exemple en celle de CP, que la circonference entiere ABA sera à sa partie ABP: comme CA ou CP: à CM, ou (ayant nommé CA, a; ABA, c; ABP, x; CM, y ; } d'où l'on tire ax=cy.

c.x:: a.y,

Si l'on fuppofe que le rayon CA fafle encore un, ou plufieurs tours, le point décrivant parcourera pendant chaque tour, fur CA prolongée, des parties comme AE égales à CA, & la courbe fera autant de tours autour d'elle-même, que CA en aura fait ; & comme on peut fuppofer que le rayon CA faffe une infinité de tours; il fuit que la Courbe peut le rencontrer en une infinité de points; & que par conféquent elle eft méchanique, ou tranfcendente.

Archimede Auteur de cette Courbe l'a nommée 'Spirale. ‹ Pour la décrire, ayant divisé la circonférence ABA, & le demi diametre CA en un nombre égal de parties égales, & mené CP à quelqu'une des divifions, on portera de C en M autant de parties de CA, que ABP en contient, ou de P en M, autant de parties de CA que AFP en contient; & de l'une ou de l'autre maniere le point M fera à la Courbe CDM : car l'on aura toujours ABA. ABP :: CA. CM, ou ABA. AFP: CA. PM. On décrira de même le 2e tour, en portant fur le prolongement de CP autant de parties de CA que ABP en contient, & ainfi des autres, en décrivant pour chaque tour un cercle dont le rayon foit double, triple, &c. du rayon CA.

Si l'on fuppofe que le rayon CA, & le point décrivant, se meuvent avec des viteffes qui foient en telle raison qu'on voudra, c'est-à-dire, que ces viteffes foient telles que l'on ait toujours ABA ABP :: CA. CP", ou c". x" :: a". y", d'où l'on tirera a"x"="y", qui est une équation pour toutes les Spirales à l'infini.

m

!n

n m

Ce feroit la même chofe fi le rayon AC tournoit autour du point d'un fens contraire, de A par F vers P, pendant que le point mobile defcendroit de A vers C, en fuppofant les viteffes telles qu'on les vient de fuppofer:

car nommant AFP, x; & PM, y;
x ; & PM, y; l'on auroit encore
çTM.xTM :: a" .y", ou a"x"=c"y", qui eft l'équation pré-
cédente.

x"

Sim & n fignifient des nombres pofitifs, les fpirales feront nommées paraboliques; & fi l'une des deux fignifie un nombre négatif, elles feront nommées hyperboliques; parceque fic & x. exprimoient des lignes droites auffi-bien que a & y, ces équations appartiendroient à la Parabole dans le premier cas, à l'Hyperbole dans le second. Par exemple, fi m=1, & n = 2, l'on aura_aax= cyy. Si m =1, &n= I, l'on aura xy =ac. Si m = 2, & n = -I, l'on aura xxy=acc, &c. L'on décrira ces Courbes comme fi elles étoient geométriques, en fuppofant la quadrature du cercle.

FIG. 114. 2. SOIT un quart du cercle ADB, dont le centre est C, & les rayons CA & CB. Si l'on conçoit que le rayon CA fe meuve uniformement autour du centre C, jufqu'à ce qu'il arrive en CB, & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA, partant du point A, parcourre auffi uniformement le rayon AC, en demeurant parallele à CB; l'interfection M du rayon CA qui devient CD, & de la perpendiculaire PM, décrira une courbe AME, qui fera telle que ADB . AD :: AC. AP. Dioclés, fon Auteur, l'a nommée Quadratrice.

FIG. 115.

FIG. 114.

3. Si le rayon AC au lieu de fe mouvoir autour du centre C, fe mouvoit parallele à lui-même, de forte qu'étant parvenu dans une fituation quelconque DF, l'on ait toujours ADBAD :: AC. AP; l'interfection M de la parallele DF avec la perpendiculaire PM, décriroit la Courbe AMB, que Monfieur Tchirnhaufen a auffi nommée Quadratrice.

Si l'on nomme AC, a; ADB, c ; AD, x ; AP, y ; l'on 115. aura c.x::a.y; donc ax=cy, pour l'équation commune

à ces deux courbes.

PROPOSITION

PROPOSITION III.

4.SOIENT deux cercles AFB, ALI égaux ou inégaux, Fic. 116. qui fe touchent en A, dont les centres foient C & H, & les rayons CA, ou CB & HA: foit de plus un point fixe D, pris fur le rayon CB prolongé, ou non prolongé.

Si l'on fuppofe préfentement que le cercle AFB roule fur le cercle ALI, jusqu'à ce que le point B foit parvenu en T, le point D décrira par ce mouvement une portion de Courbe DMS, que l'on appelle demi Epicycloïde, ou

demi Roulette.

