-2 1:1, ou Z: x=-2Zx, & en general Z: xTM=mLx. Ax De même L: ax = La + Lx ; L: —— La+Lx—Ly; L: ax xx= La + x + Lx} L: aa La-x; L: axx xx= La+ X vt x2=2Lx+ La — x. Il n'eft pas plus difficile de changer les quantitez lo garithmiques en leurs nombres correfpondans: car il n'y a qu'à les élever à la puiffance exprimée par leurs loga rithmes, & multiplier celles qui font jointes par le figne Ainfi N: 3Lx +, & divifer par celles qui ont le figne( N. fignifie Nombre) x3, N:mLx=xTM ; N: La + Lx—Ly=**; N: 2Lx + La✦x—2La— 4**+*1 و Il en eft ainfi des autres. AA Parce que les logarithmes des quantitez égales, font auffi égaux ; il fuit qu'on peut changer les équations ordinaires en équations logarithmiques, & au contraire. Ainfi yy⇒aa—xx, qui eft une équation au cercle, fe change en celle-ci, 2Ly=La+x+La —x, qui eft une équation logarithmique. De même 2Zy➡ La+ Lx, qui est une équation logarithmique,fe change en celle-ci yyax qui eft une équation à la parabole.Il en eft ainfi des autres, PROPOSITION V. A PROBLEM E. 18. UN cercle APB, dont le centre eft C, étant donné, il faut F 16. 112, décrire la courbe AMD qui fait avec tous les rayons CMP, Cmp, un angle égal à un angle donné. Il eft clair que fi l'on fuppofe que le rayon Cp foit infiniment proche de CP, & qué l'on décrive du centre C, par m le petit arc mR, le petit triangle MKm pourra être regardé comme rectiligne; c'est pourquoi ayant mené du centre C, la droite CT perpendiculaire à CP, & prolongé le petit côté Mm jufqu'à ce que le prolongement rencontre CT en T: la droite MmT, qui fera une tangen te au point M, la perpendiculaire CT, qui fera la foûtangente, & la partie CM du rayon CP formeront le triangle rectangle MCT femblable au petit triangle MRm, & qui fera toujours semblable à lui-même, à caufe de l'angle CMm, ou CMT égal à un angle donné. Suppofons donc que le raport conftant de MC à CT foit comme m à n. Ayant nommé la donnée CA, ou CP, a; l'arc indéterminé AP,x; PM,y; Pp fera dx; MR, dy, & CM, a―y. Or à caufe des fećteurs femblables CPP, CRm, l'on aura CP (a). CM (a —y) :: Pp ( dx ). MR adx-ydx & à caufe des triangles femblables MRm, a MCT,l'on a MR (dy). RM( .CT aadx — zaydx →yydx; mais m. n :: a ady membre para-y, ou ( no. 14. ) ne cette conftruction. ady Ayant fuppofé m=z, qui est une équation à la ligne droite, &, =z, qui est une équation à l'Hyperbole, na a-y on prolongera CA en F, en forte que AF=m=z, l'on menera par A la droite GH perpendiculaire à CA, & ayant nommé AG, x, & AH, u; l'on conftruira l'Hyperbole HOS entre les afymptotesCA & CB parallele à AH. D'un point quelconque O pris fur l'Hyperbole, ayant mené OI parallele à AH, l'on prendra für AG le point G, en forte qu'ayant mené GK parallele à AF, le rectangle AGKF foit égal à l'efpace Hyperbolique AIOH, & ayant fait l'arc AP AG, & mené le rayon CP, l'on décrira du centre C par I l'arc IM, qui coupera CP CP au point M qui fera à la courbe cherchée. DE'MONSTRATION. AYANT mené un rayon Cp infiniment proche de CP,quí, coupera la courbe au point midécrit du centre parm l'arc mL; mené Z2 parallèle à 70, fait Ag=Ap, & mené gk parallele à GK. Par la conftruction, l'efpace AgkF eft égal à l'efpace Hyperboliqué ALQH, & AGKF=AIOH; donc GgkK IL20: mais GgkK zdx = mdx, & nady; donc mdx: nady C. Q. F. D. IL 20=udy a -y COROLLAIRE I -y a 19. IL eft clair 1°. Que la courbe AMD ne passera point au centre C du cercle,puifqu'elle coupe tous les rayons à angles égaux. 