MB.

+pag:is.

qu'on n'en peut déterminer tel point qu'on voudra, & dont on aura befoin.

AVERTISSEMENT.

22. Avant M' Defcartes, on ne prenoit pour Geometrique que ce qui fe faifoit par le moyen du cercle, & de la ligne droite, & tout ce qui fe faifoit par d'autres courbes étoit reputé mechanique. Mais Mr Defcartes, & aprés lui tous les nouveaux Geometres, ont pris pour Geometrique, tout ce qui fe fait par le moyen des courbes Geometriques. Et les memes Auteurs ne prennent pour mechanique, que ce qui fe fait parle moyen des courbes méchaniques.

OBSERVATIONS Pourl' Application de l'Algebre à laGeometrie.

IV.

OICI les Remarques ou Obfervations dont on a parlé dans le premier Article, no. 8. pag:4. 1. Lorfqu'on veut réfoudre un Problême, il faut toujours employer deux lettres inconnues, pour nommer deux lignes indéterminées, qui ayent leur origine en un point fixe, & qui faffent toujours un angle constant, c'est-à-dire, que la ligne nommée par l'une des lettres inconnues croiffant ou diminuant; celle qui eft nommée par l'autre lettre inconnue, demeure toujours parallele à elle-même, ou à quelque ligne donnée. Ainfi, lorsqu'on FIG. 4. a nommé (art. 3. n°. 9) CP, x; & PM,y; l'on a eu égard à cette obfervation. Semblablement le demi cercle AMB étant donné, s'il étoit question de déterminer le point M fur fa circonference; ayant abbaissé la per pendiculaire MP, l'on pourroit nommer indifferamment AP, ou CP, ou BP, x; car les points A, C, & B font fixes, & PM, y. Et fi le Problême eft déterminé, on trouvera deuxéquations indéterminées; mais on n'en trouvera qu'une feule, s'il eft indéterminé.

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2. Si l'on employe plus de deux inconnues, il faut qu'il y en ait deux qui expriment des lignes, dont la

pofition foit telle qu'on vient de dire dans l'observation précedente; on placera enfuite les autres, comme on voudra. Mais on peut prefque toujours fe difpenfer d'en employer plus de deux, en exprimant les autres lignes inconnues, dont on a besoin, ou par la propriété du triangle rectangle, ou par celle des triangles femblables.

3. S'il y a un point donné B fur un des côtez AH F16, 3. d'un angle donné GAH; la droite BC perpendiculaire à AH, ou parallele à quelque ligne donnée de pofition, fera donnée de grandeur & de pofition; comme auffi les intervalles AB, AC ; & partant ces lignes peuvent être nommées par des lettres connues a, b, c. Mais fi le point B, eft cherché, les lignes AB, BC, AC seront indéterminées, ou variables: & l'on en pourra nommer deux AB & BC, ou AC & BC par deux lettres inconnues x, &y: car elles ont les qualitez requifes par la premiere Óbservation.

4. S'il y a un point donné D hors d'une ligne AB FIG. 5. donnée de pofition & de grandeur, la ligne DC perpendiculaire à AB, ou parallele à quelque ligne donnée de pofition, & les deux parties AC, CB, de la ligne AB feront auffi données de grandeur & de pofition. Mais fi le point D eft cherché, les lignes DC, AC, & CB seront variables, & l'on pourra nommer une des parties AC, de la donnée AB, x; CDy; & CB ( ayant nommé AB, a) fera a-x.

5. Un angle GAH, & un point B au dedans de cet FIG. 6.7. angle (Fig. 6), ou au dehors( Fig. 7) étant donnez de pofition; les paralleles BC,BD, ou leurs égales AC, AD, feront auffi données,& on les pourra nommer & b: mais fi le point B eft cherché, les paralleles AC, AD, feront inconnues, & on les pourra nommer x, &y.

6. Ce feroit la même chofe, fi le point B étoit donné FIG. S. ou cherché fur une courbe donnée HBG, dont AG, & AH font les deux axes, ou deux diametres conjuguez: mais le point B étant cherché, on pourroit nommer GC, & CB, ou HD, & DB, ou ( fi la courbe rencon

troit encore CG prolongée en un point F) FC, & CB, x & y.

7. Lorsqu'on détermine par une operation repetée, plufieurs points B fur un plan où il y a des lignes qui fervent à déterminer tous ces points, & qu'on veut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe fur laquelle les mêmes points fe doivent rencontrer, il faut toujours nommer par une lettre inconnue, quelque ligne; comme BC, qui part d'un des points B, & qui etant parallele à quelque ligne donnée AH, rencontre une autre ligne AG donnée de pofition en quelque point C& nommer par une autre lettre inconnue quelque partie de la ligne AG comprise entre le point variable C, & quelque point fixe A, ou G.

8. Un angle GAH, & un point fixe D hors de cet angle, étant donnez de pofition fur un plan; s'il s'agit de mener une ligne DEF par quelque point cherché E ou F fur un des côtez de cet angle, dans de certaines conditions, les parties AE, AF feront inconnues, & pourront être nommées x, &y: mais les paralles DB, DC, aux côtez AH, AG, ou leurs égales AC, AB feront données, & pourront être nommées,a,

b.

