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point A

Parabole cubique étant décrites, leurs intersections dé-
termineront les valeurs ou racines de l'inconnue de l'é-
quation proposée. Il est pourtant certain qu'un Problême
de cette nature sera toujours construit plus élégamment,
lorsqu'ayant employé deux inconnues pour le résoudre,
on le construira avec les deux premieres équations dans
lesquelles on sera tombé à la maniere de ceux de la Section
neuviême, comme on va voir par l'exemple qui suit.

E x E M P L E

E M
De la construktion des Problèmes dont les équations déterminées

excédent le quatrième degré.

Problême. 14. Un angle droit ABH , & un point fixe A sur un de F 16.111. fes côtez, étant donnez ; il faut trouver au-dedans un point M, d'où ayant abbaissé sur AB la perpendiculaire MP, le rectangle ÅP PM, soit égal à AB ; & qu'ayant mené du

par

le même point M la droite AMC qui rencontre BH en C, AM foit égale à BC.

Ayant supposé le Problême réfolu , & nommé la don-
née AB, a ; & les inconnues AP , *;.PM,y; AM sera
Vxx+yy; & l'on aura par la premiere condition du Pro-
blême xy=aa , qui est une équation à l'Hyperbole par
raport à ses asymptores.

A cause des triangles semblables APM , ABC, l'on
a, AP (*).PM(y) :: AB (a). BC=1=(Hyp:)
Vxx+yy=AM, ou en quarrant les deux membres , &
multipliant par xx , aayy =** + xxyy, qui est une équa-
tion à une courbe du troisiême genre, d'où faisant éva-
nouir
y par

le

moyen de l'équation à l'Hyperbole xy = l'on aura a'=x*+a*xx , qui est une équation déterminée du sixiéme degré.

Pour la construire par le moyen de l'équation déterminée aʻ=x' + a* xx , soit fait aaz=x", qui est une équacion à la premiere Parabole cubique ; & mettant dans l'é

Gg

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au,

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quation a'=x'+a*xx, en la place de x' la valeur

dan

elle deviendra aa=28+ xx, qui est une équation au cercle. Fig. 112.

Soit présentement F l'origine des inconnues des deux équations au cercle, & à la Parabole cubique, z qui va vers G , & x qui lui est perpendiculaire , & va en haut. Si du point F pour centre & pour rayon AB=a, l'on dé. crit un cercle ; & sur la même FG pour axe, dont le sommet est F, & le parametre a, la Parabole cubique KFN; elle coupera

le cercle en deux points K & N , & la perpendiculaire ne sera la valeur positive de x, & KL sa

valeur négative qui sera égale à la positive , de sorte Fig.111. qu'ayant fait AP=NQ, le point P sera un des points 112. cherchez.

D E' M O N S T R A TI O N.
PA r la proprieté de la Parabole cubique (Art. 9.no. 18.)
FQxaa = ON', ou en termes algebriques aaz= x

", qui montre que cette Parabole , n'est pas semblable à la Parabole ordinaire , & que ses deux parties vont l'une d'un côté , & l'autre de l'autre de l'axe FG d'un sens contraire : car l'on tire de son équation x= Vaaz, qui fait voir que x, n'a qu'une seule valeur qui est positive : mais si l'on fait x négative , l'on aura x=- aan

où x n'a, qu'une seule valeur qui est négative. Maintenant par la proprieté du cercle ,l'on a FI - FQ=QN , ou en terines algebriques aa -2=xx, ou ao — qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D.

Mais pour résoudre entierement le Probleme , il faut encore déterminer la grandeur de PM =y; c'est

pourquoi reprenant l'équation à l'Hyperbole xy=aa , qui eft la plus siinple des deux premieres qu’on a trouvées, l'on en tirera y qui est une équation déterminée du premier degré à cause de x dont la valeur vient d'être trouvée ; c'est pourquoi si l'on prend PM troisiême proportionnelle à AP & à AB, le point M sera celui que

3

aa

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l'on cherche.

)

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On pourra aussi construire cette équation a=x'+a*xx
par
le moyen

du cercle & de la Parabole ordinaire : car
ayant fait af=xx , l'équation déterminée deviendra à
=fi+aas, en mettant pour xx fa valeur as , qui est une
équation du troisiême degré , que l'on construira par les
régles de la Section neuviême ; & après avoir trouvé par
ce moyen la valeur de s, l'on aura celle de x= AP qui
est une moyenne proportionnelle entre a &/: cela fait ,
il faudra encore déterminer la grandeur de PM= Y
comme on vient de faire.

