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précedente (n°.4.) fe changera en celle-ci ay+by=ax, en la divifant par les quantitez égales c & z, & faisant de nouveau les mêmes raifonnemens que l'on vient de faire dans les trois premiers Corollaires, l'équation du fecond deviendra ay-by-ax ; celle du troifiême deviendra y=x.

La Courbe DMS, eft en ce cas nommée, demi Cyclode ou demi Roulette à Bafe droite.

COROLLAIRE V.

9. SI le cercle AFB au lieu de rouler, glissoit sur la ligne AL droite, ou circulaire, en forte que le point touchant A parcourût d'un mouvement uniforme la ligne ALT=AFB, pendant que le point décrivant D parcoureroit auffi d'un mouvement uniforme la demi circonférence DGE> <,ou=AFB & en lui demeurant concentrique, il eft clair que la demi roulette décrite par ces mouvemens, feroit la même que fi le cercle AF rouloit fur la ligne ALT.

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COROLLAIRE

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V I.

10. MAIS fi le point décrivant D employe plus de temps à parcourir uniformement la demi circonférence DGE, que le point touchant A n'en employe à parcourir aufli uniformement ALT AFB, la demi roulette fera nommée Alongée.

Si au contraire le point D employe moins de temps à parcourir DGE, que le point A n'en employe à parcourir ALT=AFB; la demi roulette fera nommée Accourcie.

COROLLAIRE VII.

II.SI le point touchant ▲, & le point décrivant D se mouvoient avec des viteffes qui fuffènt telles que les puiffances m des parties parcourues par le point A fur AL, & les puiffances n des parties parcourues dans des temps égaux par le point D fur la demi circonférence DEG,

<,ou=AFB, gardaffent entr'elles un raport conftant, l'on pourroit avoir par ces mouvemens non feulement toutes les roulettes dont on vient de parler: mais encore, une infinité d'autres de différens genres.

de tours

REMARQUE.

LES Roulettes & bâses droites, font toutes méchaniques car une ligne droite fe pouvant étendre à l'infini, le cercle mobile AFB, pourra faire une infinité ou gliffer fur cette ligne infinie AL pendant que le point décrivant D, parcourera une infinité de fois la circonférence du cercle concentrique DGE: mais lạ roulette décrite par le point D rencontrera à chaque tour, ou la ligne AL, ou une autre qui lui fera parallele, c'est pourquoi la ligne AL prolongée à l'infini, ou fa parallele, rencontrera en une infinité de points la Roulette DMS qui fera par conféquent méchanique.

Mais les Roulettes à bafes circulaires, ne font pas de même car lorfque les diametres du cercle immobile ALT, & du mobile ABF feront entr'eux, comme nombre à nombre, leurs circonférences feront auffi comme nombre à nombre; c'eft pourquoi le point décrivant D, retombera au même point S après une ou plufieurs révolutions, & fi le cercle mobile continue de rouler, ou de gliffer après ce tour au point S, le point D recommencera à décrire la même Roulette & partant un rayon HM tiré du centre H, la rencontrera en un certain nombre déterminé de points; alors la Roulette fera geométrique, & l'on pourra trouver une équation qui fervira à en déterminer tous les points geométriquement, comme on pourra voir dans un livre que Monfieur Nicole va donner au public fur toutes les efpéces de Roulettes, où il en expliquera très-fçavament toutes les propriétez.

Mais lorfque les diametres du cercle mobile, & du cercle immobile feront incommenfurables, le point décrivant ne retombera jamais dans un même point ; & en

faifant une infinité de tours autour du cercle immobile, il decrira une infinité de Roulettes qui ne feront neanmoins qu'une même Courbe; & partant un rayon tiré du centre du cercle immobile rencontrera cette Courbe en une infinité de points, & elle fera par conféquent méchanique.

PROPOSITION

A

PROBLEM E.

I V.

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13.IL faut décrire la courbe BM dont l'axe eft AP, une appliquée PM, & dont une des proprietez eft que la foutangente PT eft toujours égale à une ligne donnée KL.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & mené l'appli- FIG.117. quée pm infiniment proche de PM; la ligne MmT, menée par les points M, m infiniment proches, fera une tangente: car la courbe BM, étant regardée comme un polygone d'une infinité de côtez, Mm fera un de ces côtez. Or il eft clair que fi la courbe BM est toujours convexe d'un même côté, le petit côté Mm étant prolongé, ne la coupera point, & le prolongement MT fera par conféquent une tangente.

