FIG. 112. 6 quation a' =x® +a* xx, en la place de x' sa valeur fa aaz, elle deviendra aa=+xx, qui est une équation au cercle. Soit préfentement F l'origine des inconnues des deux équations au cercle, & à la Parabole cubique, z qui va vers G, & x qui lui eft perpendiculaire, & va en haut. Si du point F pour centre & pour rayon AB—a, ABa, l'on dé. crit un cercle; & fur la même FG pour axe, dont le fommet eft F, & le parametre a, la Parabole cubique KFN; elle coupera le cercle en deux points K & N, & la perpendiculaire NQ fera la valeur pofitive de x, & KL sa fa valeur négative qui fera égale à la pofitive, de forte FIG. 111. qu'ayant fait APNQ, le point P fera un des points 112. cherchez. DE'MONSTRATION. 3 PAR la proprieté de la Parabole cubique (Art. 9. n°. 18.) FQxaa = ON', ou en termes algebriques aaz — x3, qui montre que cette Parabole, n'eft pas femblable à la Parabole ordinaire, & que fes deux parties vont l'une d'un côté, & l'autre de l'autre de l'axe FG d'un fens contraire: car l'on tire de fon équation x Vaaz, qui fait voir que x, n'a qu'une feule valeur qui eft pofitive: mais fi l'on fait négative, l'on aura x3-aaz, où x n'a qu'une feule valeur qui eft négative. Maintenant par la proprieté du cercle,l'on a FI — FQ'⇒QN*, ou en termes algebriques aa-xx, ou a ·x® = a*xx, qui eft l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D. ༢. 6 6 Mais pour réfoudre entierement le Problême, il faut encore déterminer la grandeur de PMy; c'est pourquoi reprenant l'équation à l'Hyperbole xy=aa, qui eft la plus fimple des deux premieres qu'on a trouvées, aa l'on en tirera y == qui est une équation déterminée du premier degré à cause de x dont la valeur vient d'être trouvée; c'eft pourquoi fi l'on prend PM troifiême proportionnelle à AP & à AB, le point M fera celui que l'on cherche. par les On pourra auffi conftruire cette équation aa=x®+a*xx le du cercle & de la Parabole ordinaire : car par moyen ayant fait as=xx, l'équation déterminée deviendra a af =faaf, en mettant pour xx fa valeur af, qui eft une équation du troifiême degré, que l'on conftruira régles de la Section neuviême; & après avoir trouvé par ce moyen la valeur de /, l'on aura celle de x= AP qui eft une moyenne proportionnelle entre a &f: cela fait, il faudra encore déterminer la grandeur de PM=y comme on vient de faire. Pour conftruire préfentement le Problême avec les deux premieres équations xy=aa, & aayy=x++xxyy ; l'origine des inconnues x &y, dans l'une & dans l'autre étant au point A, x allant vers B, & y parallele à BH ; FIG. III. ayant fait BH=AB=a, & mené AS parallele à BH, l'on décrira par H entre les asymptotes AB, AS l'Hyperbole HM. L'énoncé du Problême donne une defcription trèsfimple de la courbe AM dont l'équation aayy= x*+xxyy exprime la nature, & cette courbe coupera l'Hyperbole HM au point cherché M. La Démonstration en eft claire, & l'on voit que cette conftruction réfout pleinement, naturellement, & très-élegamment le Problême. On pourroit regarder ce Problême, comme un Problême folide, puifqu'on l'a conftruit avec le cercle, & la Parabole ordinaire: mais on a jugé à propos de le faire servir d'exemple pour la construction des Problêmes dont les équations excédent le quatriême degré. Si on examine la nature de la courbe AM par le moyen de fon équation, l'on en tirera une defcription affez fimple; & l'on trouvera qu'elle touche fon axe AB au point A, & qu'elle a pour asymptote la droite BH, &c. REMARQUES GENERALES Sur la conftruction des Problèmes déterminez & indéterminez. 15. LES Problêmes déterminez tels qu'ils puiffent être, ont toujours autant de folutions que les deux lignes, droi tes ou courbes, qui fervent à les réfoudre, ont de points communs ou d'interfections; & fi ces deux lignes ne fe rencontrent point, le Problême fera impoffible. le On pourroit auffi fe fervir de l'équation à l'Hyperboxy=aa, au lieu de l'équation à la Parabole ay=xx, pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées, du troifiême & du quatrième degré, & de l'équation à l'Hyperbole cubique xxy =a', au lieu de l'équation à la Parabole cubique aay=x', pour conftruire les Problêmes déterminez dont les équations excédent le quatrième degré. Enfin les Problêmes déterminez conftruits de la maniere que nous avons propofée, feront toujours conftruits