Pour construire présentement le Probleme avec les deux premieres équations xy=aa , & aayy=x++ xxyy ; l'origine des inconnues x &y, dans l'une & dans l'autre, étant au point A , * allant vers B , & y parallele à BH; Fig. III. ayant fait BH=AB=a, & mené AS parallele à BH, l'on décrira par H entre les asymptotes AB, AS l'Hyperbole HM.

L'énoncé du Problême donne une description trèssimple de la courbe AM dont l'équation aayy=x*+ **yy exprime la nature; & cette courbe coupera l’Hyperbole HM au point cherché M. La Démonstration en est clai. re, & l'on voit que cette construction résout pleinement, naturellement , & très-élegamment le Problême.

On pourroit regarder ce Problème, comme un Problê.
me solide , puisqu'on l'a construit avec le cercle, & la Pa-
rabole ordinaire : mais on a jugé à propos de le faire ser-
vir d'exemple pour la construction des Problêmes dont les
équations excédent le quatriême degré.

Si on examine la nature de la courbe AM par le moyen
de son équation, l'on en tirera une description assez sím-
ple; & l'on trouvera qu'elle touche son axe AB au point
A , & qu'elle a pour asymptote la droite BH, &c.
R E MARQUES

GEN ER A LES
Sur la construētion des Problèmes déterminez & indéterminez.
15. Les Problêmes déterminez tels qu'ils puissent être,
ont toujours autant de solutions que les deux lignes, droi.

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on a

tes ou courbes, qui servent à les résoudre, ont de points communs ou d'intersections; & fi ces deux lignes ne se rencontrent point, le Probleme sera impossible.

On pourroit aussi se servir de l'équation à l'Hyperbole xy =aa , au lieu de l'équation à la Parabole ay

ay = XX, pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées , du troisième & du quatriême degré , & de l'équation à l'Hyperbole cubique xxy =d', au lieu de l'équation à la Parabole cubique aay=x', pour construire les Problêmes déterminez donc les équations excédent le quatriême degré. Enfin les Problêmes déterminez construits de la maniere que nous avons proposée, seront toujours construits avec les courbes les plus simples qu'ils le puissent être.

16 Pour décrire les courbes du premier genre , réduit leurs équations à un certain état : on n'a point fait la même chose pour décrire celles des genres plus composez , parcequ'il y en a une trop grande quantité dans chaque genre.

Il peut neanmoins arriver qu'en changeant l'origine , ou la position de leurs axes , ou ce qui revient au même , de leurs coordonnées, les équations en deviendront plus simples ; & par conséquent aussi leur construction. Or ces changemens se font de la même maniere que ceux qui se font par les réductions, comme on a vû dans toute l'étendue de la Section huitiême , en égalant une de leurs inconnues + ou — une quantité connue à une nouvelle inconnue , & substituant dans l'équation la valeur de l'inconnue que l'on en veut faire évanouir , ce qui donnera une équation dont la forme sera differente de la premiere. On peut faire la même chose sur l'autre inconnue.

On peut encore non-seulement changer l'origine des coordonnées : mais on peut aussi changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire cel angle qu'on voudra, comme l'on a fait en plusieurs endroits de la même Section huitième.

fini ;

SECTION XII. Des Courbes méchaniques , ou transcendentes , de leur description, or des Problémes qu'on peut

construire par leur moyen. XXVI. Outes les Courbes geométriques ren

Tre

trent en elles. mêmes, ou s'étendent à l'inde maniere

que leurs axes, ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points , ce qui fait que les lettres indéterminées des équations qui en expriment la nature , ou, ce qui est la même chose, qui expriment la relation que leurs coordonnées ont en- . tr'elles, ont un nombre déterminé de dimensions , & qu'on peut par conséquent trouver tous les points de ces Courbes geométriquement, c'est-à-dire , par l'interse&ion de deux lignes geométriques droites, ou courbes.

Toutes les Courbes méchaniques rentrent aussi en ellesmêmes, ou s'étendent à l'infini : mais on ne peut point trouver d'équations qui expriment geométriquement la relation de leurs coordonnées : car il y a des Courbes méchaniques dont une des coordonnées est une ligne droite , & l'autre une ligne courbe dont la rectification est geométriquement impossible. Il y en a d'autres dont les coordonnées sont deux lignes courbes ; d'autres dont les appliquées partent toutes d'un même point, & d'autres qui sont figurées de maniere que leurs axes les rencontrent en une infinité de points ; d'où il suit qu'afin qu'une équation en pût exprimer la nature ; il faudroit qu'au moins une de ses inconnues eûc une infinité de dimentions, ce qui est impossible ; & c'est pour

cela

que ces Courbes sont aussi nommées transcendentes.

Il suit de tout ceci que l'on ne peut geométriquement trouver tous les points des Courbes méchaniques, puisque leurs équations n'en expriment que méchaniquement la nature.

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