les mêmes régles puifque l'inconnue n'a auffi qu'une dimenfion, donneront des valeurs de x correfpondantes à celles que l'on aura affignées à y. Il en est ainfi des autres équations plus compofées.

Mais au refte de quelque genre que puiffe être une courbe, il eft rare que l'on ne puiffe pas trouver une maniere de la décrire, plus fimple que celle qu'on tire de fon équation, en fuivant les régles prefcrites no. 2. & 3. ou autre

ment.

COROLLAIRE.

13.IL eft clair qu'on peut conftruire les équations déterminées où l'inconnue eft élevée au-deffus du quatriême degré comme on vient de dire, en formant une équation à la Parabole cubique avec une nouvelle inconnue, & celle de l'équation: car après les fubftitutions l'on pourra toujours avoir une équation à une courbe où l'inconnue de l'équation propofée n'excédera pas le fecond degré, & la courbe dont cette équation exprime la nature, & la

Parabole

2

Parabole cubique étant décrites, leurs interfections détermineront les valeurs ou racines de l'inconnue de l'équation propofée. Il est pourtant certain qu'un Problême de cette nature fera toujours conftruit plus élégamment, lorfqu'ayant employé deux inconnues pour le réfoudre, on le conftruira avec les deux premieres équations dans lefquelles on fera tombé à la maniere. de ceux de la Section neuviême, comme on va voir par l'exemple qui fuit.

EXEMPLE

De la conftruction des Problèmes dont les équations déterminées
excédent le quatrième degré.
Problême.

14. UN angle droit ABH, & un point fixe A fur un de F16.11I.
fes côtez, étant donnez; il faut trouver au-dedans un point
M, d'où ayant abbaiffe fur AB la perpendiculaire MP, le
rectangle AP × PM, foit égal à AB; & qu'ayant mené du
point A par le mème point M la droite AMC qui rencontre
BH en C, AM foit égale à BC.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, a; & les inconnues AP, x ; PM,y; AM fera √xx+yy; & l'on aura par la premiere condition du Problême xyaa, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes.

A caufe des triangles semblables APM, ABC, l'on a, AP (x). PM (y) :: AB (a). BC= ( Hyp.)

=

&

√xx+yy=AM, ou en quarrant les deux membres,
multipliant par xx, aayy=x+xxyy, qui eft une équa-
tion à une courbe du troifiême genre, d'où faifant éva-
nouir y par le moyen de l'équation à l'Hyperbole xy=
aa, a ̊
l'on aura a = x+axx, qui eft une équation déter-
minée du fixième degré.

Pour la conftruire par le moyen de l'équation déterminée a°—x*+ a* xx, foit fait aaz=x', qui eft une équation à la premiere Parabole cubique; & mettant dans l'é

=

Gg

FIG. 112.

quation a® = x*+a* xx,en la place de x' sa valeur aaz, elle deviendra aaz+xx, qui est une équation au cercle. Soit préfentement F l'origine des inconnues des deux équations au cercle, & à la Parabole cubique, z qui va vers G, & x qui lui eft perpendiculaire, & va en haut. Si du point F pour centre & pour rayon AB = a, l'on décrit un cercle; & fur la même FG pour axe, dont le sommet est F, & le parametre a, la Parabole cubique KFN; elle coupera le cercle en deux points K & N, & la perpendiculaire NQ fera la valeur pofitive de x, & KÌ fa valeur négative qui fera égale à la pofitive, de forte FIG. III. qu'ayant fait AP=NQ, le point P fera un des points 112. cherchez.

DEMONSTRATION.

PAR la proprieté de la Parabole cubique (Art. 9. n°. 18.)
FQ_xaa =QN', ou en termes algebriques_aaz = x2,
qui montre que cette Parabole, n'est pas semblable à la
Parabole ordinaire, & que fes deux parties vont l'une
d'un côté, & l'autre de l'autre de l'axe FG d'un fens
contraire : car l'on tire de fon équation x = Vaaz, qui
fait voir que x, n'a qu'une seule valeur qui est positive:
mais fi l'on fait négative, l'on aura x3--
༢.
-aaz, où x
n'a qu'une feule valeur qui eft négative. Maintenant par
la proprieté du cercle, l'on a FI—FQ'=QN', ou en
termes algebriques aa — z=xx, ou aa—x′—aˆxx,
qui eft l'équation que l'on a conftruite. C. Q. F. D.

