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e qui eft contre la fuppofition de ce fecond cas.

COLLORAIRE III.

Il s'enfuit encore que fi l'hypotenufe & un côté d'un Triangle Spherique rectangle font de même affection, l'autre côté ou bien fon angle oppofé sera aigu, & obtus s'ils font de differente affection. Parce que par le Coroll. 2.) fi l'hypotenuse & un côté font chacun moindres qu'un quart de Cercle l'autre côté fera auffi moindre qu'un quart de Cercle; & plus grand fi l'hypotenufe & un côté font chacun plus grands qu'un quart de Cercle. Mais fil'hypotenufe & un côté font de differente affection, en forte que l'hypotenufe foit, par exemple, plus grande qu'un quart de Cercle, & un côté par confequent aigu, l'autre côté fera obtus : & pareillement fi l'hypotenufe eft moindre qu'un arc de Cercle, & un côté par confequent obtus, l'autre côté fera auffi obtus, parce que dans ce cas les deux côtez font de même affection (par le Cosoll. 2.).

THEOREME XII.

Si deux angles d'un Triangle Spherique, font de même affection, la perpendiculaire tirée du troifiéme angle fur fon côté oppofé, tombera au dedans du Triangle, & au dehors fi les deux mêmes angles font de diverfe affection.

E dis premierement que fi les deux angles A., Plan B, du Triangle Spherique ABC, font de même che 3. affection, par exemple chacun obtus, la perpendi- Fig. 29 culaire CD tombera au dedans du Triangle, pare que fi elle tomboit au dehors, comme dans la

figure, cette perpendiculaire CD étant confiderée dans le Triangle rectangle ADC, eft (par le Theorême 10.) de même affection que fon angle oppofé A, que nous avons fuppofé obtus, & par confequent plus grande qu'un quart de Cercle, & qu'étant confiderée dans le Triangle rectangle Plan BDC, dont l'angle B eft aigu, parce que l'angle che 3. ABC a été fuppofé obtus, elle eft moindre qu'un Fig.35 quart de Cercle, ce qui eft contradictoire, & l'on

trouvera la même contradiction, en fuppofant que chacun des deux angles A, B, eft aigu. Donc &c.

Je dis en fecond lieu, que fi les deux angles A, B, du Triangle Spherique ABC, font de differente affection, comme fi l'angle A eft aigu, & l'angle B obtus, la perpendiculaire CD tombera au dehors du Triangle, parce que fi elle tomboit en dedans, comme dans cette figure, cette perpendiculaire CD étant confiderée dans le Triangle rectangle ADC, eft (par le Theor. 10.) de même affection que fon angle oppofé A, que nous avons fuppofé aigu, & par confequent moindre qu'un quart de Cercle; & qu'étant confiderée dans le Triangle rectangle CDB, dont l'angle B a été fuppofé obtus, elle eft plus grande qu'un quart de Cercle, ce qui eft contradictoire, & la même contradiction arrivera en fuppofant l'angle A obtus, & l'angle B aigu. Donc &c.

...

THEOREME XIII.

Aux Triangles Spheriques rectangles, il y a même raifon de la Tangente de Bangle oppofe à la perpendiculaire, à la Tangente de cette perpendiculaire qu'il y a du rayon du Cercle au Sinus de la bafe.

C

che 3.

Fig.25.

Oncevez que dans une Sphere dont le point A Planeft le centre, les grands Cercles OGCM, OIDM s'entrecoupent dans le diametre commun OAM, & qu'ils font l'angle 1OG; puis penfez que l'arc d'un autre grand Cercle GIN, paffe par le point N, qui eft le pole du Cercle OGCM; d'où il fuit que le plan de ce Cercle GIN, fera perpendiculaire au plan du Cercle OGCM, que l'arc GI fera perpendiculaire à l'arc OG,que l'angleIGOfera droit; & par confequent que le Triangle OGI fera rectangle; aprés cela ayant pris l'arc Oi qui foutient l'angle droit, pour l'hypotenufe de ce Triangle, l'arc OG pour la bafe, & l'arc GI pour la perpendiculaire du pole O, & de l'intervale OC (que je fuppofe de 9o. degrez.) Décrivez le Cercle CDN, cela étant l'arc CD fera la mesure de l'angle IOG; puis dans le plan du Cercle ACN, à l'extremité du rayon AC, élevez la perpendicu laire CE, jufqu'à ce qu'elle rencontre le rayon AD prolongé; cette ligne CE fera la Tangente de l'arc CD, ou de l'angle IOG que cet arc mesure; de même dans le plan du Cercle AGN, à l'extrêmité du rayon AG, élevez la perpendiculaire GL, jusqu'à ce qu'elle rencontre le rayon AI prolongé; cette ligne GL fera la Tangente de la perpendiculaire GI; enfin du point G, abaiffez la ligne GF, perpendiculaire au rayon AO, cette ligne GF fera le Sinus de la bafe OG; cela ainfi pofé; je dis qu'il

