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E X E M P L E V. Theorême proposé en forme de Problême. 5.

Un cercle AEBF, dont le centre eft , & un diame- F16. 42. tre A B étant donnez; il faut trouver au dedans du cercle le point D, d'où ayant abaissé la perpendiculaire D I sur le diametre AB; es par ou ayant mené une droite quelconque EDF; ED DF + DIY foit=AI ~ I B. Ayant mené

par

D la droite GDH parallele à AB; puisque GD ~ DH= ED DF, on peut mettre GD * DH en la place de ED ~ DF; de sorte que le Problême se réduit à trouver le point D; en sorte que GD ~ DH + DI = AI X IB.

Ayant supposé le Problême résolu, mené CK parallele à ID, le rayon CH, & nommé les données CH, AC, ou CB, a; & les inconnues CI, ou KD, X; CK, ou ID, y; AI sera a - *; IB, a+x; KH, Vaa—yy; DH, Vaa—yy + x; DG, Vaa-yy — *, & les conditions du Problême donneront aa

yy - – xx (G D « DH)+ yy (DI')= aa — xx( A 1 x 1B) qui se réduit à o = 0. C'est pourquoi le Problême proposé est un Theorême, & comme il ne reste aucune ligne pour déterminer la sition du point D; il fuit que l'on peut prendre ce point par-tout où l'on voudra dans le cercle.

L'on auroit pû démontrer ce Theorême comme le précedent, & l'on pourroit aussi démontrer tous les Theore. mes, comme on a fait celui-ci, en les considerant comme des Problêmes.

po

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E X EMPLE VI.

Theorême.
6. LES parallelogrummes BD, CE, & les triangles ABC,
.
DCF qui ont même hauteur AG, font entr'eux comme leurs
bases BC, CF.

Ayant nommé BC, a; CF,b; & la hauteur AG, C;
l'on aura ac=au parallelogramme BD que je nomme,
x, & bc=au parallelogramme CE, que je nomme yi
faut démontrer que x(BD). y.(CE) :: a. b.

DEMONSTRATION.
PUISQUE x = ac, & y=bc, l'on a x.y :: ac. bc;
donc bex=acy, ou bx=ay; donc x.y::a.b.c. Q.F.D.
C'est la même chose pour les triangles.
EX EMPLE VII.

Theorême.
F 16.44.7.

7. Les triangles femblables ABC, DEF, font entr'eux
comme les quarrez de leurs côtex homologacs AB,

, DE.
Ayant nommé AB, a; BC,6; DE, C; EF,d; le triangle
ABC, *;& le triangle DEF,y; les produits ab(AB~ BC),
& cd ( DER BF) seront en même raison que les triangles
ABC, & DEF, ou x,&y; c'est pourquoi l'on aura ab.
cd :: x. y; donc cdx=aby : mais la ressemblance de ces
triangles donne a. ( A B) 6::(BC)::((DE)d.(EF);
donc ad=bc; donc d= b; & mettant certe valeur de
d dans la premiere équation, l'on aura became = aby , ou
ccx=aay; donc x.y:: aa .cc :: AB?. DEP. C. Q.F. D.

L'on démontrera de même, que tous les polygones semblables sont entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologues. Et comme les cercles sont aussi des polygones semblables d'une infinité de côtez, dont les

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diametres sont les côtez homologues ; il suit que les cercles sont entr'eux comme les quarrez de leurs diametres, ce que l'on démontre aussi facilement que pour les triangles semblables.

EX EMPLE VIII.

Theorême. 8. Les solides semblables sont entr'eux comme les cubes de leurs côtez homologues.

Soient deux Spheres AB. & CD, ayant nommé le F16.45 diametre AB de la Sphere AB, a; la circonference c; 46. le diametre CD de la Sphere CD,b; la circonference, d; la Sphere AB, *; & la Sphere CD, y. Il faut démontrer que x.y :: a', b'.