2°. Qu'elle fera une infinité de tours autour du même centre: car lorfque AG fera égale à la circonference APBA, le point M de la courbe fera fur le rayon CA: & comme l'efpace Hyperbolique HACBS eft infini, avant que de l'avoir épuifé, il faudra prendre fur AG prolongée à l'infini, une infinité de fois APBA; c'eft pourquoi la courbe AMD rencontrera une infinité de fois le rayon CA, & fera par confequent une infinité de tours autour du centre C COROLLAIRE IT. 20. ON tire de l'équation que l'on vient de construire mdx.ndy: a. a-y; d'où il fuit que fi l'on prend dx pour conftante, ou ce qui revient au même, fi les parties AP croiffent également en devenant Ap, ou, croiffent en proportion arithmetique, les appliquées PM, ou CM, leront (n°.17.) en proportion geometrique, c'eft pourquoi cette courbe eft nommée Logarithmique Spirale. REMARQUE. 21. Si l'on changeoit l'équation précedente mdx — en celle-ci adx naady ma-my nady a-y en divifant par m, & en multi Fig. iis. pliant para, ou adx — andy, en fuppofant m=n; aprés naady ma -- may naady ma my aady Ou aady La conftruction de la courbe du Problême précedent ne dépend que de la quadrature de l'Hyperbole : mais celles des courbes de celui-ci dépend de la quadrature de l'Hyperbole, & de celle du cercle tout ensemble. 22. PROPOSITION V I. A PROBLEME. UN demi cercle ADB, dont le diametre eft AB, & le centre C, étant donné; il faut trouver un point M hors du demi cercle, d'où ayant abaiffe fur AB la perpendiculaire MP qui rencontrera la circonference ADB en D; la partie MD de la perpendiculaire MP foit égale à l'arc BD, & que le rectan gle BP x PM foit égal au quarré du demi diametre BC. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AC, ou CB, a ; & les indéterminées BP, x; PM,y; MD, ; l'arc BD, u; APfera, 2a — x ; x; l'on aura par la premiere condition du Problême, /=u, qui est (no. 8. ) une équation à la roulette à bafe droite, dont le point décrivant eft fur la circonference du cercle generateur; & par la feconde condition, l'on aura xy=aa, qui est une équation à l'Hyperbole par raport à fes alymp totes. Pour conftruite l'équation à la roulette =; ayant fuppofé que le point B de la circonference BDA, foit le point generateur, & mené AT perpendiculaire à AB, on fera rouler le demi cercle BDA fur la droite AT qui le touche en A, & le point B décrira par fon mouve ment la roulette BMT. Pour conftruire l'équation à l'Hyperbole xyaa, on menera le rayon CF parallele à AT, & l'on décrira (art. 14.) par le point F, l'Hyperbole FM qui coupera la roulette BMT au point cherche M. AYANT DEMONSTRATION. ANT mené par le point M la droite MP perpendiculaire à AB, fa partie MD, comprise entre le point M, & la circonference BDA, fera par la proprieté de la roulette égale à l'arc BD, ce qui eft en termes algebriques=u. Et par la proprieté de l'Hyperbole (art. 14.) le rectangle BP ×PM=BC', ce qui eft en termes algebriques› xy=aa. C. 2 F.D. REMARQUE. PARCE QUE la roulette BMT eft ( n°. 12) une cour be méchanique; il fuit que la conftruction de ce Problê me est auffi méchanique, quoique l'Hyperbole FM foit une courbe geometrique. L'on remarquera auffi que la conftruction des Proble mes méchaniques ne differe point de celle des Problêmes geometriques, lorfqu'on les conftruit par le moyen de deux équations indéterminées. L'on pourroit trouver une équation differentielle pour la roulette, & la décrire par les règles expliquées dans la Propofition quatrième : car ayant mené par le point p, pris infiniment proche de P, la droite pS parallele à PDM; par les points D & M les petites droites DR, MI paralleles à AB; MK parallele à DS, ou à la touchante en D du cercle BDA; & le rayon CD. En: |