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EG de 12. toises, l'on connoîtra aisément par le moyen de l'angle G de 54. le côté EF qui lui est opposé; en failant cette analogie. Comme le Sinus 68199 de l'angle de 43. degrez est à 12. toises cô té opposé , -ainsi 81915 Sinus de 54. degrez eft au côté EF. que je cherche , & qui se trouve ici de 14, toises, & prés d'un tiers. Il est bon de remarquer que dans les Corollaires précedents , aufli bien que dans celui-ci , lorsqu'on dit en analogie, comma le Sinus de cet angle là est à ce côte-ci, ainsi le Sinus de cet angle-ci est à ce côté-là; c'est la même chose

que

si l'on disoit li le Sinus de cet angle là m'a donné tant pour son côté opposé, que donnera cer angle-ci pour son côté opposé que je cherche. Ceci est comme vous voyez l'opération de la Regle de Trois.

je

PROPOSITION IV.

La fomme des deux côteze inégaux d'un Triangle qui

n'est pas équilateral, eft à leur difference, comme la Tangente de la maitié de la forme des deux angles opposez à ces deux côrez .inėgaux , est à la Tangente de la moitié de la difference des mêmes angles.

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E dis que des deux côtez inégaux AC, BC, du Plan

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comme la Tangente de la moitié de la somme des angles A, B opposez à ses deux côtez , est à la Tangente de la moitié de la difference des mêmes angles AB.

Décrivez de l'angle C, compris par les deux côtez AC, BC, dont il est question, par la pointe de l'un de leurs angles opposez A, B, comme par la pointe B, une circonference de Cercle EBDH.,

comme AC, de part & d'autre jusqu'à la circonfed rence du Cercle aux points D, E, & joignez les droites BD, BE, qui seront perpendiculaires entre elles ( par la 31. du 3. ) & alors on connoîtra aisément que AD est la somme des côtez AC, BC; à cause des deux lignes égales BC, CD, & que AE est la difference des mêmes côtez AG, BC, à cause des deux lignes égales BC, CE. Tirez encore du point E, la droite Ef parallele à la droite BD, & par conséquent perpendiculaire à la ligne BE (par la 29. du 1.) laquelle ligne EF rencontre le troisiéme côté AB prolongé en F. Décrivez encore du point E par le point B, l'arc de Cercle BG, qui ( par la 16. du 3. ) fera touché en B par la droite BD, laquelle par conséquent sera la Tangente de cer arc BG, ou de l'angle BED qu'il mesure, à l'égard du Sinus total EB : & du point B par le point E l'arc EI', qui ( par la 16. du 3. ) sera touchée en E, par la droite EF , laquelle par conséquent sera la Tangerte de l'arc El , ou de l'angle AEB qu'il mesure ; & alors on connoîtra ( par la 32. du 1.) que l'angle BCD, est la somme des deux angles A, B, & ( par la 20. du 3. ) que l'angle BED est la moitié de cette somme ; d'où il suit que la ligne BD est la Tangente de la moitié de la somme des angles A, B, à l'égard du rayon EB, on connoitra ausli ( par la 32. du 1 ) que l'angle À furpasse l'angle BED), du petit angle ABE, & que l'angle B

eft surpaflé par le même angle BED, ou BEČ son Plan- égal('par la s. du i ) du même petit angle ABE, che 2. & que par conséquent ce petit angle ÅBE est la Fig. 14. moitié de la difference des deux angles A, B, &

qu'ainsi la Tangente de la moitié de leur difference est Ef. Je dis donc que la somme des côtez AD, est à leur difference AE, comme la Tangente BD

gente EF de la moitié de leur difference.

Parce que les deux lignes DB , EF font paralleles ( par la Conftruction, les deux angles alternes BDE, DEF, seront égaux ( par la 29 du 1.) & parce que les deux angles opposez au sommet BAD, EAF, sont aussi égaux entr'eux (par

la

150 du 1. ) il s'ensuit (par la 32. du 1.) que les deux Triangles ABD, ABF sont équiangles ; & (par la

du 6. ) que les quatre lignes AD, AE, BD, EF sont proportionnelles. C. Q. F. D.

COROLL AIRE.

