il fuffit d'avoir fait ici connoître le chemin qu'il a fallu tenir pour y arriver; on avertira feulement que les Tables de feu M. Ozanam, imprimées en 1685; font d'une exactitude furprenante; & que des gens fort habiles & fort exercées aux opérations aftronomiques, qui s'en fervent depuis trente ans, n'y ont jamais trouvé la moindre faute d'impreffion; auffi travailloit-il avec grand foin tout ce qu'il donnoit au Public, & fon nom fera toûjours honneur à la Souveraineté de Dombes, où il avoit pris naiffance. On n'ignore pas qu'il y a d'autres méthodes pour trouver les logarithmes, & qu'il y en a même de puifées dans les fpeculations de la plus fublime Geometrie ; mais il ne doit pas en être queftion dans un Traité purement élementaire. Il faut ajoûter ici la méthode de trouver le logarithme d'une fraction, & le logarithme d'un nombre entier auquel une fraction peut être jointe ; cela est aisé, après ce qui a été dit. Je veux trouver le logarithme de la fraction 3. 4 Puifque o eft le logarithme de l'unité ou de 1, & 3 4. qué le logarithme de foit moindre que o, c'eft-à-dire, qu'il foit un 4 nombre nié, autrement un nombre feint, qui est precedé du signe —; or cette fraction 3 4 n'eft au tre chofe que 3, divifé par 4; donc par la méthode ordinaire des logarithmes, il n'y a qu'à ôter du logarithme de 3, le logarithme de 4; c'eft-à-dire, de 4771212, ôter 6020600, il reftera-1249388 De même fi je veux trouver le logarithme de 9, je le réduis en une seule fraction, qui eft 39. 4 3 4 Du logarithme de 39 j'ôte le logarithme de 4 ; c'està-dire, de 1 5910646, fôte 60 20600, refte 9890046, qui eft nombre pofitif & logarithme Comme la conftruction des Tables eft d'un grand travail; les Tables des Logarithmes ne vont ordinaitement que depuis l'unité jufques au nombre 10000: mais il eft aifé de trouver dans le befoin le logarithme d'un nombre beaucoup plus grand; & la méthode en eft neceffaire pour avoir les logarithmes des finus & des tangentes, dont les nombres excedent de beaucoup le nombre 10000. Je veux avoir le logarithme de 3255682; cé nombre eft beaucoup plus grand que 10000, ainfi il n'est pas dans la Table des nombres. De ce nombre 3255682, je retranche 682, qui font les trois dernieres figures, afin qu'il me refte 3255, qui eft le plus grand nombre qui fe puiffe trouver dans la Table, en faifant le retranchement; car fi je ne retranchois que deux chiffres de la fin, il me resteroit 32556, qui eft plus grand que 10000; ainfi je ne puis en retrancher moins de trois. Je prens le logarithme de 3255, que je trouvé dans la Table 35125510. Si à ce logarithme je joins le logarithme du nombre 1000, j'aurai le logarithme d'un nombre mille fois plus grand que 3255; c'est-à-dire, que j'aurai le logarithme du nombre 3255000; c'eft une fuite bien elaire de ce qui a été expliqué. Je prens enfuite le logarithme de 3256, nombre plus grand d'une unité que le nombre 3255. Le logarithme de 3256 fe trouve dans la Table 351268443 j'y joins le logarithme de 1000, qui eft 30000000, la fomme eft 65126844, logarithme 3256000: J'ai donc le logarithme du nombre 3255000, qui eft 65125510; & celui du nomdre 3256000, je prens la différence des logarithmes, qui eft 1334, puis je fais une regle de proportion, & je dis: Si 1000, différence de 3255000, & 3256000 donnent 1334 pour différence des logarithmes; combien donneront les figures retranchées 682? vient le nombre 909, je l'ajoûte à 65125510, & j'ai 65126419, qui fera le logarithme cherché du nombre 3255682. Ce nombre dont nous venons de trouver le logarithme eft le finus d'un angle de 19 degrés, comme il eft marqué dans les Tables ordinaires; mais les perfonnes peu verfées dans ces calculs, feront étonnées que le logarithme de ce finus