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THEOREME XVI.

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Aux Triangles Spheriques, qui ont les côtez à l'entour de l'angle du fommet inégaux, ces quatre chofes font proportionnelles. La premiere, le reftangle compris des Sinus droits de ces côtez inégaux. La feconde, le quarré du rayon. La troisième, rectangle dont l'un des côtez eft le Sinus de la moitié de l'aggregé de la base & de l'excez de l'un de ces côtez par deffus l'autre, & l'autre côté eft le Sinus de la moitié de la difference de la base de tet excez. Et le quatrième, le quarré du Sinus de la moitié de l'angle du fommet, ou de la moitié de l'angle oppofé à la base, qui est la même chose.

C

Oncevez que DRT eft un grand Cercle d'u- Fig.36, ne Sphere dont E eft le centre. Concevez auffi que du Triangle QRB, RB eft l'un des côtez inégaux à l'entour de l'angle du fommet R, dont l'autre côté QR, & la bafe QB font fuppofez élevez en l'air, & avoir pour projections ortographiques QR & QB; & ainfi la projection ortographique de l'angle du fommet fera QRB. Puis ayant mené du centre E les deux lignes droites ER, EB, fi par le point Q, l'on mene à chacune de ces Fig.36. lignes une perpendiculaire, à fçavoir NC à ER, & AD à EB, la ligne NC fera le diametre d'un petit Cercle, dont la circonference paffera par ce point du Triangle, dont Qeft la projection, & qui aura pour pole le point R; d'où il fuit que les arcs RN& RC qui font égaux entr'eux, font auffi égaux à ce côté du Triangle propofé, lequel côté eft ici reprefenté par QR; & partant OC fera le Sinus droit de ce meme côé, & PB perpendiculaire à ER, fera le Sinus droit de l'autre côté RB, & BC fera

l'excez d'un des côtez par deffus l'autre, dont le Sinus droit fera CG perpendiculaire à EB. De même AD fera le diametre d'un autre petit Cercle,dont le pole eft B, & dont la circonference paffera auffi par ce point qui eft reprefenté par Q.D'où il fuit que les arcs égaux BA & BD font auffi égaux à cette bafe du Triangle propofé, laquelle eft ici reprefentée par QB & partant l'arc ABC eft l'aggregé de la bafe & de l'excez d'un des côtez par deffus l'autre ; de la moitié duquel aggregé le Sinus droit eft HC, moitié de AC; & l'arc CD fera la difference de la bafe & de cet excez, dont la foutendante eft Fig. 36. CID. Enfuite de quoi ayant mené HI parallele à AD, il s'enfuit que comme AH, eft à HC, ainfi DI eft à IC ; & dautant que AH eft égale à HC, il s'enfuit auffi que DI eft égale à IC : & partant que IC eft le Sinus droit de la moitié de la difference de la bafe, & de l'excez de l'un des côtez par desfus l'autre. De plus ayant continué la projection QR, jufqu'à celle d'un grand Cercle, dont R eft le pole, & dont le diametre & la projection tout enfemble, eft YEZ; & au point S où la rencontre fe fait, ayant élevé la perpendiculaire ST, il s'enfuit que l'arc TZ fera la mefure de l'angle du fommet de nôtre Triangle propofé QRB. Puis ayant mené la ligne droite TZ, & du centre E abaiffé la perpendiculaire EV, fa moitié VZ fera le Sinus droit de la moitié de l'angle du fommet R, duquel angle tout entier le Sinus verfe fera ZS, dans un grand Cercle dont EZ eft le rayon ; & CQ sera dans un petit Cercle dont OC eft le rayon.

Cela pofé, il faut maintenant faire voir que comme le rectangle compris de PB & de OC, Sinus droits des deux côtez inégaux RB, QR eft au quarré du rayon EZ ou EB; ainfi le rectangle

le Sinus de la moitié de l'aggregé de la bate, & de l'excez d'un des côtez par deffus l'autre, & l'autre eft le Sinus de la moitié de la difference de la bafe & de cet exez) eft au quarré de VZ, Sinus droit de la moitié de l'angle du fommet, ou de l'angle oppofé à la bafe, qui eft la même chofe. Pour le prouver.

Abaissez premierement fur EZ la perpendiculai re VX, cette ligne coupera ZS en deux également, à caufe que VX étant parallele à TS, SX fera égale à XZ, comme TV, l'eft à VZ, ainfi qu'il a été démontré ci-devant; abaiffez auffi fur AD la perpendiculaire CL, cette ligne fera coupée en deux également au point M, à caufe que MI étant parallele à LD, base du Triangle CLD LM fera égale à MC, comme DI, l'est à IC. Ainfi qu'il a auffi été démontré.

