페이지 이미지
PDF
ePub
[ocr errors]

6 eft à 3,

ou

ou

Pour faire voir que cette admirable démonftration trouvée

par

Madame la Duchesse du Maine , ne laisse rien à desirer, & qu'elle revient à la démonstration generale que nous avons donnée par lettres , il n'y a qu'à nommer les quatre nombres qu'elle avoit choifis, & suivre la démonstration.

A B :: CD

2,4 :: 3,6
2 multiplié par 6, est à 2 , multiplié par 3, comme

AD, AC::D, C.
3 multiplié par 4, est à 3 multiplié par 2, comme
4 est à 2, ou CB, C ::B, M.
Or par la supposition, 4 est à 2, comme 6 est à

BA::D, C.
Donc 2 multiplié par 6, est à 2 multiplié par 3,
comme 3 multiplié par 4, à 2 multiplié par 3, ou

AD, AC, ou CA::CB, CA.
Donc 2 multiplié par 6, égal à 3, multiplié par 4,

AD CD.
Il suit de cette Proposition , que si quatre termes
quelconques sont tels, que le produit des Extrêmes
soit égal au produit des Moiens, ces quatre termes
seront proportionels; puisque ces deux produits,
comine AD, BC, auront necessairement même rap-
port à une grandeur qui sera BD, & en remon-
tant par degrés, la démonstration précédente, on
trouvera que

A, B::C, D.
Cela étant, quand une proportion me sera donnée,
je puis y faire tels changemens qu'il me plaira sans la
détruire, toutes les fois que je conserverai l'égalité
du produit des Moïens & des Extrêmes.

Ainsi, fi A, B ::C, D, il s'ensuivra que A, C
:: B, D, parce que les deux produits demeurent
necessairement les mêmes. Il a plû aux Geometres
d'appeller ce changement Alternando.

ou

[ocr errors]
[ocr errors]

Maintenant si l'on ajoûte le Consequent de la premiere Raison à fon Antecedent, pour comparer cette fomme au Consequent , & qu'on fasse la même chose à l'égard de la seconde Raison. C'est-à-dire, si aïant 1 , B :: C, D, l'on dit A + B, B :: C + D, D, il est aisé de voir que le produit des Extrêmes sera égal au produit des Moiens ; car le produit des Extrêmes est AD + BD; le produit des Moïens est CB + BD. Or il est visible que AD + BD=CD + BD, puisque AD,

est égal à BC, à cause de la premiere Proportion. Cela s'appelle Componendo. En nombres, fi 2,4:: ; 6, je dis que 2 +4,4:: 3 +6, 6. C'est-à-dire , 6 est à 4, comme 9 est à 6.

Que fi au lieu d'ajoûter les Confequents à leurs Antecedens , pour en faire la comparaison avec les Consequents, on les ôté des Antecedens, c'est-àdire , fi ajanit A, B :: C, D, l'on dit AB, B::(-D, D. L'on prouvera par le même raisonnement, que le produit des Extrêmes sera égal au produit des Moiens, & qu'ainsi la Proportion ne fera point blessée. Cela s'appelle Dividendo. En nombres, fi 9,4 :: 27, 12, je dis que 9 - 4, 4:: 27-12, 12. C'est-à-dire , 5

est à

4, comme 15 eft à iz.

Voila les changemens essentiels & les plus ordinaires qu'on fait dans la Proportion, car à proprement parler, ce n'est point en faire un, lorsqu'aiant la Proportion 2, 4:: 3,6, l'on dit 6, 3::4, 2, puisqu'on ne fait , que prendre les termes à rebours, qu'ils gardent le même ordre entre eux ; & qu'ainsi il n'y peut avoir aucun changement,

cela s'appelle

[ocr errors]

pourtant Invertendo.

De même, si l'on dit 3,6:: 2, 4, ce n'est pas un vrai changement, puisqu'on fait simplement

[ocr errors]

par

2,4

[ocr errors]

changer de place à deux Raisons égales pour les comparer. Cela s'appelle Permutando.

Il faut parler maintenant des Raisons composées.

Lorsqu’ažant deux Raisons , comme A, B l’une; & C, D l'autre; l'on multiplie les deux Antecedens Pun l'autre, & les deux Confequents aussi l'un par l'autre ; ces deux produits font une nouvelle Raison, comme AC, BD; c'est-à-dire, la grandeur A, multipliée par C, comparée avec la grandeur B, multipliée par D. Cette nouvelle Raison eft dite composée de la Raison de A, à B, de la Raison de C, à D. Exemple en nombres.

