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adx - ydx MCT , l'on a MR (dy). RM (

):: MC(a-y) aada zaydx + yydx , CT =

: mais m. n:: a -y (MC).

ady aadoc zaydx + yyda

(CT); donc n * a - y=mx adx

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aadx zaydx + yydə

aax ydx oun=mx

en divisant chaque ady

ady

na dy membre par a -y, ou ( no. 14.) mdx , qui don

Q - Y ne cette construction.

Ayant supposé m=x, qui est une équation à la ligne droite, & =u, qui est une équation à l'Hyperbole 3

4- y on prolongera CA en F, en sorte que AF=m=z, l'on menera par A la droite G H perpendiculaire à CA ,& ayant nommé AG , *,& AH, u ; l'on construira l’Hyperbole HOS entre les asympotes CA & CB parallele à AH. D'un point quelconque o pris sur l'Hyperbole, ayant mené oi parallele à AH ,lon prendra lur AG le point G, en sorte qu'ayant mené GK parallele à AF, le rectangle AGKF soit égal à l'espace Hyperbolique A10H, & aya ayant

fait l'arc AP=AG, & mené le rayon CP, l'on décrira du centre c par 1 l'arc IM , qui coupera CP ay point Al qui sera à la courbe cherchée.

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D E' MONSTRATION. A Yant mené un rayon Cp infiniment proche de CP , qui coupera la courbe au point m; décrit du centre C parm l'arcmi; mené LQ parallele à 10, fait Ag=Ap, & mené gk parallele à GK. Par la construction, l'espace AgkF

Įi iij

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est égal à l'espace Hyperbolique ALQH, & AGKF = A10H; donc GgkK ILQO: mais GgkK = zdx

nady = mdx, & ILLO=ady

donc mdx =

nady į

a — Y C. l. F. D.

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22. Il est clair 10. Que la courbe AMD ne passera point au centre C du cercle, puisqu'elle coupe tous les rayons à angles égaux. 2°. Qu'elle fera une infinité de tours autour du même centre: car lorsque AG fera égale à la circonférence APBA, le point M de la courbe sera sur le rayon CA: & comme l'espace Hyperbolique HACBS est infini , avant que

de l'avoir épuisé, il faudra prendre fur AG prolongée à l'infini , une infinité de fois APBA ; c'est pourquoi la courbe AMD rencontrera une infinité de fois le rayon CA, & fera par conséquent une infinité de tours autour du centre C.

COROLLA ÍRE I I.

23. ON tire de l'équation que l'on vient de construire mdx, ndy :: a. a -o; d'où il suit que fi l'on prend dx pour constante, ou ce qui revient au même, si les parties AP croissent également en devenant Ap, ou, croil. fent en proporcion arithmétique, les appliquées PM, ou CM, feront (no. 17.) en proportion geométrique ; c'est pourquoi cette courbe est nommée Zogarithmique Spirale.

R E MAR QUE. 14. Si l'on changeoit l'équation précédente mdx =

nady

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aady
tipliant par a, ou adx en supposant m=N;

4-y
après avoir construit l'Hyperbole selon l'une de ces deux
dernieres équations, on construiroit la courbe AMD
en prenant le secteur AC.P égal à la moitié de l'espace
hyperbolique HA10, & le cercle décrit de c par 1,
couperoit CP au point M qui seroit à la courbe AMD;
& certe courbe seroit encore une Spirale logarithmique,
qui auroit les mêmes propriétez que la précédente : cár
(Const.) le secteur' ACP={ AIQH, & ACp =
ALQH; donc PCp=iILQO: mais PCP = adx, &

naady
aady

naady
ILQO=

ou {

donc adx aady

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ma

- ту

та —ту

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La construction de la courbe du Problême précédent ne dépend que de la quadrature de l’Hyperbole : mais celle des courbes de celui-ci dépend de la quadrature de l'Hyperbole, & de celle du cercle tout ensemble.

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PRO B L'EM E. 25. Un demi cercle ADB, dont le diametre ejf AB, & FIG.12r. le centre C, étant donné ; il faut trouver un point M hors du demi cercle, d'où ayant abbaisé fur A B la perpendicu- , laire M P qui rencontrera la circonférence ADB en D; la partie MD de la perpendiculaire MP soit égale à l'arc BD, & que le rectangle BP * PM foit égal au quarré. du demi diametre B C.

Ayant supposé. le Problême résolu, & nommé la donnée Ac, ou CB, a; & les indéterminées BP; *; PM;

rateur ;

&

Y; MD, J; l'arc BD; U; A P sera za — x; l'on aura par la premiere condition du Problême, f='u, qui est (no. 8.) une équation à la roulette à bâse droite, dont de point décrivant est sur la circonférence du cercle géné

par

la seconde condition, l'on aura xy =aa, qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes.

Pour construire l’équation à la roulettes=u; ayant supposé que le point B de la circonférencé BDA, soit le point générateur , & mené AT perpendiculaire à AB, on fera rouler le demi cercle B D A sur la droite AT qui le touche en A , & le point B décrira

par

fon mouvement la roulette BMT.

Pour construire l'équation à l'Hyperbole xy = aa on menera le rayon CF parallele à' AT , & l'on décrira ( Art. 14.) par le point F, l'Hyperbole F M qui coupera la roulette BMT au point cherché M.

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pro.

AYANT mené par le point M la droite MP per: pendiculaire à Ā B , la partie MD, comprise entre le point M, & la circonférence BDA, sera

par

la prieté de la roulette égale à l'arc BD, ce qui est en termes algebriques [=u.

Et par la propriété de l'Hyperbole ( Art. 14. ) le rectangle B P PM=BC”, ce qui est en termes algebriques xy =da. C. Q. F. D.

RE MAR Q v E. PARCE QUE la roulette BMT est (no. 12. ) une courbe méchanique ; il suit que la construction de ce Problê. me est aussi méchanique, quoique l'Hyperbole F M soit une courbe geométrique.

L'on

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moyen de

A LA G Ε Ο Μ Ε Τ Α Ι Ε. L'on remarquera aussi que la construction des Problé. mes méchaniques ne differe point de celle des Problêmes, geométriques, lorsqu'on les construit par

le deux équations indéterminées.

L'on pourroit trouver une équation différentielle pour la roulette , & la décrire par les régles expliquées dans la Proposition quatriême : car ayant mené par le point Pe pris infiniment proche de P, la droite psm parallele à PDM , par les points D & M les petites droites DR, MI paralleles à AB; MK parallele à DS, ou à la touchante en D du cercle B DA; & le rayon CD. En nommant encore BP, X; PM,y; PD, 5; & DM, J; BD, «; PP, ou DR, ou M I sera dx ; RS, dz; IM, dy ; KM, d/; or puisque l'arc BD-DM, *& BS=Sm, l'on aura DS = Km, ou df=du.

A cause des paralleles DR, MI & DS, MK, les petits triangles DRS,MIK seront semblables & égaux; & partant RS = dx= IK; donc dy ( =IM=IK + Km=dz + df) = dz. + du, en mettant pour ds fa yaleur du.

Mais les triangles rectangles DRS, DPC étant semblables , puisque les angles RDS, PDC sont tous deux le complément de l'angle R DC; l'on aura DP (2). PC (a -- *)::DR (dx).RS= =dz,&DP(x).

ada

xdx

Z

ada

DC (4)::DR (dx).DS =

du ; mettant donc

dans l'équation précédente dy=dz + du, en la place de

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