Il s'ensuit de là que fi deux côtez d'un Triangle scalene, font donnez , avec l'angle qui est enfermé

par

ses deux côtez, on trouvera les deux autres angles , & le troisiéme côté , par exemple. Au Triangle ABC, & le côté AB éçant de

45: toises, AC de 30. toises, & l'angle A qui est en- Planfermé

par fes deux côtez, de 9s.degrez l'angle C. che 2 sera trouvé de 52. degrez 53. minutes. Car en

Fig. 19 ộtant l'angle A qui eft connu de 180. degrez , reftera 85. degrez pour la somme des deux angles B, & C.

Or comme la fomme des deux côtez AB, AC, 75 toises , eft à leur difference is toises , ainsi 91633. Tangente de 42. degrez 30. minutes, moitié des deux angles B & C , eft à 18326. Tangente d'un autre angle, dont le plus grand angle C , surpasse cette moitié ; mais par les Tables on trouve que 18326. eft la Tangente de 10. 23. mia nutes. Si donc l'on ajoute 10. deg. 23. min. avec 42 degrez 30. minutes, moitié des deux angles, il viendra ś2. degrez $3. min. pour le plus grand angle C. D'où il s'ensuit que si l'on ôte ces 10 degrez 23. minutes, de 42. degrez 30. minutes,

il restera 32. degrez 7. minutes pour l'angle B.

Quant au côté BC, il sera trouvé de 36. toises i car comme 5 3164. Sinus de l'angle B est à son côté opposé 3 o. toises, ainsi 99619. Sinus de l'angle A, qui est le même que celui de son complement à deux droits , ou de 85. degrez est à son côté opposé BC, 56. toises.

PROPOSITION V.

che 2.

Si dans un Triangle qui ne soit pas équilateral, on

tire du plus grand angle fur la base une perpendi
culaire qui la divise en deux segments inégaux, il y
aura même raison de cette base à la somme des deux
autres côtezque de leur difference, à la difference

des segments. Plau

E dis

que li du plus grand angle C, du Triana

gle ABC, dont les deuz côtez AC, BC, font Fig. 17

inégaux, on tire sur la base AB, la perpendiculai-
re CF qui la divisera en deux segmenrs. aufli iné-

AF, BF: il y a même raison de la base AB
à la somme des deux autres côtez AC, BC, que
de leur difference à la difference des segments
AF, BP.

Décrivez coinme auparavant de l'angle C,à l'in-
tervalle de l'un des deux côtcz AC, BC, comme
du plus grand BC, une circonference de Cercle
BEGD;& prolongés l'autre côté AC, & la base AB,
jusqu'à la circonference du Cercle aux points D,
E, G, & vous aurez AD pour la somme des corez
AC, BC, à cause des lignes égales BC, CD :
AE pour la difference des mêmes cotez AC,BC,
à cause des lignes égales BC ; CE: & AG pour

la difference des leginents AFT; BF à cause des lignes

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la base AB eft à la somme des côtez AD, comme leur difference AE, est la difference AG, des segments.

Parce le rectangle sous les lignes AB, AG est égal au rectangle des lignes AD, AE( par

la

35. du 3.) il s'ensuit ( par la 14. du 6.) que les

quatre lignes AB, AD, AE, AG sont proportionnelles. C. Q. F. D.

COROLLA I R E.

Etant donc connus les côtez d'un Triangle sca- Planlene , pour connoître ses angles, il faut du plus che 2. grand angle abaisser une perpendiculaire sur la ba- Fig.19. se, & l'on trouvera les segments de la base , & la valeur de la perpendiculaire, & ensuite les angles du Triangle. Par exemple.

Au Triangle ABC, le côté AB étant 48. toises AC 26. & BC 54. du plus grand A étant abaissé la perpendiculaire AF, on trouvera FB 42. toises , & FC. 12. toises.

Car comme BC 54. toises eft BA, & AC 74. toises, ainsi BG 2 2. toises ( difference des deux cô. tez BA, AC) est à BE 30. toises & , ôtant donc BE de BC, reste EC 24. toises, & divisant EC en deux également par la perpendiculaire AF, FC, vaudra 12. toises, & BF 42. toises.

On connoît donc les Sections BF, FC, maintenant pour trouver les angles, voici comme il faut proceder.

Dautant qu'au Triangle rectangle AFB, la base AB, & le côté BF sont connus, on trouvera l'angle B de 28. deg. ( pår les Corollaires de la 1. & 2.) de même l'angle sera trouvé dans le Triangle rectangle AFC ; ce qui étant trouvé, le troi. liéme BAC eft aufli connu étant le complement

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