Premiere Raison,

Seconde Raison, 9,15 2, multiplié par 9, donne 18; 4, multiplié par 15, donne 60. La Raison de 18 à 60, est dite Raison composée de la Raison de 2 à 4, & de la Railon de 9 à 15.

Si les deux Raisons composantes sont égales, c'està-dire, fi elles constituent une Proportion; la Raifon composée est dite, Raison doublée de la premiere Raison. Par exemple, 2,4:16, 12. Je multiplie les deux Antecedens , vient 12, & les deux Consequents, vient 48; la Raison de 12 à 48, qui eft la Raison compofée de ces denx Raifons égales, est dite , Raison doublée de la Raison de 2 à 4, ou de la Raison de 6 à 12 , qui est son égale,

Il ne faut pas confondre la Raison double avec la Raison doublée : car par exemple, on dit que 4 est en Raison double de 2 ; c'est-à-dire, que 4 est double de 2, mais n'est pas en Raison doublée. On doit s'imprimer fortement toutes ces définitions dans l'esprit. - Il faut sur tout bien remarquer qu'une même Rai:

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

8,

200.

fon

peut être exprimée d'une infinité de manieres, Par exemple,

t. B.
AD BD.

ADC, BDC. C'est toûjours la même Raison A, B, puisque la Raison du produit À D, au produit B D, n'est autre chose que la Raison A, B, multipliée par la mêm me grandeur D; & de même la Raison ADC, BDČ, n'est autre chose que la Raison A, B, multipliée par le même produit ou même grandeur DC; en nombres.

4.

16. 32,

64

100, C'est toûjours la même Raison, étant visible que t'Antecedent est toûjours la moitié du Consequent dans ce dernier exemple, ou si vous voulés , la seconde Raison 2, 4, n'est autre chose que la premiere Raison 1 , 2, multipliée par une même grandeur, qui est 2 ; & de même la derniere Raifon 100, 2005 n'est autre chose que la premiere Raison 1, 2, mult tipliée par une même grandeur, qui eft 100.

Les plus petits termes qui expriment une Raison, ou si vous voulés, les plus simples termes d'une Raison , s'appellent les Exposans de la Raison. Par exemple, dans la Raison ci-dessus exprimée en lettres, A, B, en font les Exposans, & dans l'exemple en nombres, 1, 2, en sont les Expofans , & le seront toûjours, par quelque uombre que l'on puisse multiplier 1, 2, car la Raison de 10000, 20000, aura toûjours 1, 2, pour Exposans, & sera toûjours la Raison de 1 à 2.

On tire de là une consequence fort importante pour la suite ; sçavoir, que la Raison doublée d'une Rais

fon

[merged small][ocr errors][ocr errors][ocr errors]

son de nombre à nombre, a necessairement

pour Expofans des nombres quarrés.

Car aïant une Raison de nombre à nombre, comme 3, 6, si j'en veux avoir la Raison doublée, il faut que je mette à côté de celle-là, une Raison qui lui soit égale. Par exemple, 3,6::4, 8.

Puis multipliant les deux Antecedens l'un par lautre, & les deux Consequents pareillement, pour avoir la Raison doublée, il viendra la Raison 12, 48.

Réduisant cette Raison 12, 48, aux moindres termes, qui font 1, 4, & qui en sont par confequent les Exposans, on voit que ce sont deux nombres quarrés, cela ne peut jamais manquer d'arriver , dont voici la raison.

Je dispose les deux Raisons égales en Proportion,

3,6:14, 8. Je les réduits aux plus simples termes, 1, 2:11, 2. En cette derniere Proportion, il est évident que les deux Antecedens font le même nombre, & les deux Consequents aussi le même nombre. Si donc je multiplie les deux Antecedens l'un par l'autre, & les deux Confequents l'un par l'autre, pour avoir la Raison doublée, j'aurai necessairement deux nombres quarrés, puisque chacun de ces nombres sera le produit d'un nombre multiplié par fois même.

De cette consequence, j'en tire une autre , qui est le fondement des Incommensurables, comme nous le verrons dans la suite; sçavoir, que

Si l'on me donne une Raison doublée, qui n'ait pas pour Expofans des nombres quarrés, la Raison dont elle est doublée , n'est pas Raison de nombre à nombre.

quitter ces réflexions générales fuis les Proportions, il est bon de considerer que ce que

E

[ocr errors][ocr errors]

Avant que

« 이전계속 »