y foit marqué beaucoup plus grand que nous ne le trouvons ici; il faut leur en expliquer la raifon. Le finus de 19 degrés, qui eft marqué 3255682, fuppofe le raion de 10000000 ; & ce nombre eft fuffifant pour la conftruction de la Table des finus; mais pour les Tables de leurs logarithmes, on fuppofe un raïon mille fois plus grand, c'est-à-dire, de 10000000000 parties, afin d'avoir les logarithmes dans une plus grande précifion. - Par cette fuppofition dun raïon mille fois plus grand, le finus de 19 degrés devient auffi mille fois plus grand; c'eft-à-dire, 3555682, multiplié par 1000 or pour avoir le logarithme de ce produit, il faut, fuivant ce qui a été expliqué ci-def fus fus ajoûter le logarithme de 1000 au logarithme de 3555682; c'eft-à-dire, 30000000 à 6512649, & j'aurai 9512649, tel qu'il eft marqué dans la Table. Il faut encore avertir les Commençans de ne fe pas méprendre à la définition des logarithmes, qui pourroit les induire à erreur. En confiderant la Table, on trouve par exemple, Nombres. Logarithmes. On a défini les logarithmes, nombres 3435 2 7 3010300 4771212 en proportion arith 6020600 6989700 metique; or il eft vi- ces fix miques ne font pas en proportion arithmetique, puifque l'excès du fecond fur le premier, eft bien plus grand que l'excès du troifiéme fur le fecond. Il ne faut donc pas s'arrêter à cette feule partie de la définition, il y faut joindre la feconde : ce font véritablement des nombres en proportion arithmetique, mais correfpondans à des nombres qui font en proportion geometrique. Ainfi dans l'exemple que nous venons de choisir ; quoique le premier, le fecond, le troifiéme & le quatriéme logarithme ne foient point en proportion arithmetique; cependant le premier, le fecond, le troifiéme & le cinquiéme font en proportion arithmetique: car le premier eft moindre que le fecond de 1760912, comme le troifiéme eft moindre que le cinquième auffi de 1760912; & ces quatre nombres 3010300, 4771212, 6020600, 7781512 correfpondent aux quatre nombres 2, 3, 4, 6, qui font en proportion geometrique : d'où fuit, que fuivant la définition entendue comme elle doit l'être, ces quartre derniers nombres 2, 3, 4, 6 ont pour Jogarithmes 3010300, 4771212, 6020600, 7781512 qui font véritablement en proportion arithmetique, mais non pas en proportion continuë; non plus que les quatre nombres 2, 3, 4, 6 qui font en proportion geometrique, mais non pas en proportion continue. Car quoique 2 foit à 3, comme 4 eft à 6 geometriquement, 2 n'eft pas à 3 geometriquement, comme 3 eft à 4. J'ai vû des perfon nes affés avancées dans la connoiffance des Elemens, que cette difficulté, toute médiocre qu'elle eft, avoit embaraffé. Il n'eft pas inutile de faire obferver à ceux qui commencent à fe fervir des Tables, que les différences des logarithmes des premiers nombres font bien plus grandes que celles des logarithmes des der niers, ainfi qu'il eft facile de le remarquer. Le logarithme du nombre 3 eft 4771212; le lo garithmé du nombre 4 eft 6020600 : leur différen ce eft donc 1249388. Or le logarithme du nombre 9996, eft 39998262, & le logarithme du nombre 9997, qui ne furpaffe fon précedent que de l'unité, eft 39998697: la différence de ces deux derniers logarithmes eft 435, qui eft deux mille huit cens foixante & douze fois moindre que la différen ce des logarithmes de 3 & de 4. La pratique de la conftruction des Tables rend toute feule raifon de ces grandes inégalités : car Progreff. Progreff geometr. arithmet. I IO I 100 2 Entre 1 & 10, il faut trouver huit nombres intermédiaires, dont il faut que les logarithmes fe trouvent entre & 1. Entre 10 & 100, il en faut trouver 88, dont il faut que les logarithmes fe trouvent entre 1 & 2: ainfi la progreffion |