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precedente (no. 4.) se changera en celle-ci ay + by=ax, en la divisant par les quantitez égales c & 2, & faisant de nouveau les mêmes raisonnemens que l'on vient de faire dans les trois premiers Corollaires, l'équation du fecond deviendra ay — by=ax; celle du troisiême deviendra y=x.

La Courbe DMS, est en ce cas nommée , demi Cycložde ou demi Roulette à Base droite.

CORO L L AIRE 9. Si le cercle AF B au lieu de rouler , glissoit sur la ligne AL droite , ou circulaire , en sorte que le point touchant A parcourût d'un mouvement uniforme la ligne ALT=AFB, pendant que le point décrivant D parcoureroit aussi d'un mouvement uniforme la demi circonférence DGE, 3, ou=AFB , & en lui demeurant concentrique ; il est clair que la demi roulette décrite par ces mouvemens, seroit la même que si le cercle AF rouloit sur la ligne ALT. COROLLA I RE

VI. 10. Mais li le point décrivant D employe plus de temps

parcourir uniformement la demi circonférence DGE, que le point touchant A n'en employe à parcourir ausli uniformement ALT = AFB , la demi roulette fera nommée Alongée.

Si au contraire le point D employe moins de temps à parcourir DGE , que le point A n'en employe à parcourir ALT=AFB ; la demi roulette fera nommée Accourcie.

COROLLA IRE VII. 11.SI

I le point touchant A , & le point décrivant D se mouvoient avec des vitesses qui fussent telles que les puis. fances m des parties parcourues par le point A sur AL, & les puissances n des parties parcourues dans des temps égaux par le point D sur la demi circonférence DEG>,

à

<,ou= AFB, gardassent entr'elles un raport constant, l'on pourroit avoir par ces mouvemens non seulement toutes les roulettes dont on vient de parler: mais encore, une infinité d'autres de différens

genres.

REMARQUE. 12. Les Roulettes & bâses droites , sont toutes méchaniques : car une ligne droite se pouvant étendre à l'infini , le cercle mobile AFB, pourra faire une infinité de tours, ou glisser sur cette ligne infinie AL pendant que le point décrivant D, parcourera une infinité de fois la circonférence du cercle concentrique DGE : mais lạ roulette décrite par le point D rencontrera à chaque tour, ou la ligne AL, ou une autre qui lui sera parallele ; c'est pourquoi la ligne AL prolongée à l'infini', ou sa parallele , rencontrera en une infinité de points la Roulette DMS qui sera par conséquent méchanique.

Mais les Roulettes à bases circulaires , ne sont pas de même : car lorsque les diametres du cercle immobile ALT , & du mobile ABF seront entr'eux, comme nombre à nombre , leurs circonférences seront aussi comme nombre à nombre ; c'est pourquoi le point décrivant D, retombera au même point S après une ou plusieurs révolutions, & si le cercle mobile continue de rouler , ou de glisler après ce tour au point s, le point D recommencera à décrire la même Roulette & partant un rayon HM tiré du centre H , la rencontrera en un certain nombre déterminé de points; alors la Roulette sera geométrique, & l'on pourra trouver une équation qui servi. ra à en déterminer tous les points geométriquement comme on pourra voir dans un livre que Monsieur Nicole va donner au public sur toutes les especes de Rou. lettes, où il en expliquera très-fçavament toutes les propriétez.

Mais lorsque les diametres du cercle mobile , & du cercle immobile seront incommensurables , le point décrivant ne retombera jamais dans un même point ; & en

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faisant une infinité de tours autour du cercle immobile,
il decrira' une infinité de Roulettes qui ne seront nean-
moins qu'une même Courbe; &

partant un rayon tiré du
centre du cercle immobile rencontrera certe Courbe en
une infinité de points, & elle sera par conséquent mé.
chanique.

PROPOSITION I V.

A

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née

P R O B L E M E.
13. I _ faut décrire la courbe BM dont l'axe ejf AP, une ap-
pliquée PM, & dont une des proprietez est que la soûtangente
PT est toujours égale à une ligne donnée KL.

Ayant supposé le Problême résolu , & mené l'appli- F16,1171 quée pm infiniment proche de PM; la ligne MMT, me

par les points M,m infiniment proches, sera une tangente : car la courbe BM , étant regardée comme un pofygone d'une infinité de côtez, Mm sera un de ces côtez. Or il est clair que si la courbe BM est toujours convexe d'un même côté , le petit côté Mm étant prolongé, ne la coupera point , & le prolongement MT sera par conséquent une tangente.