Cette préparation encore fuppofée, confiderez maintenant que le Triangle BPE eft semblable au Triangle OKE; que celui-ci eft femblable au Triangle FKQ; & que ce dernier eft encore femblable au Triangle LCQ; d'où s'enfuit du premier au dernier, que le Triangle PBE eft femblable au Triangle LCQ; & partant qu'il y a même raison de PB à BE, que de LCà CQ. Et dautant que CQ & ZS font les Sinus verfes des deux arcs femblables de deux Cercles inégaux, il s'enfuit (par le 1. Coroll. de la précedente) que CQ & ZS font Eig 364 entr'eux en même railon que les rayons de leurs Cercles OC & EZ.

Cela ainfi pofé, concevez maintenant ces quatre rectangles, dont le premier foit compris des deux Sinus droits PB, OC; le fecond des deux rayons. EB, EZ, c'eft-à-dire, dont le fecond foit le quarré du rayon; le troifiéme foit compris des deux lignes LC, CQ; & le quatrième des deux Sinus ver

fes CQ, ZS, maintenant, comme les rectangles font entr'eux en raifon compofée de celle de leurs côtez, c'est-à-dire, comme ils font entr'eux comme le produit de leurs côtez; & que la raison du produit des côtez du premier rectangle, au produit de ceux du fecond, a été démontrée être la même que celle du côté des produits du troifiéme, au produit des côtez du quatrième, il s'enfuit que ces quatre rectangles font proportionnaux; & partant qu'il y a même raifon du rectangle compris de PB, OC, au quarré du rayon EB, & que du rectangle compris de LC, CQ, au rectangle compris de CQ, ZS. Mais ces deux derniers rectangles ayant CQ pour commune hauteur, ils font entr'eux comme leurs bafes LC, ZS; ou comme leurs moitiez MC, XZ; & partant la raison du rectangle compris de PB, OC, au quarré du rayon Fig.36. EB, eft la même que celle de MC à XZ. Mais comme MC eft à XZ, ainfi le rectangle de EZ, MC, eft au rectangle de EZ, XZ, à caufe qu'ils ont tous deux la même hauteur EZ, d'où s'enfuit encore une fois que le rectangle de PB, OC, eft au quarré du rayon EB, comme le rectangle de EZ, MC, est au rectangle de EZ, XZ, ou (à caufe que VZ eft moyenne proportionnelle entre EZ & XZ) au quarré de VZ. Que fi au lieu du troifiéme rectangle compris de EZ, MC, on prend le rectangle de HC, IC qui lui eft égal (par le 2. Lemme de la précedente) (à caufe que HC eft le Sinus droit de la moitié de l'aggregé des deux arcs inégaux AB, BC, & IC le Sinus droit de la moitié de leur difference; & que MC est la moitié de CL, ou de fon égale GF qui eft la difference des Sinus verfes des deux arcs inégaux AB, BC, & Ez le rayon,) il fera vrai de dire que comme

EZ, ou EB; ainfi le rectangle de HC, IC, eft au quarré de VZ. C. Q. F. D.

COROLLA I R E.

Il fuit de là, que d'un Triangle Spherique, dont les côtez font inégaux, les trois côtez étant connus, on connoîtra les trois angles; car pour cela, il ne faut que faire une regle de Trois, dont le premier terme foit le rectangle, ou le produit des Sinus des deux côtez tels que l'on voudra; le fecond foit le quarré du rayon; le troifiéme foit le rectangle, ou le produit de deux autres Sinus, fçavoir du Sinus d'un arc qui fera la moitié de l'aggregé de la bafe, & de l'excez de l'un de ces côtez par deffus l'autre, & du Sinus d'un autre arc qui fera la moitié de la difference de la base & de cet excez ; aprés quoi il fuit de cette Propofition, que le quatrième terme fera le quarré du Sinus de la moitié de l'angle oppofé à la bafe. Si donc on extrait la racine quarrée du quatriéme terme, on aura le Sinus d'un angle, dont le double fera la valeur de l'angle que l'on cherche, enfuite de quoi il fera aifé de trouver les deux autres angles par le moyen des Corollaires de la précedente.

Remarquez que fi l'on veut fe fervir des Tables des Logarithmes; il faudra feulement ajoûter à une fomme le double du Logarithme du rayon, celui du Sinus de la moitié de l'aggregé de la base, & de l'excez de l'un des côtez par deffus l'autre, & le Logarithme du Sinus de la moitié de la difference de la base & de cet excez ; puis de cette fommes ôter les Logarithmes des Sinus des deux côtez ; & enfin prendre la moitié du refte; laquelle moitié fera le Logarithme du Sinus de la moitié de l'angle opposé à la base. Et ainfi on épargnera plus

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