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2X

yz =y+

T P (2x). PM (y)::0118.IL="!; donc so

& BL=y-": mais ( Art. 10. no. 8.) * (AP).m +&(AS)::yy ( PM"). yy + 2yy2 + yyzz

2X

2X

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(SG). & * ( AP). m -S(AB) :: yy (PM2). yy 2yys + yy) (BL2), d'où l'on tire ces deux équations

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B. myy - W= xyy - 2xyys + xyyl, & ôcant le pre

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mier membre de la seconde équation B du premier membre de la premiere A, & le second de la seconde du second de la premiere, l'on a yyx+y= 2xyy2 + 2xyys

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+ xyy22 xyys, d'où l'on tire z=s, ou OR=01;

4XX

donc OL=0G. C. Q. F. D.

Il peut arriver differens cas: car le point o s'éloignant de M, le point L tombera en A, ou de l'autre côté de A par raport à M:mais on le prouvera toujours de la même maniere que x=S,OG=OL; c'est pourquoi la Proposition est generalement vraye.

D E' FINI I IONS. L A ligne MR parallele à l'axe AP est appellée Fig. 56. diametre, parcequ'elle coupe toutes les G L par le milieu en 0; le point M., le sommet da diametre MR;MO,

M

9.

l'abscisse, ou coupée; OL, ou OG, l'ordonnée , ou l'appliquée à ce diametre. PROPOSITION X.

Theorême.
10. En supposant les mêmes choses que dans la Proposition
précedente. Je dis que le quarré d'une ordonnée quelconque
OL, ou O G au diametre MR, est égal au reftangle de
l'abscisse MO par 4MF, ou (Art. 10. no.2.), ayant prolongé
en H, par 4MH.

Ayant nommé l'abscisse M0, t; l'ordonnée OL, ou
OG, u; MF, ou MH, b; & les autres lignes comme
dans la Proposition précedente.
Il faut prouver que 4bt=uu,( 4MF ~ MO=0G2).

D E M O N S T R A TI O N.
Si l'on ajoute les deux premiers & les deux seconds mem-
bres des deux équations A & B de la Proposition pré-
cedente, après avoir mis z en la place de si puisque
(Prop. préced.) <=/; l'on aura zmyy = 2xyy +
ou = 4mx - 4xx, ou =4tx, en mettant t pour
M - x= PC=MO : mais le triangle rectangle ORG,
ou OIL donne zz (ORP) + (RG?. Prop. préced. )

=uu (OGʻ, ou 0 ZŁ), qui devient 4tx + 4at = uu en mettant pour 23

sa

,
& pour yg

sa valeur (Prop. 1.) 4ax:mais x+a=PD=MF = MH=b; donc en substituant b en la place de x+ a dans l'équation précedente, elle deviendra 46t=uu , ou 4MF MO = OG2. C. l. F. D.

DE'FINITION S. 11. L A ligne égale à 46=4MF=4MH est nommée parametre

du diametre MO.

ز

2xyyzz

4XX

yyzz

4.XX

le

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PROPOSITION X I.

Theorême. 12. Une équation à la parabole ( ax = yy ) dont les coordonnées x & y ne font point perpendiculaires, étant donnée, décrire la parabole. Soit M le sommer du diametre M0, dont le parame. F16.57:

& l'origine des variables x, qui va vers 0, & y qui va vers K en faisant avec MO langle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole ZMG dont l'équation

tre est a,

est ax =yy.

Ayant prolongé OM & pris MH=4a=( Prop. préced.) au quart du parametre du diametre Mo, on menera par H la droite HE perpendiculaire à HO, qui sera (Prop. préced.) la ligne generatrice ; & ayant fait l'angle KMF= l'angle KMH , pris MF=MH & mené par F la ligne FD parallele à Mo qui coupera la generatrice H E en D. Par la Proposition précedente, & par la sixiême, F sera le foyer; FD, l'axe; D le point generateur, & A milieu de FD le sommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la pre. miere Propofition.

D E'M ONSTRATION. Elle est claire par la Proposition précedente, & par la fixiême.

SECTION V I. l'on démontre les principales propriete de l’Ellipse décrite par des points trouvez

sur un, Plan. PROPOSITION I.

Theorême.

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. 58.

N E ligne droite AB, divisée par le milieu en C,

& deux points fixes F, G également distans de milieu C, ou des extrémitez A e B, étant donnée de

grandeur & de position ; si l'on prend entre F & G un point quelconque H, & que du centre F du rayon AH; du centre G & du rayon BH, l'on décrive deux cercles ; ces deux cercles se couperont en deux points M, m de part & d'autre de la ligne AB; puisque leurs demi diametres surpassent FH + HG. Et je dis que les points M&m, & tous ceux qui seront trouvez de la même maniere , en prenant d'autres points H,

feront à une Ellipse dont Ceft le centre , AB le grand axe, DE l'axe conjugué à l'axe AB, qui est double de la

moyenne proportionnelle entre AF &FB, ou AG & GB.

DEMONSTRATION. D'un des points M, trouvez comme on vient de dire, ayant abbaissé la perpendiculaire MP, mené FM & GM , & nommé les données AC, ou CB, a; FC, ou CG, C; & les indéterminées CP, x; PM , y; AP sera , a-x; PB,a+* ; FP, Cm x ou, x-6;& PG,+x.

Il est clair par la description que FM + MG= AB = 2a ; puisque FM=AH, &MG=HB; nommant donc la différence de FM , & MG, 21; F M sera a & MG, a + $. Cela posé.

CC

= da

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Les triangles rectangles FPM, GPM donneront , 20x + xx + yy:

2af +$,& CC + 20x + xx + yy= aa + 2ab+, & en ôtant la

premiere de la seconde, le premier membre du premier & le second du second , l'on aura 46x = 4af, d'où l'on tire S="*, & mettant cette valeur de S, & celle de son quarrés dans l'une des deux premieres équations, l'on - 20% + Xx + yy = ad

-, d'où l'on cire en réduisant, transposant , & divisant par ad - 6,

CCXX

aura cc

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aayy

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ad - CC

Mais lorsque le point P tombe en C, PM (9) devient CD, & (*) devient nulle , ou = =0;

c'est

pourquoi en effaçant le terme xx , l'on a aa = -=y=CD’, & partant y =+CD: nommant donc CD, b; l'on a , aa --=bb ; d'où l'on tire a -6 (AF).6(CD):: b (CD). a +((FB). Qui est une des choses qu'il faloit démontrer. Or mettant bb dans l'é- . quation aa – xx = en la place de aa — cc l'on

aayy

aa -CC

aayy

bb

aayy

a, aa

Et comme cette équation est la même

que celle qu'on a trouvée ( Art. 9. no. 10.) il suit que la courbe ADBE est une Ellipse. Ce qui est une des autres choses proposées.

Si dans l'équation aa — xx= l'on faity=o, l'on aura xx='aa; donc x=+a, ce qui fait voir

que

l'Ellipse passe par les points A & B. Et en faisant x=o l'on a trouvé y=+ CD qui montre que l'Ellipse AM passe aussi par les points D & E, en faisant CE=CD; c'est

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bb

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