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be IMH érant donnée, on déterminera aisément la nature de la courbe IDH ; & au contraire. De forte qu'il n'y a point de courbe que l'on ne puisse considerer comme la Section d'une espece de Cone ou de Cylin. dre, & déterminer par fon moyen la nature de la courbe IMH parallele à la base de ce Cone , & de ce Cylindre; ou bien qu'il n'y a point de courbe, que l'on ne puis. se supposer être la base d'un Cone, ou d'un Cylindre, & déterminer par fon moyen la nature des Sections de ce Cone, & de ce Cylindre. De maniere qu'on peut avoir non seulement une infinité de genres de Sections coniques, mais encore une infinité d'especes dans chaque genre, excepté dans le premier, qui ne renferme que quatre courbes, comme on a déja remarqué.

On s'est contenté de démontrer dans le Cone, la principale proprieté des Sections coniques du premier genre, attendu qu'on en va démontrer dans les trois Sections suivantes, toutes les proprierez necessaires pour l’Application de l’Algebre à la Geometrie , en les décrivant par

des points trouvez sur des Plans. On ne les a même confiderées dans le Cone que parcequ'elles y ont pris leur ori. gine, & leur nom, pour faire voir que celles qu'on décrit sur des Plans, sont précisément les mêmes que celles qu'on coupe dans le cate; & qu'on peut par consequent leur donner les mêmes noms.

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SECTION V.
l'on démontre les principales proprietez de la
Parabole décrite par des points trouvez

sur un Plan.

PROPOSITION I.

Theorême.

U

Fig.53. X. N E ligne droite DFP, & deux points fixes :D,

& F sur cette , étant
un Plan. Je dis que si l'on mene librement la ligne MPm,
perpendiculaire à DFP; & si du centre F, & du rayon DP,
Pon décrit un cercle ; il coupera la perpendiculaire MPm,
en deux points M&m, qui seront à une Parabole.

D E'M ON S T R A TI O N.
Il est clair qu'ayant divisé DF par le milieu en A, le
cercle, décrit du centre F, & du rayon DA, touchera
en A, la perperfdiculaire menée par le point A, & ne
rencontrera point celles qui seroient menées au- dessus
de A par raport à F: mais qu'il coupera en deux points
toutes celles qui seront menées au-dessous de A, comme
MPm; d'où il suit que la courbe qui passe par les points
M, in trouvez, comme on vient de dire, passe ausli par
le point A.

Ayant mené FM, & nommé les données, ou con-
stantes AF, ou AD, a ; & les indéterminées, ou varia-
bles AP, x; PM, Y; FP sera x-a, ou a — x;
ou DP, *+a.

Le triangle rectangle FPM donne .xx — 2ax + aa +
yy=aa + 2ax+xx, qui se réduit à 4ax=yy, ou (en fai-
sant 4a=p)px=yy. Or comme cette équation est la
même que celle de l'article 9. no. 8 ; il suit que la courbe

MAM,

ܪ

& FM,

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= yy.

MAM, est une parabole, dont le parametre est p=4a =4AF = 2FD. C. Q. F. D.

L'équation px=yy peut être résolue par le cercle. Car F16.54. ayant mené une ligne AB indéfinie, si vous prenez AD =P; &

que d'un point quelconque c pris sur AB, & du rayon CA, vous décriviez le cercle AEG, qu'enfin du point D, vous meniez la perpendiculaire DE, cette ligne DE=y & DB=x. Car par la proprieté du cercle AD * DB=DE. Or AD=p. Donc AD * DB=px,& ED=

C'est-à-dire que DB=x & ED=y. Mais comme le rayon CA du cercle peut augmenter à l'infini, x & y augmenteront à l'infini ; & x augmentant, y aug.

COROLLAIRE I. 1. Il est évident que 2 FD. PM::PM. AP:car l'équa-F16.5 3. tion 4ax =

=yy, étant réduite en analogie, donne 4a. y :: y. x.

COROLLAIRE 2. Il est clair que a l'on mene par D la ligne ED paral- F16.53: lele à PM, & par les points Mim qui sont communs à la parabole & à la perpendiculaire MPm, les droites ME, me paralleles à PD, elles seront égales entr'elles, à PD, & à FM , & que les parties PM, Pm de la perpendiculaire MPm, seront aussi égales.

mentera.

I I.

DEFINITIONS. 3. LA ligne AP est nommée l'axe de la parabole; A, F16. 53: le sommet de l'axe, ou de la parabole ; PM, ou Pm l'appliquée ou l'ordonnée ; AP, l'abcisse ou la coupée ; F, le foyer; D, le point generateur; Ee, la ligne generatrice; AB, quadruple de A F, ou de AD, le

parametre de

l'axe.

L

COROLL AIRE

III. 4. L'on voit par l'équation précedente 4ax=yy que x croissant y croît auffi ; & qu'ainsi la parabole s'éloigne toujours de plus en plus de son axe à mesure que le point I s'éloigne du sommet A , & que cela peut aller à l'in. fini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini.

COROLLA I R E IV. s. D'où il suit que les lignes comme EM meneés pa. ralleles à AP passent au-dedans de la parabole étant prolongées vers R, & ne la rencontrent qu'en un seul point M.

COROLLA IR E V. 6. Si dans l'équation 4ax=yy, l'on fait x=a, le point P tombera en F, & l'on aura 44a=yy; donc 2a=y; c'est-à-dire que l'appliquée FO qui part du foyer est égale à la moitié du parametre; & si l'on fait x=4a, l'on aura 16aa = yy, ou 4a=y,

c'est-à-dire que AP,

& PM seront chacune égale au parametre.

COROLLA I RE VI. 7. Il est manifeste que la quantité constante qui accompagne l'inconnue ou l'indéterminée qui n'a qu'une dimenfion dans un des membres de l'équation, est l'expression du parametre de l'axe de la parabole, lorsque le quarré de l'autre indéterminée est seul dans l'autre membre: par exemple dans cette équation ax=yy, est l'expression du parametre de l'axe de la parabole dont l'abcisse est x; & l'appliquée y.

yy, &

PROPOSITION I I.

Theorême. 8. Les quarrez des ordonnées PM, QN sont entr'eux F1G. 53 comme les abcisses correspondantes AP, AQ.

Ayant nommé comme dans la Proposition précedente AB, 40; AP, x; PM, y; & Al, S; QN 2

Il faut prouver que PM? (yy). QN2 (22) :: AP (*).-
Als.

DEMONSTRATION.
L'On a par la Proposition précedente fax=yy,
4as=k; donc yy. 32:: 4ax. 4af:: x. c. Q. F. D.
PROPOSITION II I.

Theorême.
9. Les mêmes choses étant toujours supposées. Je dis que ,
si d'un point quelconque m pris sur la parabole , on mene me
parallele à PA, qui rencontrera la generatrice en e, & par
le sommet A, la droite AC parallele à De qui rencontrera em
en C; le cercle mle décrit sur le diametre me coupera AC
par le milieu en I.

Ayant nommé la donnée AD, ou eC, a; & les indé. terminées AP, ou Cm, xi Pm, ou AC, y; & CI, S.

Il faut prouver que CI (S): AC (-2).

2

DEMONSTRATION.

& par

L'On a par la premiere proposition 4ax =yy,
la proprieté du cercle ax ( eC Cm) =SS (CI“), ou
4ax = 4

45/; donc y=2/, ou -y=S.C. C.F. D.

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