Ayant mené mR parallele à AP, RM sera la différence des deux appliquées infiniment proches PM &pm; c'est pourquoi on lui donnera le même nom qu'à PM, précédé de la lettre d, qui signifiera différence , & l'on n'employe. ra point dans la suite la lettre d à d'autres usages. Ainsi nommant l'appliquée PM ,y; RM sera dy, c'est-à-dire, différence de y; de sorte que la lettre d ne fait que caractériser y , & n'est l'expression d'aucune quantité : mais parce qu'il n'y a aucun point fixe sur AP , pour pouvoir nommer l'intervalle qui se trouveroit entre ce point fixe, & le point P par une autre inconnue , * ; on se concen. tera de nommer Pp, ou Rm , dx; on nommera aussi la donnée KL, ou (Hyp.) PT ,a: or le petit triangle MRM étant regardé comme rectiligne à cause de l'infinie peti

tesse du petit côté Mm , sera semblable au triangle MPT c'est pourquoi l'on aura dy (MR). dx ( Rm)::y (MP).a (PT) d'où l'on tire ydx=ady , qui est une équation différentielle.

14. Pour construire les courbes qui ont de telles équations , il faut 1°. Que l'une des différences avec son inconnue , si elle s'y rencontre foit dans un des membres de l'équation , & l'autre dans l'autre , & que les deux différences soient dans le numérateur , si l'équation est fractionnaire ; selon cette régle l'équation précédente de vient dx

ady

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у

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par a.

20. Qu'en multipliant ou divisant l'équation , s'il est nécessaire , par une quantité constante , chaque membre foit un plan dont chaque différence soit un côtė. Ainsi ady

aady l'équation dx deviendra adx= en multipliant chaque membre

3o. On égalera chaque membre à une nouvelle inconnue, après l'avoir divisé par la différence qu'il renferme, & l'on aura par ce moyen deux équations à deux courbes geométriques, ou une équation à la ligne droite & l'autre à une courbe. Ainsi de l'équation précédente, on tire a=z, qui est une équation à la ligne droite, &

=S, ou aa=y, qui est une équation à l'Hyperbole

par raport à ses asymptotes, FIG. 118. 4o. Ayant mené deux lignes DQ, FP qui se coupent à

angles droits en A ; on supposera que les quatre inconnues qui se trouvent dans l'équation différentielle, & dans les deux équations que l'on en a tirées, ont leur origine commune au point d'intersection A, de maniere que les deux inconnues de chaque équation se trouvent sur les deux lignes qui forment un même angle droit , c'est-à-dire , que si l'on nomme AP, * ; & AQ,y ; qui sont les deux inconnues de l'équation différentielle précédente , il fau

ad

у

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da

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dra nécessairement nommer AF,/; & AD, X; afin que les inconnues y & sde l'équation à l'Hyperbole, forment un même angle droit FAQ, &c.

5o. On décrira par les régles des Sections 8, ou 11. les deux courbes geométriques , chacune dans l'angle, dont les côtez sont exprimez par les inconnues de son équation. Ainsi dans cet Exemple, à cause de l'équation

= sy l'on décrira une Hyperbole N N dans l'angle FAQ, dont les côtez AL, AF sont nommez y & s, & à cause de l'équation <= a; ayant fait AD=a=%, l'on menera DS parallele à AP.

Avant que de venir à la construction des équations différentielles , l'on remarquera,

1°. Qu'elles n'appartiennent pas toutes à des courbes méchaniques ; il y en a qui appartiennent à des courbes geométriques : mais l'arc de les distinguer dépend du calcul inégal que nous ne pouvons pas expliquer ici. 2o. Que les inconnues dont les différences se trouvent dans une équation différentielle, expriment ou deux lignes droites, ou l'une exprime une ligne droite , & l'autre une ligne courbe , ce qui fait deux cas. La construction de l'équation de ce Problême , & celle de l'équation du Problême qui suit , où toutes ces deux courbes sont méchaniques, serviront d’Exemples pour l'un & pour l'autre cas.

aady is. Pour construire l'équation adx dra sur AQ=y un point quelconque B , & l'on menera par B la droite BC parallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en C, & le point B sera l'origine de la courbe qu'il faut décrire ; & ayant pris sur AQ un autre point quelconque Q, l'on menera par e la droite en parallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en N. Cela fait , on prendra sur DS le point v , tel qu'ayant mené VP parallele à AD, l'espace ADV P soit égal à l'espace hyperbolique BCNQ; & le point M où les droites NQ,VP, étant prolongées, le couperont , sera à la courbe cherchée.

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l'on pren.

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y

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