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Tera , fi vous voulez , partie d'un Meridien , qui étant continué , ira tomber en angles droits sur l'Equateur. Cet arc prolongé sera donc un quart de Cercle , puisque la distance qui est entre l'Equas teur & un de ses poles , est un quart de Cercle,

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Si l'arc d'un grand Cercle passe par le pole d'un autre. grand Cercle , cet autre palle réciproquement par le pole du premier.

Si vous prenez pour exemple l'arc. d'un grand Cercle qui sera partie d'une des colures , il palfera

par le pole de l'Equateur , & pareillement l'Equateur passe par le pole de ce colure , qui est un des points cardinaux.

THE OR EME V.

Les côtez d'un angle Spherique étant prolongez jusqu'à ce qu'ils se rencontrent, font des demi Cercles, l'angle qu'ils font en se rencontrant est égal à celui qu'ils faisoient auparavant.

Prenez pour exemple l'angle que fait l'Eclyptique avec l'Equateur , lorsque le Zodiaque eft oblique à l'horison rationnel, fi l'on prend une partie de chacun de ses deux Cercles vers un des points où ils se coupent , qui est un des points cardinaux, on aura un angle Spherique , dont les côtez étant prolongez, iront se rencontrer au point cardinal opposé. Cela étant on aura deux demi Cercles, puisqu'ils vont d'un point cardinal à l'autre, & par consequent deux angles égaux, puisque leur mesure commune se trouve sur le grand Cercle qui divise ces deux demi-ci en deux également.

celui sur lequel on mesure les degrez de distance de l'Eclyptique à l'Equateur.

THEOREME V I.

L'arc d'un grand Cercle tombant sur l'ato d'un autre grand Cercle , fait deux angles droits , ou deux angles égaux à deux droits.

Prenez encore pour exemple l'Equateur qui tombant sur un des colures , fait deux angles droits, le point angulaire étant un point cardinal, il fera deux angles droits, dis-je, puisque l'un de ses angles a pour mesure la distance qu'il y a d'un des poles au point où il coupe le colure, qui est un quart de Cercle ; & pareillement l'autre angle aura pour mesure la distance de ce même point à l'autre pole du monde qui est aussi un quart de Cercle. De mêm me quand l'Eclyptique est oblique , il fait un angle droit & un angle obtus avec l'orison rationnel, lesquels ont ensemble pour mesure un demi Cercle, qui est la distance d'un des poles du mons de à l'autre.

THE O R E ME VII.

Si deux arcs de grands Cercles s'entrecoupent, ils font les angles opposez au sommet égaux entr'eux.

Ce qu'on dit des arcs de Cercles, se peut dire des Cercles entiers ; ainsi considerez sur la Sphere l'Equateur & l'Eclyptique qui s'entrecoupans au pole de l’horison rationnel qui est un des points cardinaux, font des angles au sommet égaux, ce qui s'enrend de soi-même.

THEOREME VIII.

Si un Triangle Spherique est isocele , il a les
angles sur la base égaux entr'eux , & au contraire
s'il a les angles sur la base égaux entr'eux, il est
isocele.
Ceci est trop

clair
pour

mériter une démonstragion particuliere.

THEOREME IX.

Si de la pointe d'un Triangle Spherique comme pole, on décrit tant que l'on voudra des Cercles inégaux , les arcs de ces Cercles seront semblables.

Considerez la Sphere celeste , où un des poles du monde étant pris pour le point angulaire d'un angle Spherique , dont les côtez peuvent être pris sur deux meridiens , qui s'entrecouperoient à ce même pole ; il est aisé de voir qu'un Tropique , & un Polaire peuvent être considerez comme ayant été décrits du pole , & qu'ils sont coupez par les deux parties des meridiens qui forment un angle,& que les arcs de ces Cercles qu'ils renferment sont égaux, puisqu'ils renferment chacun un même noms

bre de degrez.

THEOREME X.

Chacun des deux angles obliques d'un Triangle Sphem rique rectangle est de même effection que

son

côté opposé.

E dis premierement que si le côté AC du Trian- Fig.--.

dre qu'un quart de Cercle , son angle opposé B est

Fig 22

Si l'on prolonge le côté AC jusqu'en D, en sorte que AD soit un quart de Cercle , & que par les deux points B, D, on fasse passer l'arc du grand Cercle BD, on connoîtra que puisque l'angle A est droit , & AD un quart de Cercle , le point D est le pole de l'arc AB, que par consequent l'angle ABDest droit. D'où il suit que l'angle ABC est aigu.

Je dis en second lieu que li le côté AC du Triangle Spherique ABC rectangle en A , est plus grand qu'un quart de Cercle , lon angle opposé B est obtus. Si l'on retranche du côté AC, le

quart

de Cercle AD , & que par les deux points B, D, on faffe passer l'arc de grand Cercle BD, on connoîtra comme auparavant que le point

le point D est le pole de l'arc AB, & que l'angle ABD est droit. D'où il suit

que l'angle ABC eft obtus. Enfin je dis que si le côté AC du même Triangle ABC est un quart de Cercle , son angle opposé B sera droit , parce que dans ce cas le point C sera le pole de l'arc AB, & l'angle B sera par conses

quent droit.

THEORE ME XI.

Siles deux côtez d'un Triangle Spherique rectangle,font

chacun aigu, ou chacun obtus, Phypotenuse sera moindre qu'un quart de Cercle ; et si l'un est aigu a l'autre obius, l'hypotenuse fera plus grande qu’un quart de Cercle.

ches.

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Plan

E dis premierement que si chacun de deux cô tig. 23

tez AC, BC, du Triangle Spherique ABC rectangle en B, est aigu, l'hypotenuse AC est moindre qu'un quart de Cercle.

F, jusqu'à ce que les arcs AD, BF loi.nt chacun un quart de Cercle , & faites passer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle LEF, qui coupe ici l'hypotenuse AC prolongée au point E.

Parce que l'angle B est droit, & que BF est un quart de Cercle, le point F fera le pole de l'arc AB, & l'angle D fera aussi droit, & parce que AD est aussi un quart de Cercle , le point A sera le pole de l'arc DE, & AE sera un quart de Cer

Plana cle', & l'hypotenuse AC fera par consequent moin- che 3. dre qu'un quart de Cercle.

Fig.3o. Je dis pareillement que si chacun des deux côtez AB, BC, du Triangle Spherique ABC rectangle en B, eft obtus , l'hypotenuse AC est moindre qu'un quart de Cercle. Retranchez des deux côrez AB, BC les

quarts de Cercle AD, BF, & faites passer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle DFE , qui qui étant prolongé rencontre ici l'hypotenuse AC, ausi prolongée au point E.

En lisant la démonstration précedente sur certe figure , on connoîtra comme auparavant , que l'arc AE est un quart de Cercle , & que par consequent l'hypocenuse AC est moindre qu'un quart de Cercle.

Je dis en second lieu que si le côté AB est obtus, Plana & le côté BC aigu , du Triangle Spherique ABC che 3. rectangle en B, l'hypotenuse est plus grande qu’un Fig.31. quart de Cercle. Ayant retranché du côté AB, le

quart

de Cercle AD, & prolongé l'autre côté BC en F, en forte que BF soit un quart de Cercle, faites passer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle DEF, qui coupent ici l'hypotenuse AČ, au point E.

En lisant pareillement la démonstration précedente sur cette figure, on connoîtra comme aupa

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