Pour trouver une équation qui renferme quelque proprieté de cette courbe, fuppofons que le demi cercle mobile AFB, foit parvenu en roulant dans la fituation KLP dont le centre foit 0, le point D sera alors en M, qui eft un des points de la courbe, & le point B fera en P. Ayant décrit du centre C par D le demi cercle DGE, du centre H par M l'arc MG, qui rencontrera la demi circonférence DGE en G, l'on menera du centre H du cercle immobile ALI, les droites HM, qui coupera en I le cercle ALI, HLO qui paffera par le point touchant L, & HG qui coupera l'arc ALI en R, & du centre C du demi cercle mobile AFB, la droite CG qui coupera

AFB en F.

Il est clair que les triangles HCG, HOM font égaux, & équiangles : car HC= HO, HG = HM, & CG = OM: c'eft pourquoi les angles CHG, OHM feront égaux, & partant l'arc RI—l'arc AL—(Hyp.) l'arc LK = ( à caufe de l'angle HOM=HCG ) l'arc FB.

Nommant donc les données CB, ou CF, ou ZO, &c. a; BD, ou MP, ou AE,b; HA, ou HI, &c, c; l'arc DG, x; l'arc MG & l'appliquée HM,2; CD fera, a+b; & les fecteurs semblables CDG, CBF, donneront

زاد

CD (a+b). CB (a) :: DG ( x ). BF =

& à cause des secteurs femblables HMĠ, HIR, l'on a

Hh

ax

(HM).c(HI) :y (HG). (IR), d'où l'on tire

a+b

5.IL eft clair que lorsque le point B, ou P touchera le cercle ALI en un point 7, larc ALT sera égal à la demi circonférence AFB, & le point décrivant D ou M fera fur le rayon HT en S, de forte que STBD.

COROLLAIRE I I.

6. SI le point décrivant D étoit entre C & B, le cercle DGE feroit intérieur au cercle AFB, & lorsque le point B, ou P feroit parvenu en T, le point décrivant D, ou M, ou, ce qui eft la même chofe, le point S de la Courbe feroit fur le rayon HT prolongé au-delà de 7 de la longueur de BD, & l'équation précedente deviendroit acy — bey = axz: car BD=b deviendroit négative de pofitive qu'on l'a fuppofée.

COROLLAIRE III. 7.SI le point D étoit en B, ou ce qui eft la même chofe, fi B devenoit le point décrivant, le cercle DGE se confondroit avec le cercle AFB, & le point S de la Courbe tomberoit en T, ou le point B toucheroit le cercle ALI ; & en ce cas DB➡b devenant nulle, ou ọ, l'équation deviendroit cy=xz

B.SI

8.

I l'on fuppofe que le point H s'éloigne infiniment de A dans la ligne AB, le cercle ALI deviendra une ligne droite perpendiculaire fur AB au point A; l'arc GM, une autre droite parallele à ALI; & les rayons AH & MH, deviendront infinis, & par conféquent paralleles & égaux, c'est pourquoi c fera égale à , & l'équation

précedente (no. 4.) fe changera en celle-ci ay+by=ax, en la divifant par les quantitez égales c & z, & faisant &, de nouveau les mêmes raifonnemens que l'on vient de faire dans les trois premiers Corollaires, l'équation du fecond deviendra ay—by—ax ; celle du troifiême deviendra y=x.

La Courbe DMS, est en ce cas nommée, demi Cycloïde ou demi Roulette à Bafe droite.

9.SI le cercle AFB au lieu de rouler, gliffoit fur la ligne AL droite, ou circulaire, en forte que le point touchant A parcourût d'un mouvement uniforme la ligne ALT AFB, pendant que le point décrivant D parcoureroit auffi d'un mouvement uniforme la demi circonférence DGE> <,ou=AFB, & en lui demeurant concentrique, il est clair il eft clair que la demi roulette décrite par ces mouvemens, feroit la même feroit la même que fi le cercle AF rouloit fur la ligne ALT.

temps

COROLLAIRE V I.

10. MAIS fi le point décrivant D employe plus de parcourir uniformement la demi circonférence DGE, que le point touchant A n'en employe à parcourir auffi uniformement ALT=AFB, la demi roulette fera nommée Alongée.

Si au contraire le point D employe moins de temps à parcourir DGE, que le point A n'en employe à parcourir AFB, la demi roulette sera nommée Accourcie.

ALT: =

COROLLAIRE VII. 11.SI le point touchant A, & le point décrivant D fe mouvoient avec des viteffes qui fuffent telles que les puiffances m des parties parcourues par le point A fur AL, & les puiffances n des parties parcourues dans des temps égaux par le point D fur la demi circonférence DEGY,