DE'MONSTRATION. LA Sphere AB est égale à ai, & la Sphere CD=body donc x. y:: betyder :: aac . bbd ;

donc bbdx = aacy: Mais les cercles étant des polygones semblables, leurs diametres sont comme leurs circonferences ; c'est pourquoi a. b::c.d; donc ad = bc

be; & partant d = bei mettant donc cette valeur de d dans la premiere équation, l'on a =aacy, ou b'x=dy;

donc *.y::a'. b'. C. Q. F.D.

On démontrera la même chose , & de la même maniere pour

les autres solides semblables.

b'ca

E X EMPLE

IX. Theorême. ES triangles ABC, DEF dont les bases B C, EF, & F1G. 47. les hauteurs AĞ, DH sont en raison reciproque , sont égaux.

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bd

donc x. 9

Ayant nommé BC, a; EF, b; AG,; DH, d; le
triangle ABC, *; & le triangle DEF,y; l'on aura le
triangle ABC= a = *, & le triangle DEF=
=y;

onbe:: ac. bd ; donc bdx = acy :
Mais ( Hyp) a. b::d. c; donc ac = bd;

c'est pourquoi la

premiere équation bdx acy devient x=y, ABC = DEF. C. Q. F. D.

On démontrera de la même maniere que les parallepi- . pedes, les prismes, les cilindres, les cones & les piramides, dont les bases & les hauteurs sont en raison reciproque, sont en raison d'égalité.

On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méchode de démontrer par l'Algebre les Théorèmes de Geometrie : car les quatre Sections suivantes, où l'on démontrera les proprietez les plus consýderables des Sections coniques, en fourniront un assez grand nombre.

ܐ ܐ

SECTION IV.
Des Sections du Cone @s du Çilindre.

DÉFINITIONS GÉNÉRALES.
F 16.48, IX. 1.

ON

N appelle Section Conique , une ligne courbe 49, So.

IDH, qui est la commune Section d'un Plan EDF, & de la superficie d'un Cone ABC, dont A est le sommet; & la base est un cercle dont le diametre eft BC.

2. Le triangle ABC est appellé le triangle par l'axe; parcequ'il est la commune Section du Cone & du Plan qui passe par le sommer A , & par le diametre BC de la base , & que l'axe du Cone, cît dans le Plan du même triangle A BC.

3.

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si

SUPPOSITION.
ON suppose que le Plan EDF, eft perpendiculaire
au Plan du triangle ABC,& que le plan du triangle
ABC, est perpendiculaire à la base du Cone.

COROLLA I R E.
4. D'où il suit que DG, qui est la commune Section
du Plan EDF, & du triangle A BC, est perpendiculaire
à EGF, qui est la commune Section du même Plan EDF,
& de la base du Cone ; & que la même EGF, est per-
pendiculaire à BC; & par consequent coupée ( Fig. 48
& so.) par le milieu en G; d'où l'on conclura aussi que
l'on mene par quelque point i de la ligne DG, une ligne
MN parallele à BC, & une autre ligne IH parallele à
EF; ces deux lignes MN,& IH, Teront dans un Plan
parallele à la base du Cone, dont la commune Section
avec la superficie du Cone, sera un cercle qui passera par
les points M,I, N, H, & dont le diametre sera MN,
qui coupera à angles droits, & par le milieu en 1, la
ligne IH.

Il suit aussi que le point D, qui est commun à la courbe IDH, & au côté A B du triangle ABC, est plus près du sommet A dans les suppositions précedentes, que tout autre point de la même courbe. DEFINITIONS EFND

PARTICULIERES. s. L A Section conique IDH, est nommée parabole , F 16.48. lorsque le Plan coupant E D F, est parallele à un des cô. tez AC du Cone ou du triangle ABC; DG est nommée l'axe de la parabole; D, fon sommet, DL, l'abcisse, ou la coupée; IL, ou LH, l'appliquée , ou l'ordonnée å l'axe.

6. La Section conique I DH, est appellée, ellipse , lorf. Fig. 49. que le Plan coupant EDF, coupe les deux côtez AB, Ac du Cone ou du triangle par l'axe, & n'est point pa. rallele à la base du Cone. La ligne Dd est nommée l'axe,

I

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