y a même raifon de CE Tangente de l'angle IOG à GL, Tangente de la perpendiculaire GI, à laquelle il eft oppofé que du rayon du Cercle AC, a GF Sinus de la bafe OG. Pour le prouver.

Du point F au point L, menez la ligne droite FL; puis c nfiderez que les deux lignes GE, GL, Fig.25 étan dans les plans des Cercles ACN, AGN, & perpendic laires aux deux lignes, ou rayons AC, AG, qui font les communes fections de ces deux plans, d'un troifiéme AOGCM, auquel ils font perpendiculaires, c'est une néceffité que les lignes GE, GL, foient perpendiculaires au plan du Cercle AOGCM; & par confequent qu'elles foient paralleles entre elles.

3.

par

De plus, l'angle OAC, qui eft foutenu par le quart de Cercle OC, étant droit; & l'angle OFG étant auffi droit, il s'enfuit que les lignes AC, GF font paralleles; & ainfi les lignes AČ, CE, étant parelleles aux lignes GF, GL, le plan qui paffe AC, CE, s'enfuit parallele au plan qui passe par GF, GL; & ces deux plans étant coupez par un troifiéme, à fçavoir OIDM, les lignes de communes fections AE, FL, font auffi paralleles. Si bien que les trois côtez du Triangle rectiligne ACE, font paralleles aux trois côtez du Triangle rectiligne FGL, par confequent ces deux Triangles font équiangles; & partant il y a même raifon de GE à GL, que de AC, à GF, C, Q. F. D.

COROLLA IKE I.

Plan- Il fuit de là que fi dans un Triangle Spherique che rectangle, comme ABC, dans lequel l'angle B eft Fig.32, droit, on donne un des angles aigus, par exemple A., avec le côté oppofé BC, on trouvera l'arc AB.

כי

A, eft à la Tangente de l'arc BC, ou de la perpendiculaire à laquelle il eft oppofé; ainfi le rayon du Cercle eft au Sinus de l'arc AB, ou de la bafe. Or par le moyen des Tables, quand on a la valeur des Sinus & des Tangentes, on a la valeur des angles & des arcs.

COROLLAIRE II.

Plan

Ou bien enfin, fi dans le même Triangle, on 'donne l'angle A, & le côté AB, on trouvera l'arc che 3. BC; car comme le rayon du Cercle eft au Sinus de Fig. 3 l'arc AB, ou de la bafe; ainfi la Tangente de l'angle A, eft à la Tangente de l'arc BC, ou la perpendiculaire à laquelle il eft oppofé; qui eft ce que l'on cherche.

THEOREME XIV.

Aux Triangles Spheriques rectangles, il y a même raifon du Sinus de l'angle oppofe à la perpendiculaire, au Sinus de cette perpendicula re qu'il y a du rayon du Cercle au Sinus de l'hypotenuse.

1

Ans la figure précedente, concevez que la Plan

Dligne DB foit perpendiculaire au rayon AC, che 5.

& qu'ainfi elle foit le Sinus de l'arc CD, & con- Fig. 25. fequemment de l'angle 1OG, qui eft mefuré

par cet arc. De même concevez que la ligne IH foit perpendiculaire au rayon AG, & qu'ainfi foit le Sinus de l'arc, ou de la perpendiculaire GI : enfin concevez que la ligne 1P, foit perpendiculaire au rayon AO, & qu'ainfi elle foit le Sinus de l'hypotenufe OL; cela ainfi pofé, je dis qu'il y a même raifon de DB, Sinus de l'angle iOG, à IH

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