페이지 이미지
PDF
ePub

2X

T P (2x). PM (y) :: OR (r). R.G=, &
TP ( 2x). PM (y)::01 (/). L=

y/

donc SG

ys = y to

mais ( Art. 10. no. 8.)

2X

yz

& BL=y

=y

:

2%

[ocr errors]

* (AP).m +% (AS)::yy ( P M°). yy + 2yyx+yyez

[blocks in formation]

(SG?). & * ( AP). m - S(AB) :: yy (PM2). yy 2.99/ + yyl (BL2), d'où l'on tire ces deux équations

[ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small]

B. myy — yyf= xyy — 2xyys + xyyl, & ôtant le pre

[blocks in formation]

mier membre de la seconde équation B du premier membre de la premiere A, & le second de la seconde du second de la premiere, l'on a yyz + yyf = 2xyy2 + 2xyys

2X

+ xyy23 — xyys , d'où l'on tire z=S, ou OR= 01;

4XX

donc OL=OG. C. Q.F. D.

Il peut arriver differens cas:car le point o s'éloignant de M, le point I tombera en A, ou de l'autre côté de A par raport à M: mais on le prouvera toujours de la même maniere que x=S, OG

OL; c'est pourquoi la Proposition est generalement vraye.

DEFINITIONS. L A ligne MR parallele à l'axe AP est appellée Fig. 56. diametre, parcequ'elle coupe toutes les G L par le milieu en 0; le point M, le sommet du diametre MR; MO,

M

9.

[ocr errors]

l'abscisse , ou coupée ; OL, ou OG , l'ordonnée, ou l'appliquée à ce diametre. PROPOSITION X.

Theorême. 10. En supposant les mêmes choses que dans la Proposition précedente. Je 'dis que le quarré d'une ordonnée quelconque OL, ou O G au diametre MR, est égal au reftangle de l'abscisse MO par 4MF, ou ( Art. 10. no. 2. ), ayant prolongé OŃ en H, par 4MH.

Ayant nommé l'abscisse M0, t; l'ordonnée Ol, ou OG, u; M F, ou MH, b; & les autres lignes comme dans la Proposition précedente. Il faut prouver que 46t=uu,(4MF MO=OG?).

D E M O N S T R A TI ON. Si l'on ajoute les deux premiers & les deux seconds membres des deux équations A & B de la Proposition précedente , après avoir mis z en la place de Ji puilque (Prop. préced. ) <=s; l'on aura zmyy = 2xyy + ou 22= 4mx — 4xx, ou k = 4+*, en mettant t pour m x= PC=MO: mais le triangle rectangle ORG, ou OIL donne x(ORP) + (RG2. Prop. préced. ) =uu (OG?, ou O L?), qui devient 4tx + 4at = uu en mettant pour ka sa valeur 4tx,

sa valeur (Prop. 1.) 4ax: mais x +a = PD=MF =

MH=b; donc en substituarit b en la place de x+ a dans l'équation precedente, elle deviendra 4bt=uu, 04 4 MF * MO = OGŁ. C. Q. F. D.

D E' FINITION S. 11. LA ligne égale à 46=4MF=4MH est nommée le

parametre du diametre mo.

2xyyzz

4XX

yyzz

& pour yy

و

!

[ocr errors]

PROPOSITION X I.

Theorême.
12. Une équation à la parabole ( ax = yy) dont les co-
ordonnées x &ʻy ne font point perpendiculaires, étant donnée,
décrire la parabote.
Soit M le sommer du diametre M0, dont le parame- F 16.57

& l'origine des variables x, qui va vers 0, & y
qui va vers K en faisant avec MO l'angle oblique OMK.
Il faut décrire par M la parabole LMG dont l'équation

tre est a,

est ax =yy.

Ayant prolongé O M & pris MH=42= =( Prop.
préced.) au quart du parametre du diametre Mo, on
menera par H la droite HE perpendiculaire à H0,
qui sera (Prop. préced.) la ligne generatrice ; & ayant
fait l'angle KMF= l'angle KMH, pris MF = MH
& mené par F la ligne FD parallele à MO qui coupera
la generatrice HE en D. Par la Proposition preceden-
te, & la sixiême, F sera le foyer; FD, l'axe; D le
point generateur , & A milieu de FD le sommer de l'axe
de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la pre-
miere Proposition.

DE'M ONSTRATION.
Elle est claire par la Proposition précedente, & par
la fixiême.

SECTION VI. l'on démontre les principales propriete de l’Ellipse décrite par des points trouvez

sur un Plan. PROPOSITION I.

Theorême.

FIG. 58. XII.

U

N E ligne droite AB, divisée par le milieu enc,

& deux points fixes F, G également distans du milieu C, ou des extrémitez A e B, étant donnée de grandeur & de position ; si l'on prend entre F & G un point quelconque H, & que du centre F c du rayon AH; du centre G & du rayon BH, l'on décrive deux cercles ; ces deux cercles se couperont en deux points M, m de part et d'autre de la ligne AB ; puisque leurs demi diametres surpassent FH + HG. Et je dis que les points M&m, & tous ceux qui seront trouvez de la mėmę maniere , en prenant d'autres points H, leront à une Ellipse dont C est le centre , AB le grand axe , DE l'axe conjugué à l'axe AB, qui est double de la

moyenne propora tionnelle entre AF & FB, ou AG & GB.

D E'MONSTRATION.' D'UN des points M, trouvez comme on vient de dire, ayant abbaissé la perpendiculaire MP, mené FM & GM, & nommé les données AC, ou CB, a; FC, ou CG, C; & les indéterminées CP, X; PM, Y; AP sera , a—x;PB, a+xi FP,(-xou, x-(;& PG,[+x.

Il est clair par la description que FM + MG= AB

2a ; puisque FM= AH, & MG HB; nommant donc la différence de FM,& MG, 2/3 F M sera a & MG, a + f. Cela posé.

[ocr errors]

СС

[ocr errors]

Les triangles rectangles FPM, GPM donneront, 20x to Xx + yy = da

2as + 1, & CC + 20x + xx + yy= aa + 2a[+], & en ôtant la premiere de la seconde, le premier membre du premier & le second du second , l'on aura 46x=4af, d'où l'on tire

=*, & mettant cette valeur de S, & celle de son quarrés dans l'une des deux premieres équations, l'on 2CX to Xx + yy — ad

d'où l'on tire en réduisant, transposant, & divisant par aa — CC,

[ocr errors]

aura cc

CCXX 20x +

ad

[merged small][merged small][ocr errors]

c'est pour

aayy

ou da

aa

CC

Mais lorsque le point P tombe en C, PM (y) devient CD, & ( x ) devient nulle, ou =0 quoi en effaçant le terme xx, l'on a aa = - =yy = CD', & partant y +CD: nommant donc CD, b; l'on a , aa — 6=bb ; d'où l'on tire a -6 (AF).6(CD)::6(CD). a +((FB). Qui est une des choses qu'il faloit démontrer. Or mettant bb dans l'équation aa – xx = en la place de aa - cc l'on

aayy

au CC

aayy

bb

aayy

à, da – xx = Et comme cette équation eft la même

que celle qu'on a trouvée ( Art. 9. no. 10.) il suit que la courbe ADBE est une Ellipse. Ce qui est une des autres choses proposées.

Si dans l'équation aa — *x= l'on faity=0, l'on aura xx= aa ; donc x= a, ce qui fait voir que l’ELlipse passe par les points A & B. Et en faisant x= o l'on a trouvé y = + CD qui montre que l’Ellipse AM passe aussi par les points D & E, en faisant ce=CD; c'est

bb

ta,

« 이전계속 »