& Ayant supposé le Problême résolu , l'on décrira da centre A, & du rayon AB, le cercle GBF, qui passera par le point D; puisque DC, est la difference des segmens B E, EC de l'hypothenuse BC; & ayant prolongé AC en G;GC sera = AB + AC; & FC= AC AB. Nommant donc les données AB, a; DC, 6; & l'inconnue CF, * ; AC sera a + *;.& GC, 2a + x; l'on aura à cause du cercle CD (6). CF (*) :: CG ( 22 + x). CB= 247 ***; donc à cause de l'angle droit BAC. DC = A B + AC, ou en termes Algebriques 4 aaxx+423 + axi + ** laa to 2ax + xx, ou en Ordonnant l'équation, ** + 4ax' + 4aaxx 2 abbx 2aabb = 0, qui est une bbxx équation du quatriéme degré ; & qui ne peut être divisée par aucun binome composé de l'inconnue & d'un des diviseurs du dernier terme : mais avant que de conclure quelle est la nature du Problême , il faut faire évanouir le second terme. Faisant donc x + a=%, l'on a x=-a;& mettant cette valeur de x dans l'équation en la place de x, & les puissances de cette valeur en la place des puissances semblables de x, cerce nouvelle équation et 2aakk + at=0; & com - bbz2 - aabb me le quatriéme terme est aussi évanoui , il suit il suit que le Problême est plan : car faisant ay = 2, l'équation se changera en celle-ci , aayy - 2a y +a* =0, ou yy = - abby aabb *aay+bby + abba3 l'on peut ramener à une des quatre formules précedentes , trouver par consequent la valeur de & chercher ensuite une moyenne proportionnelle & a, qui sera la valeur de x, d'où ayant ôte a, on aura celle de x qu'il faloit trouver. Mais ces fortes de constructions sont très-composées ; c'est pourquoi dans de pareils cas, il faut tâcher, en prenant d'autres voyes, ز l'on aura , que у. entre y X; tire x de trouver une équation du second degré, qui donneroit une construction beaucoup plus simple, plus élegante, & plus naturelle. Prenons donc B D pour l'inconnue ; & F 16. 31. l'ayant nommée BC sera b+ x; BE, į x; & EC, f x+b; & l'on aura à cause de l'angle droit B AC, BE ~ EC =* *x + bx = AE': & à cause du triangle rectangle AEB, l'on aura BE + AE=*xx+ 5 xx+ { bx = A B', qui se réduit à xx= bx + 2aa; d'où l'on 16+ V166+ 2aa, qui donne cette construction. D, étant le commencement de x qui va vers B, on Fig. 32: prendra sur CD=b, prolongée de part & d'autre, DG = 2a=1AB, & DH=a=AB, & ayant décrit sur le diametre GH, le demi cercle GRH, on élevera au point D la perpendiculaire DR, qui rencontrera la circonference en R. Et du centre Ò, milieu de DC=b, on décrira par R le demi cercle BRK qui coupera DG au point cherché B. De sorte que DB sera la valeur positive de x, & DK sa valeur negative; c'est pourquoi ayant décrit sur l'hypothénuse BC, le triangle rectangle BAC, dont le petit côté AB soit=a, le Problême sera résolu. DEMONSTRATION. Par la construction AB=a,& DC=b; il ne reste donc qu'à prouver que la perpendiculaire A E qui tombe de l'angle droit A sur l'hypothénuse BC, divise BD par le milieu en E. La proprieté du cercle donne BD x DK=DR' = GD DH; donc BD. GD ou 2 DH :: DH. DK, ou en prenant la moitié des consequens, BD. DH ou AB :: AB. DK; donc BD x { DK, ou { BD. * DK= AB'} donc DK, ou CB. AB :: AB. Į BD: Mais les triangles semblables CBA, ABE donnent CB. AB :: AB. BE; donc AB. BD :: AB. BE ; donc Į BD= BE. C. Q. F. D. PROBLEME PLAN. F 16.33. 