9. Si l'on eft obligé de tirer des lignes autrement que felon les regles contenues dans les Obfervations precedentes; on les tirera de maniere qu'elles forment plûtôt dans la figure, fur laquelle on opere, des triangles femblables, que des triangles rectangles: car les triangles femblables donnent des équations plus fimples que les triangles rectangles.

10. La proprieté du triangle rectangle, & des triangles femblables, donnent prefque toutes les équations dans lesquelles on tombe, en appliquant l'Algebre à la

Geometrie.

11. Les hypothenufes des triangles rectangles doivent toujours être exprimées par le moyen des deux côtez qui forment l'angle droit, à moins qu'elles ne foient données de grandeur. Ainfi les deux côtez étant nommez x

&

&y, l'hypothenuse sera √xx➡yy.

12. On ne doit jamais nommer les lignes égales, ou qui doivent être égales, par des lettres differentes.

13. S'il y a de la difficulté à employer, & à nommer des lignes qui femblent neceffaires à la refolution d'un Problème, on pourra employer en leur place d'autres lignes, pourvû qu'elles ayent entr'elles le même rapport. Par exemple, en fuppofant que BC, & DE soient paralleles, s'il s'agit d'employer AB, & BD; & que AC, & CE foient nommées; on pourra employer AC, & CE au lieu de AB, & BD; puisque AC. CE :: AB .BD.

14. On abrege le calcul, & on trouve souvent des équations plus fimples, en prenant pour l'origine des inconnues le point qui divife par le milieu une ligne donnée de grandeur : & l'on tombe par ce moyen dans un principe tres-connu, & qui eft fouvent d'un grand fecours dans l'Application de l'Algebre à tous les ufages. Le voici.

FIG. 3.

15. La moitié de la fomme de deux grandeurs, plus la moitié de leur difference est égale à la plus grande; & la moitié de la fomme de deux grandeurs, moins la moitié de leur difference eft égale à la plus petite. Ainfi, nommant la fomme 2 m, & la difference 2n; la ̧ plus grande fera m+n, & la plus petite m-n.

16. Il n'eft pas neceffaire de prendre tant de précautions, pour nommer les lignes de la figure fur laquelle on opere, quand il s'agit de démontrer un Theorême: car comme il n'y a point de lignes dont il foit neceffaire de déterminer la longueur, on les peut toutes nommer par telles lettres qu'on voudra, connues, ou incon nues : mais on doit toujours fuivre les regles précedentes pour tirer les lignes neceffaires.

On confidere neanmoins quelquefois les Theorêmes qu'on veut démontrer, comme des Problêmes à resoudre. Et en ce cas, on peut fuivre les principes précedens.

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AVERTISSEMENT.

Toutes ces Obfervations peuvent apporter beaucoup de facilité pour trouver des équations dans l'Application de P Alge bre à laGeometrie: mais la premiere & la feptiéme font les plus confiderables de toutes 3 car en fuivant ce qui y eft prefcrit, les Problèmes indéterminez, feront toujours refolus par la voye la plus fimple, ou plutôt par la feule voye naturelles c'est pourquoi fi en ce cas, on avoit employé plus de deux inconnues, il faudroit faire évanouir celles qui expriment des lignes dont la pofition n'eft point conforme à ce qui eft dit dans ces deux Obfervations. Mais parcequ'on ne peut pas conftruire tous les Problemes determinez par le moyen de deux équations indéterminées, pour les raifons que l'on a dites art. 3. n°. 175 on eft quelquefois obligé d'abandonner ces deux Obfervations. Voici à peu près ce qu'il y a à obferver, quand on les veut fuivre.

tout ce qui fuit,

17. Quand en résolvant un Problême avec deux incon-pag nues, fuivant la premiere Obfervation, on trouvera après cet aver, deux équations indéterminées; le Problême sera déterfement, ferois miné, & on le pourra conftruire avec ces deux équaentendre des tions, fi elles fe rapportent toutes deux à la ligne droite ou l'une à ligne droite, & l'autre au cercle, ou toutes Equation de deux au cercle; car il n'y a point de lignes plus simples termin Pro que la droite, & la circulaire.

blêmes deter, 18. Si l'une de ces deux équations indéterminées fe vide pag minés rapporte au cercle, & que l'autre foit du feconddegré, 19. qu'on il faudra faire évanouir l'une des deux inconnues, & vent refondre i l'équation déterminée qui en refulte, n'eft point Jenx é du premier, ou du fecond degré, on examinera fi elle ne par peut point être divifée par quelque binome compofé de quation In quelqu'un des divifeurs du dernier terme, & d'une puifdeterminées, fance du premier qui lui foit égale, pour la réduire, fi cela fe peut, à une équation determinée du fecond degré. Si par ce moyen on n'y réuffit point, il faudra, fi elle eft du quatrième degré, faire évanouir le second