De même, A C même Raison, F H font égales entré elles; donc la Raifon des deux premieres inclinées AB, EF, eft égale à la Raifon des deux autres CD, GH, ce qui fait leur Proportion. TROISIEME PROPOSITION. Si un même Angle a deux bases paralleles, fes côtés, felon une bafe, font proportionels à fes côtés, felon l'autre, & les bafes elles-mêmes, sont en mê¬ me Raifon que les côtés de même part, appellés côtés Homologues. Soit l'Angle DAE, G ou BAC, aiant les deux bafes DE, BC. Il faut démontrer que le côté AB, eft au côté A D, fon Ho mologue, comme le côté AC, eft au côté A E, for Homolo- F D E gue; & que la bafe BC, eft à la bafe DE, auffi com me le côté AB, eft au côté AD, ou comme le côté AC, eft à fon Homologue AE. Par le Sommet A, foit menée une parallele aux deux bafes, cette parallele forme avec les deux bafes, deux efpaces paralleles, dont le plus grand eft GAHFDE, & le moindre GAHBCI; les deux bafes étant paralleles, la ligne AD, qui les coupe, les coupe avec la même obliquité. L'Angle qui a fon Sommet en B, eft done égal à l'Angle qui a fon Sommet en D; par la même Raifon, l'Angle qui a fon Sommet en C, eft égal à l'Angle qui a fon Sommet en E; donc la ligne AB, eft autant inclinée dans fon petit efpace, que la ligne AD, l'eft dans le grand; & la ligne AC, autant inclinée dans le petit espace, que la ligne AE, dans le grand; donc par la précedente Propofition, ces quatre lignes AB, AD, AC, AE, font proportionelles. Pour démontrer prefentement que la base B C, eft à la bafe DE,comme le côté AC, eft au côté Homologue A E. par la Soit menée point E, la ligne RT parallele au côté AD D & par le point C, la ligne O CP; il fe for B P E me par là deux nouveaux efpaces paralleles, le plus grand compris par les lignes TER, ABD, & le petit compris par les lignes OCP, ABD. Orfla ligne AC, eft autant inclinée dans le petit efpace, que la ligne AE, l'eft dans le grand, & la ligne BC, autant inclinée dans le petit efpace, que la ligne DE, dans le grand, à caufe du parallelifme des bafes; donc la ba fe BC, eft à la base DE, comme le côté AC, eft au côté AE, par la précedente Propofition, COROLLAIRE. Cette Propofition eft le fondement d'une partie du Compas de Proportion, qu'on appelle les Parties égales. Car ce n'eft autre chofe en effet que deux lignes égales, divifées en 100, 200, &c. parties égales à la difcretion du divifeur; ces deux lignes tournent par leur extremité fur un même centre, en forte qu'elles forment tel Angle que l'on veut. Voila la machi ne faite. Si je veux diviser une ligne donnée, comme BC, en dix parties égales, j'ouvre l'inftrument compofé de mes deux lignes divifées en 100 parties égales, de telle forte que l'angle que ces deux lignes formeront ait pour base la ligne à divifer BC; enfuite de quoi portant un compas ordinaire fur les divifions, de maniere que fes pointes foient appliquées de part & d'autre de 10 en 10, la ligne 10, Α 10, comprise par les 190 100 C ligne B C; puifque toute B cette opération aboutit à donner deux bases paralleles à un même Angle, & que de même que le côté 10, eft la dixième partie du côté A 100, ainfi la bafe 10, 10, eft la dixième partie de la base B C. II. COROLLAIRE. Cette même Propofition eft le fondement de toutes les opérations que l'on fait avec le Bâton de Jacob. Cet inftrument eft compofé de deux Regles, chacune divifée en parties égales. Ces deux Regles fe coupent à Angles droits, & on les difpofe de telle maniere que la hauteur du bâton AB, pofée perpendiculairement fur le terrain BC, que l'on veut mefurer, & le raïon vifuel conduit du haut du bâton A, jusques au point d'éloignement C, font un Angle qui a deux bafes paralleles; fçavoir, la diftance B C, & la partie DE, de la Regle tranfverfale de l'inftrument. Ainfi l'on connoît la distance BC, en confiderant que comme AD, eft à AB, de même DE, eft à la diftance B C, que je fuppofe, par exemple, être la largeur d'une Riviere que l'on veut mefurer du bord B. A B QUATRIE ME PROPOSITION. Quand deux Angles égaux ont chacun une base, & que les Angles formés fur les bafes par les côtés font A égaux chacun à chacun; c'est-à-dire, un Angle formé fur une des bafes, égal à un Angle formé fur l'autre bafe; tels Angles font appellés Angles femblables, & les côtés de l'un font proportionels aux côtés de l'autre, auffi-bien que la bafe à la bafe. Soit l'Angle dont le fommet eft en A, égal à l'Angle dont le fommet eft en D. Soit l'Angle ABC, formé fur la bafe BC, par le côté B AB, égal à l'Angle DEF, formé fur la base EF, par le côté DE. Les Angles ACB, DFE, feront par confe quent égaux, le côté B A, en E ce cas eft appellé A D F Homologue à l'égard du côté DE, & le côté AC; Homologue par rapport au côté D F. Il faut démontrer que le côté AB, eft au côté DE, comme le côté AC, eft au côté DF, & comme la bafe BC, eft à la bafe EF. 1o. Il est évident que ce n'eft prefque que la précedente Propofition énoncée autrement: Car en appliquant le fommet A, fur le fommet D, viendra un Angle aiant deux bafes paralleles, puifque l'Angle en B, eft fuppofé égal à l'Angle en E. Mais pour démontrer la chofe immediatement, il n'y a qu'à mener par les deux fommets A, D, deux paralleles aux bafes l'on aura deux efpaces paralleles, la ligne AB, fera autant inclinée dans fon efpace que la ligne DE, dans le fien ; & la ligne AC, autant inclinée dans fon efpace, que la ligne D F, dans le fien; donc ces quatre lignes |