14. Un quarré ABCD dont les cotez AB, AD sont pro longez étant donné ; il faut trouver sur l'un des prolongemens AĚ, le point E, en sorte que la ligne menée par E, par l'angle C, terminée par l'autre prolongement BF, soit égale à une autre ligne donnée KL, qui ne soit pas moindre que le double de la diagonale du quarró. Ayant supposé le Problême résolu, & nommé AD, ou A B, a; KL,6; & les inconnues A E, *; AF,y; DE sera, x-a; le triangle rectangle FA É donnera A E + AF=xx+yy=bb=(hyp.) EF', qui est une bbxx x*=**+ zaz? + {aaza + a'z + is a*, & mettant ces valeurs de x, de x', & de x* dans l'équation A, elle deviendra celle-ci. B. 2*+aack + a'z+ is at – Buzz + abox - aabb, où il n'y a point de second terme. de xx, Pour transformer presentement l'équation B en une équation du troisième degré, on se servira de ces deux équations: C." 22--f=. D." +ya+t=0, que je multiplie l'une par l'autre, pour avoir celle-ci: E. /— fyz - t= 0. qui est semblable à -yyatya + tz l'équation B. Mais pour abreger le calcul , j'égale les quantirez connues de chaque terme de l'équation B à de simples lettres connues; sçavoir, į aa—bb=p. a - aabb=4. De sorte que l'équation B devient celle-ci. F. ** + P2K+96+1=0. Je compare presentement les deux équations E & F, terme à terme , chacun à son correspondant ; ce qui me donne les trois équations suivantes : car les deux premiers termes ne donnent rien. G. tyy-f=p. - ty - sy=9. I. – ts=r. L'équation 1 donne /= = & mettant en la place de S, cette valeur dans les deux équations G & H, & multipliant ensuite part, l'on a les deux suivantes. K. it tyy +1=pt. tty + ry =qt. L'équation K donne tt =tyy + pt ', & mettant cette valeur de tt dans l'équation I, l'on a — ty' pty + zry=qt, d'ou l'on tire M.t= & y' + pytaj mettant cette valeur de t dans les équations H & I, l'on H. 1 L. 2ry - 2ryy yy — a aura les deux qui suivent, N. -sy=9,&0. good +py +9 d'où faisant évanouir l'inconnue f, ôtant you + pyta les fractions, & retranchant ce qui doit être retranché, l'on aura P. ° + 20y* + Dpyy — 99= 0, qui est l'équa. 4ryy tion transformée , & qui se rapporte au troisiême degré; & remettant à present dans l'équation P, en la place de Piq, &r leurs valeurs, l'on aura, lego + aay* + 6* yy - 2bby* — a*yy — 2a* bb = -aa 6* Si l'on tente presentement toutes les divisions de cette équation par les binomes qu'on peut former par le quarré de l'inconnue y, c'est-à-dire , par yy; ( car il n'est point ici necessaire de les tenter par aucun autre); & par quelqu'un des diviseurs Plans du dernier terme, l'on trouvera qu'elle se par celui-ci. R. yy - bb = 0; & le quotient sera S. y* + 2aayy + a* bbyy + aabb qui est une équation du second degré; & qui par consequent fait connoître que le Problème est Plan. Si l'on veut le résoudre sans chercher une autre équation du second degré: Voici la méthode qu'on doit suivre. 2fry L'on a déja l’equation 0. =r, d'où l'on you + py+9 tire T.S= Il ne s'agit plus que de chercher une valeur semblable de t; ce qui se fait en cette sorte. L'équation i donne t = , métrant donc cette valeur de + dans les deux équations G & H, l'on aura -r- syy —[=ps, & ry — ly = 91: & faisant évanouir le quarré -, l'on aura – 9 ry tas - fyy peut diviser аа 0. . 2y у |