Ayant mené mR parallele à AP, RM sera la différence des deux appliquées infiniment proches PM & pm; c'est pourquoi on lui donnera le même nom qu'à PM, précédé de la lettre d, qui fignifiera différence, & l'on n'employera point dans la fuite la lettre d à d'autres ufages. Ainfi nommant l'appliquée PM,y; RM fera dy, c'est-à-dire, différence de y, de forte que la lettre d né fait que caractériser y, & n'eft l'expreffion d'aucune quantité : mais parce qu'il n'y a aucun point fixe fur AP, pour pouvoir nommer l'intervalle qui fe trouveroit entre ce point fixe, & le point P par une autre inconnue, x; on se contentera de nommer Pp, ou Rm, dx ; on nommera auffi la donnée KL, ou (Hyp.) PT, a: or le petit triangle MRm étant regardé comme rectiligne à caufe de l'infinie peti

teffe du petit côté Mm, sera semblable au triangle MPT ; c'eft pourquoi l'on aura dy (MR). dx ( Rm) :: y (MP). a (PT) d'où l'on tire ydx=ady, qui eft une équation différentielle.

FIG. 118.

14. Pour construire les courbes qui ont de telles équations, il faut 1°. Que l'une des différences avec fon inconnue, fi elle s'y rencontre foit dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, & que les deux différences foient dans le numérateur, fi l'équation eft fractionnaire ; selon cette régle l'équation précédente de

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y

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20. Qu'en multipliant ou divifant l'équation, s'il est néceffaire, par une quantité conftante, chaque membre foit un plan dont chaque différence foit un côtė. Ainsi aady deviendra adx = en multipliant

l'équation dx

ady

y

chaque membre par a.

me,

y

3°. On égalera chaque membre à une nouvelle inconnue, après l'avoir divifé par la différence qu'il renfer& l'on aura par ce moyen deux équations à deux courbes geométriques, ou une équation à la ligne droite & l'autre à une courbe. Ainfi de l'équation précédente, on tire a=, z, qui est une équation à la ligne droite, &

аа

y

=f, ou aa=yf, qui eft une équation à l'Hyperbole

par raport à fes afymptotes,

4°. Ayant mené deux lignes DQ, FP qui fe coupent à angles droits en A; on fuppofera que les quatre inconnues qui fe trouvent dans l'équation différentielle, & dans les deux équations que l'on en a tirées, ont leur origine commune au point d'interfection A, de maniere que les deux inconnues de chaque équation fe trouvent fur les deux lignes qui forment un même angle droit, c'est-à-dire, que fi l'on nomme AP,x ; & AQ,y; qui font les deux inconnues de l'équation différentielle précédente, il fau

dra néceffairement nommer AF,f; & AD, ; afin que les inconnues y & fde l'équation à l'Hyperbole, forment un même angle droit FAQ, &c.

5o. On décrira par les régles des Sections 8, ou 11. les deux courbes geométriques, chacune dans l'angle, dont les côtez font exprimez par les inconnues de fon équation. Ainfi dans cet Exemple, à caufe de l'équation aa=fy l'on décrira une Hyperbole N N dans l'angle FAQ, dont les côtez AQ, AF font nommez y & f, & à caufe de l'équation = a; ayant fait AD=a=z, l'on menera DS parallele à AP.

Avant que de venir à la construction des équations différentielles, l'on remarquera, 1o. Qu'elles n'appartiennent pas toutes à des courbes méchaniques; il y en a qui appartiennent à des courbes geométriques : mais l'art de les diftinguer dépend du calcul inégal que nous ne pouvons pas expliquer ici. 2°. Que les inconnues dont les différences fe trouvent dans une équation différentielle, expriment ou deux lignes droites, ou l'une exprime une ligne droite, & l'autre une ligne courbe, ce qui fait deux cas. La construction de l'équation de ce Problême, & celle de l'équation du Problême qui fuit, où toutes ces deux courbes font méchaniques, ferviront d'Exemples pour l'un & pour l'autre cas.

aady

15. Pour construire l'équation adx= l'on

- > y

pren. dra fur AQ=y un point quelconque B, & l'on menera par B la droite BC parallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en C, & le point B fera l'origine de la courbe qu'il faut décrire, & ayant pris fur 4Q un autre point quelconque Q, l'on menera par la droite ON parallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en N. Cela fait, on prendra fur DS le point i, tel qu'ayant mené VP parallele à AD, l'espace ADVP foit égal à l'efpace hyperbolique BCNQ; & le point M où les droites NO, VP, étant prolongées, fe couperont, fera à la courbe cherchée.

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