avec les courbes les plus fimples qu'ils le puiffent être. 16 Pour décrire les courbes. du premier genre, on a réduit leurs équations à un certain état : on n'a point fait la même chofe pour décrire celles des genres plus compofez, parcequ'il y en a une trop grande quantité dans chaque genre. Il peut neanmoins arriver qu'en changeant l'origine, ou la pofition de leurs axes ou ce qui revient au même, de leurs coordonnées, les équations en deviendront plus fimples; & par conféquent auffi leur construction. Or ces changemens fe font de la même maniere que ceux qui fe font par les réductions, comme on a vu dans toute l'étendue de la Section huitiême, en égalant une de leurs inconnues ou une quantité connue à une nouvelle inconnue, & fubftituant dans l'équation la valeur de l'inconnue que l'on en veut faire évanouir, ce qui donnera une équation dont la forme sera differente de la premiere. On peut faire la même chose fur l'autre inconnue. On peut encore non-feulement changer l'origine des coordonnées : mais on peut auffi changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire tel angle qu'on voudra, comme l'on a fait en plufieurs endroits de la même Section huitiême. Des Courbes méchaniques, ou tranfcendentes, de leur defcription, & des Problêmes qu'on peut conftruire par leur moyen. XXVI. OUTES les Courbes geométriques ren T trent en elles mêmes, ou s'étendent à l'in fini de maniere ; que leurs axes, ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points, ce qui fait que les lettres indéterminées des équations qui en expriment la nature, ou, ce qui eft la même chofe, qui expriment la relation que leurs coordonnées ont entr'elles ont un nombre déterminé de dimenfions, & qu'on peut par conféquent trouver tous les points de ces Courbes geométriquement, c'est-à-dire, par l'interfection de deux lignes geométriques droites, ou courbes. Toutes les Courbes méchaniques rentrent auffi en ellesmêmes, ou s'étendent à l'infini: mais on ne peut point trouver d'équations qui expriment geométriquement la relation de leurs coordonnées : car il y a des Courbes méchaniques dont une des coordonnées eft une ligne droite, & l'autre une ligne courbe dont là rectification eft geométriquement impoffible. Il y en a d'autres dont les coordonnées font deux lignes courbes; d'autres dont les appliquées partent toutes d'un même point, & d'autres qui font figurées de maniere que leurs axes des rencontrent en une infinité de points, d'où il fuit qu'afin qu'une équation en pût exprimer la nature; il faudroit qu'au moins une de fes inconnues eût une infinité de dimenfions, ce qui eft impoffible ; & c'eft pour cela que. ces Courbes font auffi nommées tranfcendentes. Il fuit de tout ceci que l'on ne peut géométriquement: trouver tous les points des Courbes méchaniques, puifque leurs équations n'en expriment que mechaniquement la nature. Gg iij 1 FIG. 113. Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne connoît que certaines proprietez, d'où l'on ne peut tirer d'équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à l'infini, en regardant les Courbes comme des Polygones d'une infinité de côtez, & en comparant les côtez d'un triangle infiniment petit, formé par une petite portion de la Courbe comprife entre deux appliquées infiniment proches, par la difference de ces deux appliquées ; & par la distance de l'une à l'autre, & que l'on regarde comme un triangle rectiligne, aux côtez d'un grand triangle formé par la tangente, ou la perpendiculaire, par l'appliquée, & par la foûtangente, ou par la foûperpendiculaire, & les équations que l'on tire de la comparaifon des côtez de ces deux triangles, font nommées équations différentielles, parce que les côtez du petit triangle font. les différences de la Courbe, des deux appliquées infiniment proches, & des deux abfciffes qui correfpondent à ces deux appliquées. On n'entreprend point ici de donner une Theorie complete des Courbes méchaniques; mais plutôt une fimple explication de celles qui fe rencontrent le plus ordinairement dans les Ouvrages des Geometres, & particulierement dans l'excellent Livre de l'Analyfe des Infiniment Petits de feu Monfieur le Marquis de l'Hôpital, où il fuppofe que fon Lecteur connoiffe toutes les Courbes dont il explique les plus belles proprietez. 1.SOJTun |