aa

11

6

Mais pour réfoudre entierement le Problême, il faut encore déterminer la grandeur de PM y; c'est pour=y; quoi reprenant l'équation à l'Hyperbole xy=aa, qui eft la plus fimple des deux premieres qu'on a trouvées, l'on en tirera y == qui eft une équation déterminée du premier degré à cause de x dont la valeur vient d'être trouvée ; c'eft pourquoi fi l'on prend PM troifiême proportionnelle à AP & à AB, le point M fera celui que l'on cherche,

x

On pourra auffi construire cette équation aa =x+a*xx par le moyen du cercle & de la Parabole ordinaire : car ayant fait afxx, l'équation déterminée deviendra a =f+aaf, en mettant pour xx fa valeur af, qui eft une équation du troifiême degré, que l'on conftruira par les régles de la Section neuviême; & après avoir trouvé par ce moyen la valeur de f, l'on aura celle de x= AP qui eft une moyenne proportionnelle entre a & f: cela fait, il faudra encore déterminer la grandeur de PM = y comme on vient de faire..

Pour conftruire préfentement le Problême avec les deux premieres équations xy=aa, & aayy=x++ xxyy ; l'origine des inconnues x & y, dans l'une & dans l'autre étant au point A, x allant vers B, & y parallele à BH; FIG. III. ayant fait BH=AB=a, & mené AS parallele à BH, l'on décrira par H entre les asymptotes AB, AS l'Hyperbole HM.

L'énoncé du Problême donne une defcription trèsfimple de la courbe AM dont l'équation aayy= x*+xxyy exprime la nature, & cette courbe coupera l'Hyperbole HM au point cherché M. La Démonstration en eft clai & l'on voit que cette conftruction réfout pleinement, naturellement, & très-élegamment le Problême.

re,

On pourroit regarder ce Problême, comme un Problême folide, puifqu'on l'a conftruit avec le cercle, & la Parabole ordinaire: mais on a jugé à propos de le faire fervir d'exemple pour la conftruction des Problêmes dont les équations excédent le quatrième degré.

Si on examine la nature de la courbe AM par le moyen de fon équation, l'on en tirera une description affez fimple; & l'on trouvera qu'elle touche fon axe AB au point A, & qu'elle a pour afymptote la droite BH, &c.

REMARQUES GENERALES Sur la conftruction des Problèmes déterminez & indéterminez, 15. LES Problêmes déterminez tels qu'ils puiffent être, ont toujours autant de folutions que les deux lignes, droi

tes ou courbes, qui fervent à les réfoudre, ont de points communs ou d'interfections; & fi ces deux lignes ne fe rencontrent point, le Problême fera impoffible.

On pourroit auffi fe fervir de l'équation à l'Hyperbole xyaa, au lieu de l'équation à la Parabole ay = xx, pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées, du troifiême & du quatrième degré, & de l'équation à l'Hyperbole cubique xxy=a', au lieu de l'équation à la Parabole cubique aay=x', pour construire les Problêmes déterminez dont les équations excédent le quatriême degré. Enfin les Problêmes déterminez construits de la maniere que nous avons propofée, feront toujours conftruits avec les courbes les plus fimples qu'ils le puiffent être.

1.6. Pour décrire les courbes du premier genre, on a réduit leurs équations à un certain état on n'a point fait la même chofe pour décrire celles des genres plus. compofez, parcequ'il y en a une trop grande quantité dans chaque genre. Il peut neanmoins arriver qu'en changeant l'origine, ou la pofition de leurs axes, ou ce qui revient au même, de leurs coordonnées, les équations en deviendront plus fimples; & par conféquent auffi leur construction. Or ces changemens fe font de la même maniere que ceux qui fe font par les réductions, comme on a vû dans toute l'étendue de la Section huitiême, en égalant une de leurs inconnues ou — une quantité con+ nue à une nouvelle inconnue, & fubftituant dans l'équation la valeur de l'inconnue que l'on en veut faire évanouir, ce qui donnera une équation dont la forme sera differente de la premiere. On peut faire la même chose fur l'autre inconnue.

On peut encore non-feulement changer l'origine des coordonnées : mais on peut auffi changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire tel angle qu'on voudra, comme l'on a fait en plufieurs endroits de la même Section huitiême.